Facultad de Ingeniería Licenciatura en Ingeniería Civil

1. Facultad de IngenieríaLicenciatura en Ingeniería Civil Teoría de Decisiones Semestre agosto-diciembre 2013 Análisis de Decisión M. I. José Francisco Grajales Marín

2. 1. SÍNTESIS DE PROBABILIDAD La razón que motivo al hombre a registrar datos con propósitos estadísticos, se encontró en la necesidad, de anotar aquellos hechos que aparecen como vivencias sociales transcendentes: crecimiento de poblaciones, disposiciones de alimento, fenómenos naturales, etc.

3. 1.1 Principales definiciones • Dato: Número o medida que se obtiene de observaciones de una variable. • Variable: Es toda cualidad o característica que toma valores diferentes en distintos objetos. • Variable aleatoria: Es aquella variable que toma valores de algún proceso al azar. • Variable aleatoria continua: Es la variable aleatoria que puede tomar cualquier valor de un intervalo o dominio.

4. Variable aleatoria discreta: Es la variable que sólo puede tomar valores de un conjunto numerable. • Estadística: Ciencia cuyos propósitos son la extracción de datos y su uso en la realización de inferencias acerca de una población, de la cual dichos datos fueron extraídos. • Estadística descriptiva: Es la que trata con la descripción numérica o gráfica de un conjunto de datos. • Estadística inferencial: Es la que trata con la formulación de conclusiones, estimaciones o generalizaciones acerca de parámetros poblacionales, con base en la estadística descriptiva realizada con datos muestrales.

5. Población: Es un grupo de datos que se toma como referencia en un estudio estadístico, y que considera todas las características de la variable definida en el problema bajo estudio. • Muestra: Es cualquier subconjunto de datos seleccionados de una población. • Diseño del experimento: Estudio de los métodos de muestreo y los problemas que con él se relacionan.

6. Espacio de eventos: Colección de todos los resultados posibles de un experimento. Experimento aleatorio: Experimento que reúne las siguientes características: una acción, un resultado y una observación. Evento simple: Es cada uno de los eventos que constituyen un espacio de eventos. Estadística descriptiva: La estadística descriptiva hace uso de varias medidas para describir numéricamente un conjunto de datos muéstrales o poblacionales.

7. La estadística descriptiva: hace uso de varias medidas para describir numéricamente un conjunto de datos muéstrales o poblacionales. Tales medidas se pueden clasificar en: Medidas de posición: Este tipo de medidas indican la distribución que guardan los datos a lo largo de su rango (el dato mayor menos el menor).

8. Medidas de tendencia central: Son medidas que normalmente se localizan alrededor del centro de los datos. Dentro de este tipo de medidas se encuentran la media aritmética, la mediana, el modo, la media armónica, la media geométrica y la media cuadrática. • Cuantiles: . Estas medidas indican la localización de los datos de acuerdo con una subdivisión que se realiza del rango de los mismos. Existen tres tipos de cuantiles: cuartiles, deciles, y percentiles.

9. Medidas de dispersión: Son medidas que indican el grado en el cual están dispersos los datos con respecto a alguna medida de tendencia central. Este tipo de medidas lo conforman la variancia, la desviación estándar, la desviación media absoluta y el coeficiente de variación. • Medidas de deformación: Este tipo de medidas son relativas a la forma que tienen las curvas de frecuencias y también están relacionadas con la dispersión que tienen los datos. Existe dos tipos de medidas de deformación: el coeficiente de sesgo o asimetría y el coeficiente de kurtosis o de apuntamiento.

10. Rango: Se define como la diferencia entre el mayor y el menor valor de una distribución. • Criterio de Sturges. K = 1 + 3.3 log n K, numero de intervalos

11. 1.2 Medidas de tendencia central Momentos con respecto al origen: m´k= Datos no ordenados m´k = Datos ordenados Donde n=número de datos, m=número de intervalos, t=intervalo de clase, f=frecuencia de clase, k=orden del momento.

