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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Tema 12. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. MATEMÁTICAS A. CS II. CÁLCULO EN LA BINOMIAL. TEMA 12.3 * 2º B CS. PROBABILIDAD DE “r” ÉXITOS.

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

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  1. Tema 12 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL MATEMÁTICAS A. CS II Matemáticas 2º Bachillerato CS

  2. CÁLCULO EN LA BINOMIAL TEMA 12.3 * 2º B CS Matemáticas 2º Bachillerato CS

  3. PROBABILIDAD DE “r” ÉXITOS • Para conocer completamente la distribución de la variable binomial X = B(n, p), debemos encontrar la probabilidad de r éxitos: P(X = r) = pr, r = 0, 1, ..., n. • (1) Si n = 1, los éxitos o son 0 o son 1: • P(X = 1)= P(E) = p • P(X = 0)= P(F) = q • (2) Si n = 2, los éxitos pueden ser 0, 1 y 2 : • P(X = 2) = P(EE) = p.p = p2 • P(X = 1) = P(EF + FE) = pq + qp = 2.pq • P(X = 0) = P(FF) = q.q = q2 • (3) Si n = 3, se tiene: • P(X = 3) = P(EEE) = p.p.p = p3 • P(X = 2) = P(EEF + EFE + FEE) = ppq + pqp + qpp = 3 p2q • P(X = 1) = P(EFF + FEF + FFE) = p qq + qpq + qqp = 3 pq2 • P(X = 0) = P(FFF) = q q. q =q3 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  4. (4) Si n = 4, se tiene: • P(X = 4) = P(EEEE) = p.p.p.p = p4 • P(X = 3) = P(EEEF + EEFE + EFEE + FEEE) = 4. p3q • P(X = 2) = P(EEFF + EFEF + EFFE + FEFE + FEEF + FFEE) = 6p2q2 • P(X = 1) = P(EFFF + FEFF + FFEF + FFFE) = 4pq3 • P(X = 0) = P(FFFF) = q.q.q.q = q4 • El exponente de p nos indica el número de éxitos y el exponente de q el de los consiguientes fracasos en n pruebas. • Además, el coeficiente de cualquier monomiopodemos deducirlo mediante el triángulo de Tartaglia o aplicando el Binomio de Newton. • Se observa una simetría de las probabilidades en esta distribución, tanto en los coeficientes, k , como en las potencias de p, r, y de q, n-r. Matemáticas 2º Bachillerato CS

  5. (5) Teniendo en cuenta lo anterior, para el caso n = 5 • P(X = 5) = p5 • P(X = 4) = 5. p4q • P(X = 3) = 10. p3q2 • P(X = 2) = 10. p2q3 • P(X = 1) = 5. pq4 • P(X = 0) = q5 • En general: • r n-r • P(X = r)= k.p . q • Para valores de n superiores a 5 se utiliza laTabla de la Binomial, o se calcula el parámetro k sabiendo que es un número combinatorio. • k = C = n! / r! . (n-r)! • n, r Matemáticas 2º Bachillerato CS

  6. NÚMEROS COMBINATORIOS • COMBINACIONES ORDINARIAS • n • La expresión C o C • m, n m • Significa combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n. • NÚMEROS COMBINATORIOS • m • La expresión ( ) se lee “m sobre n” y es un número combinatorio • n • VALOR DE UNA COMBINACIÓN O DE UN NÚMERO COMBINATORIO • m m! • C = ( ) = -------------------- , siendo “!” el signo FACTORIAL. • m, n n n! . ( m – n)| Matemáticas 2º Bachillerato CS

  7. Ejemplos • Ejemplo 1 • 4 7! 7! 7 . 6 . 5 . 4! • C = -------------------- = --------- = ----------------------- = 35 • 7 4!.(7 – 4)! 4!. 3! 4! . 3.2.1 • Ejemplo 2 • 99 101! 101! 101 . 100. 99! • C = ---------------------- = --------- = ----------------------- = 5050 • 101 99!.(101 – 99)! 99!. 2! 99! . 2.1 • Ejemplo 3 • 46 50! 50! 50.49.48.47.46! • C = -------------------- = --------- = ----------------------- = 230300 • 50 46!.(50-46)! 46!. 4! 46! . 4.3.2.1 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  8. BINOMIO DE NEWTON • EXPRESIÓN FORMAL DEL BINOMIO DE NEWTON • m 0 m 0 1 m-1 2 m-2 2 m 0 m • (a+b) = C .a .b + C .a . b + C . a . b + … + C . a .b • m m m m • Ejemplo: • 4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 • (7+5) = C .7 + C .7 . 5 + C . 7 . 5 + C . 7. 5 + C . 5 • 4 4 4 4 4 • 4 4 3 2 2 3 4 • 12 = 1. 7 + 4.7 .5 + 6.7 .5 + 4.7.5 + 1.5 , que se puede comprobar. Matemáticas 2º Bachillerato CS

