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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS

SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS. I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 SOLUCIONES MULTIPOLARES EN RG vs GN I.2 SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS I.3 GENERALIZACIÓN RELATIVISTA. COORDENADAS MSA

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SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS

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  1. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 SOLUCIONES MULTIPOLARES EN RG vs GN I.2 SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS I.3 GENERALIZACIÓN RELATIVISTA. COORDENADAS MSA I.4 ECUACIÓN DE BINET Y CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA

  2. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Toda solución de vacío, con simetría esférica es necesariamente estática. TEOREMA: CUESTIÓN: Si una fuente restringida a la región r<a es esféricamente simétrica, entonces la solución para r>a debe ser la solución exterior de Schwarzschild. ¿Existe algún tipo de simetría que nos permita caracterizar las soluciones con simetría axial de las ecuaciones de Einstein de vacío que posean un número finito de Momentos Multipolares ?

  3. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SOLUCIONES MULTIPOLARES PURAS EN RG vs GN Potencial Gravitatorio Momentos Multipolares Newtonianos José Luis Hernández Pastora I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA DEFINICIÓN: Soluciones de las ecuaciones de Einstein de vacío con simetría axial que poseen un número finito de Momentos Multipolares. Momentos Multipolares Relativistas (Geroch-Hansen,Thorne): an=an(Mn) • Solución M-Q (J. Martín, E. Ruiz, J.L.H-P) / Solución Cuadrupolar • Soluciones puras -polo (M. Herberthson, T. Bäckdahl) Dipolo gravitacional / Monopolo- -polo

  4. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS José Luis Hernández Pastora Simetría de un sistema de ecuaciones I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Sistema de ecuaciones diferenciales sobre M Generador infinitesimal de un grupo local G de transformaciones actuando sobre la variedad M G es un grupo de simetría TEOREMA 1: TEOREMA 2: Simetría Monopolo-Dipolo Simetría de orden -polar Ecuación deLaplace (simetría axial): Ecuaciones suplementarias , [Class. Quantum Grav. 25 (2008) 165021] (http://stacks.iop.org/CQG/25/165021)

  5. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS José Luis Hernández Pastora Grupos de transformaciones Grupo Monopolo-Dipolo I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Grupo de orden -polar =0 Caso N=2 (Solución Monopolo-Dipolo-Cuadrupolo)

  6. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS José Luis Hernández Pastora Soluciones invariantes por un grupo Función escalar invariante de un campo vectorial I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Soluciones invariantes por el grupo A) B)

  7. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES NEWTONIANAS José Luis Hernández Pastora Soluciones invariantes por un grupo I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA A) Caso N=2 B) • Las soluciones de las ecuaciones son invariantes por la acción del grupo si y solo si la característica del campo vectorial asociado (evolutionary vector field) se anula sobre dichas soluciones

  8. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS José Luis Hernández Pastora Coordenadas MSA I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA DEFINICION: • ACMC-TRF (Asymptotically Cartesian and Mass Centered Thorne’s Rests Free) o coordenadas MSA (Multipole Symmetry Adapted) Coordenadas Standard de Schwarzschild CONJETURA: • Existen coodenadas MSA para cualquier solución estática de Weyl con un número arbitrario y finito de Momentos

  9. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS José Luis Hernández Pastora Coordenadas MSA I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA TEOREMA 1: • Las soluciones con buen comportamiento asintótico del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales resultan ser las Soluciones Multipolares Puras in RG. Coordenadas MSA 2 TEOREMA 2: • Existen Grupos de Simetría de ese sistema de ecuaciones diferenciales cuyas soluciones invariantes por la acción de dichos grupos son las Soluciones Multipolares Puras en RG. O equivalentemente • La única solución de las ecuaciones de Einstein de vacío con simetría axial que posee un conjunto finito de Momentos Multipolares viene dada por la solución invariante por la acción del Grupo de Simetrías Multipolares

  10. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS José Luis Hernández Pastora Cálculo de las coordenadas MSA I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA LEMA: • Es posible calcular un sistema de coordenadas • en el que se verifica: [Class. Quantum Grav. 27 (2010) 045006] (http://iopscience.iop.org/0264-9381/27/4/045006)

  11. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS José Luis Hernández Pastora Cálculo de las coordenadas MSA I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Ecuación de Ernst

  12. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS José Luis Hernández Pastora Cálculo de las coordenadas MSA I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA • Se preserva estructura axisimétrica • Buen comportamiento asintótico • Buen comportamiento en el eje • Standard de Schwarzschild • No armónicas • Convergencia de la serie =0 [Class. Quantum Grav. 27 (2010) 045006] (http://iopscience.iop.org/0264-9381/27/4/045006)

  13. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS José Luis Hernández Pastora Interpretación y caracterización de las coordenadas MSA I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA CUESTIONES: • ¿Los grupos , son grupos de simetría de las ecuaciones de Einstein? • ¿ Se puede establecer una relación entre la existencia de esas simetrías y la unicidad de ciertas soluciones? • 3. La acción de estas simetrías sobre la ecuación de Ernst, ¿puede proporcionar condiciones que determinen a las propias coordenadas MSA y por tanto las caracterice? TEOREMA 1: TEOREMA 2: Simetría Monopolar Simetría Monopolo-Dipolo 0