12. Media. Se define como el momento de primer orden con respecto al origen: m´1= Ẋ= Datos no ordenados m´1= Ẋ= Datos ordenados Donde n=número de datos; m=número de intervalos; t=intervalo de clase; f=frecuencia de clase

13. Modo: = Mediana: =

14. 1.3 Medidas de dispersión Momentos con respecto a la media: mk= Datos no ordenados mk= Datos ordenados

15. Variancia. Se define como el momento de orden dos con respecto a la media: m2= Datos ordenados m2= Datos no ordenados Desviación estándar: Sx= Coeficiente de variacion: CVx=

16. 1.4 Medidas de asimetría Asimetría = [(q3 – q2) – (q2 – q1)] / Sx Donde q1, q2 y q3 son los cuartiles del 25 %, 50 % que corresponde a la mediana y del 75 %, Sxes la desviación estándar. También se puede calcular una medida de asimetría con el momento de orden tres con respecto a la media, con la variancia y finalmente con el parámetro b1: m3 = b1 =

17. 1.5 Medidas de aplanamiento o exceso (kurtosis) b2= es mesokúrtica si es leptokúrtica es platokúrtica

18. 1.- 2.- 3.- 1.6 Probabilidad La teoría axiomática de probabilidades se basa en 3 axiomas:

19. Probabilidad condicional Si P(B), es diferente de cero, se expresa:

20. 1.7 Teorema de Bayes Se dice que un grupo de eventos es colectivamente exhaustivo si la unión de todos ellos es el espacio de eventos correspondientes, con lo cual se define el llamado TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

21. 1.8 Variable aleatoria Es una función que asocia un numero con cada punto en un espacio muestra del experimento. Existen 2 tipos de variables aleatorias: • Discretas: es aquella cuyos valores posibles forman un conjunto finito o bien se pueden listar en una sucesión infinita donde hay un primer elemento, un segundo elemento, etc. • Continuas: si su conjunto de valores posibles abarca todo un intervalo.

22. 1.9 Distribuciones teóricas de probabilidad • Distribución normal donde: x = variable aleatoria e, = constantes = media σ = desviación estándar 2 = variancia

23. Distribución normal estándar

24. Distribución binomial Donde q = 1 - p p = probabilidad de éxito. q = probabilidad de fracaso.

25. Distribución de Poisson donde: x = variable aleatoria e = cte.  = media

26. 2. Análisis De Decisión Se llamara decisión al proceso de elegir un acto de entre un conjunto de formas alternativas de actuar.

27. Los componentes básicas de un problema de decisión son: 1. Sujeto de una decisión: Alguien o algún grupo debe identificarse como el que toma decisiones. Algunos problemas pueden tener dos o mas sujetos de decisión. 2. Objetivos: El que toma la decisión debe tener uno o más objetivos. Estos objetivos pueden definirse como los resultados deseados para cada decisión. En el caso de objetivos múltiples, algunos de ellos pueden estar en conflicto. Los objetivos pueden ser cualitativos o cuantitativos. En muchos problemas técnicos el objetivo cuantitativo puede ser maximizar una ganancia o minimizar un costo.

28. 3. Cursos alternos de acción: El que toma las decisiones debe tener la posibilidad de elegir entre dos o más alternativas o cursos de acción. En muchos problemas de decisión se tiene una infinidad de cursos de acción. 4. Una medida de efectividad: El que toma las decisiones debe tener alguna medida del nivel en que cada curso de acción que satisface a sus objetivos. Desde luego implícitamente se supone que en caso de existir esta medida para un problema dado no es necesariamente la misma para todas las alternativas.

29. TERMINOLOGÍA DE MODELOS DE TOMA DE DECISIONES Esta terminología describe las tres partes esenciales de una decisión. 1. Las decisiones alternativas de entre las cuales se debe elegir. 2. Los estados de la naturaleza, o acciones externas que enfrenta la persona encargada de tomar las decisiones.

30. 3.- El resultado que se obtiene por el uso de una alternativa cuando se presenta cierto esta de la naturaleza.