  9. APLICACIÓN A LA BINOMIAL • Sea la binomial B(n,p) • n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 n n • ( q + p ) = C . q + C . q . p + C . q . p + ... + C . p • n n n n • Sea la binomial B(3, 0,3) • 3 0 3 1 2 2 2 3 3 • ( 0,7 + 0,3 ) = C . 0,7 + C . 0,7 . 0,3 + C . 0,7 . 0,3 + C . 0,3 • 3 3 3 3 • 3 • ( 0,7 + 0,3 ) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) • 3 3 • Pues ( 0,7 + 0,3 ) = 1 = 1 , que es la suma de probabilidades. Matemáticas 2º Bachillerato CS

  10. Ejemplo • Lanzamos una moneda al aire 20 veces. • ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 caras? • RESOLUCIÓN: • n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces • r=7 , pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. • p=0,5 , que es la probabilidad de éxito ( salir cara ). • Luego, aplicando la fórmula obtenida: • r n-r • P(X = r)= k.p . q • 7 20-7 • P(x =7) = k. (1/2) . (1 – ½) • 7 7 20-7 7 13 • P(x =7) = C . (1/2) . (1 – ½) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,5 . 0,5 = • 20 • = 77.520 0,00000095 = 0,074 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  11. Otro Ejemplo • Lanzamos un dado al aire 20 veces. • ¿Cuál es la probabilidad de que nos salgan 7 seises? • RESOLUCIÓN: • n=20, pues se repite el lanzamiento 20 veces • r=7 , pues se trata de ver la probabilidad de tener 7 exitos. • p=0,167 , pues la probabilidad de éxito ( salir un seis ) es p = 1/6 = 0,167 • Luego, aplicando la fórmula obtenida: • r n-r • P(X = r)= k.p . q • 7 20-7 • P(x =7) = k. (1/6) . (1 – 1/6) • 7 7 20-7 7 13 • P(x =7) = C . (1/6) . (5/6) = [ 20! / 7!.(20-7)! ]. 0,167 . 0,833 = • 20 • = 77520 0,000000334 = 0,026 Matemáticas 2º Bachillerato CS

  12. Ejemplos propuestos • Ejemplo 1 • En una reunión hay 40 hombres y 60 mujeres. Se elige una persona al azar, anotando el sexo de dicha persona. Se repite el experimento 30 veces. Hallar la probabilidad de que en 10 ocasiones el resultado haya sido “hombre”. • Ejemplo 2 • Un cazador tiene una probabilidad de 0,65 de acertar a una pieza en cada disparo. Si realiza 20 disparos, hallar la probabilidad de … • a) Que no cace ninguna pieza. • b) Que cace 7 piezas. • c) Que cace al menos 3 piezas. Matemáticas 2º Bachillerato CS

  13. Ejemplo 3 • Una máquina produce 32 tornillos defectuosos cada 1000 unidades. Al realizar un control de calidad tomamos una caja de 50 tornillos. Hallar la probabilidad de que … • a) Ningún tornillo resulte defectuoso. • b) Halla 37 tornillos defectuosos. • c) Halla menos de 3 tornillos defectuosos. • Ejemplo_4 • En una población conocemos: • P(“Un habitante gane hasta 500 € /mes”) = 0,5 • P(“Un habitante gane entre 500 y 1000 € /mes”) = 0,20 • P(“Un habitante gane entre 1000 y 2000 € /mes”) = 0,20 • P(“Un habitante gane más de 2000 € /mes”) = 0,10 • Hallar la probabilidad de que elegidos 10 habitantes al azar.… • a) Tres de ellos ganen entre 500 y 100 €/mes. • b) Siete o más ganen más de 2000 €/mes. Matemáticas 2º Bachillerato CS

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