  14. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS José Luis Hernández Pastora Interpretación y caracterización de las coordenadas MSA I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA CUESTIONES: • ¿Los grupos , son grupos de simetría de las ecuaciones de Einstein? • ¿ Se puede establecer una relación entre la existencia de esas simetrías y la unicidad de ciertas soluciones? • 3. La acción de estas simetrías sobre la ecuación de Ernst, ¿puede proporcionar condiciones que determinen a las propias coordenadas MSA y por tanto las caracterice? COORDENADAS MSA ADAPTADAS A LA SIMETRÍA ESFÉRICA Unicidad Coordenadas Standard de Schwarzschild

  15. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS SIMETRÍAS MULTIPOLARES RELATIVISTAS José Luis Hernández Pastora Interpretación y caracterización de las coordenadas MSA I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA CUESTIONES: • ¿Los grupos , son grupos de simetría de las ecuaciones de Einstein? • ¿ Se puede establecer una relación entre la existencia de esas simetrías y la unicidad de ciertas soluciones? • 3. La acción de estas simetrías sobre la ecuación de Ernst, ¿puede proporcionar condiciones que determinen a las propias coordenadas MSA y por tanto las caracterice? COORDENADAS MSA ADAPTADAS A LA SIMETRÍA MONOPOLO-DIPOLO

  16. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES José Luis Hernández Pastora La solución Monopolo en coordenadas MSA -Dipolo-Cuadrupolo I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA

  17. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES José Luis Hernández Pastora Geodésicas de la solución multipolar I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Caso: =cte, [compatible con , ] Potencial efectivo :

  18. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES José Luis Hernández Pastora Ecuación de Binet [Problema de Kepler] I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Geodésicas de Schwarzschild: Ecuaciones de movimiento: Órbitas: • La órbita sobre una superficie constante correspondiente a una • geodésica temporal del espacio-tiempo de Schwarzschild viene dada por la • misma ecuación que la Ecuación de Binet correpondiente al problema de • Kepler perturbado con un potencial del tipo con La ecuación de Binet :

  19. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES José Luis Hernández Pastora Ecuación de Binet Relativista I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Problema de Kepler perturbado equivalente

  20. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS CORRECCIONES RELATIVISTAS ORBITALES José Luis Hernández Pastora Ecuación de Binet Relativista I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Problema de Kepler perturbado equivalente • El problema clásico de Kepler para un objeto celeste de masa M , energía total E • y momento angular orbital J, perturbado con el siguiente potencial: • proporciona la misma ecuación orbital para una partícula test de masa m que la • correspondiente a una geodésica temporal sobre el plano ecuatorial de la solución • multipolar pura con el número finito de momentos multipolaresdeseado.

  21. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS RESULTADOS José Luis Hernández Pastora I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA • Determinación de simetrías de un sistema de ecuaciones diferenciales • Caracterización de soluciones clásicas (GN) de la gravitación mediante simetrías. • Generalización a RG de las Simetrías Multipolares. • Introducción y cálculo de un nuevo sistema de coordenadas adaptado a las simetrías (MSA) • Determinación explícita de las métricas correspondientes a las soluciones Multipolares Puras en coordenadas MSA.

  22. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS EXPECTATIVAS José Luis Hernández Pastora I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA • Aplicación de las coordenadas MSA al cálculo de correcciones relativistas a las órbitas en torno a objetos estelares compactos. • Determinación del Momento Cuadrupolar de objetos estelares compactos. • Introducción de nuevas representaciones de la soluciones de Weyl. • Determinación de las transformaciones de coordenadas asociadas a dichas representaciones y conexión con las coordenadas MSA.

  23. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS RELEVANCIA CIENTÍFICA José Luis Hernández Pastora • Caracterización de soluciones Multipolares Puras y su relevancia en la física de objetos estelares no esféricos. • Determinación de Simetrías de ecuaciones diferenciales, tanto a nivel clásico como relativista, que permiten caracterizar las soluciones multipolares puras. • Determinación de las coordenadas estandar de Schwarzschild (asociadas a la simetría esférica) mediante un problema de Cauchy. • Especie de generalización del Teorema de Birkhoff. • Utilización de las coordenadas MSA para futuros estudios de soluciones globales y problemas de enganche, representaciones de las soluciones, correcciones relativistas orbitales... I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA

  24. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS EXPECTATIVAS José Luis Hernández Pastora PERTURBACIÓN POR FUERZA CENTRAL DEL PROBLEMA DE KEPLER I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Teoría de perturbaciones a 1er orden en variables de acción-ángulo Valor promedio de la perturbación: Caso n=3: Término Monopolar Término Cuadrupolar

  25. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS EXPECTATIVAS José Luis Hernández Pastora Elemento de línea estacionario axisimétrico I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Ecuaciones de campo (caso estático) Coordenadas de Weyl: J= TEOREMA: • Solución estática con simetría axial si y solo si Condiciones asintóticas y de regularidad:

  26. SIMETRÍAS MULTIPOLARES Y SOLUCIONES EXACTAS EXPECTATIVAS José Luis Hernández Pastora Elemento de línea estacionario axisimétrico I ANTECEDENTES DE LA INVESTIGACIÓN Y SITUACIÓN ACTUAL I.1 Soluciones multipolares en RG vs GN I.2 Simetrías multipolares newtonianas I.3 Generalización relativista. Coordenadas MSA I.4 Ecuación de Binet y correcciones relativistas orbitales II RESULTADOS, EXPECTATIVAS Y RELEVANCIA CIENTÍFICA Ecuaciones de campo (caso estático) Familia de soluciones: Transformación de coordenadas (Weyl):

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