31. 2.1 Árbol de decisión El árbol de decisión es una forma clara y sencilla de el proceso de una toma de decisión, el cual esta formado por: • Nodos de acción: (□)Representan aquellos lugares del proceso de toma de decisiones en los que se toma una decisión. • Nodos de probabilidad: (0) Indican aquellas partes del proceso de toma de decisiones en las que ocurre algún estado de la naturaleza. • Ramas: Se utilizan para denotar las decisiones o los estados de la naturaleza.

32. Ejemplo Considerar el caso de una persona que esta tratando de decidir si debe llevar o no un paraguas a su trabajo el día de hoy.

33. La decisión de llevar el paraguas se muestra como un nodo de acción en la figura 2.1. • Al final de cada una de las ramas que parten de un nodo de acción habrá un nodo de probabilidad u otro nodo de acción. Los posibles estados de la naturaleza comenzarán en los nodos de probabilidad. También se muestran los posibles estados de la naturaleza para la decisión de esta persona. En este caso se han anotado también sobre la rama de probabilidad las probabilidades de que haya lluvia o esté despejado de acuerdo con la oficina meteorológica.

34. Llevar paraguas y que no llueva -1 • Llevar paraguas y que llueva +20 • No llevar paraguas y que no llueva +5 • No llevar paraguas y que llueva -40

36. 2.2 Análisis de decisión bajo incertidumbre En este trabajo se considerarán cinco de ellos: El de Bayes-Laplace El maximin de Wald El maximax de Baumol El de Hurwicz El minimax de Savage.

37. Criterio de Bayes-Laplace El criterio establece que si no se dispone absolutamente de ninguna información sobre las probabilidades asociadas con los futuros resultados, entonces se deben asignar probabilidades iguales a cada uno de los posibles resultados y usar estas probabilidades para calcular el valor esperado de cada uno de los posibles cursos de acción.

38. Criterio maximin de Wald Para cada posible alternativa el ejecutivo determina cuál es el peor de los posibles resultados, esto es, el que le produce máximos perjuicios o beneficios mínimos. Selecciona entonces de entre todos estos últimos el que maximiza sus beneficios o minimiza sus pérdidas.

39. Criterio maximax de Baumol Al contrario del anterior, este criterio corresponde a los optimistas: para cada curso de acción defínase cuál es el mejor resultado (máximas ganancias o pérdidas mínimas) y selecciónese de entre los anteriores el máximo de los máximos.

40. Criterio de Hurwicz El ejecutivo hará un promedio ponderado entre el mejor resultado que pueda esperarse de cada curso de acción y el peor para el mismo curso. • Pesimista=3/4(Peor resultado)+1/4(Mejor resultado) • Optimista=1/4(Peor resultado)+3/4(Mejor resultado)

41. Criterio minimax de Savage Este criterio se ocupa del costo de oportunidad de una decisión incorrecta. A partir de la matriz de pagos se construye una nueva matriz llamada la matriz de arrepentimiento. Los elementos de esta matriz se calculan de la siguiente manera: el elemento en el renglón i y columna j de la matriz de arrepentimiento es el costo de oportunidad de elegir la i-ésima alternativa cuando el resultado obtenido es el j-ésimo. La pérdida máxima en cada renglón se identifica y la alternativa cuyo renglón tiene el menor de los arrepentimientos es seleccionada por el ejecutivo.

42. Ejemplo 2.2 Toma de decisión bajo incertidumbre • Considerar la siguiente matriz de pagos y tomar una decisión aplicando cada uno de los criterios de decisión bajo incertidumbre:

43. Criterio de Bayes-Laplace E(A1)=m1/3(12)+1/3(-6)+1/3(24)=10 E(A2)=1/3(36)+1/3(12)+1/3(48)=32 E(A3)=1/3(-3)+1/3(60)+1/3(30)=29 La alternativa seleccionada es A2

44. Criterio maximin de Wald

45. Criterio maximax de Baumol

46. Criterio de Hurwicz

47. Pesimista: A1=3/4(-6)+1/4(24)=-18/4+24/4=6/4 A2=3/4(12)+1/4(48)=36/4+48/4=84/4 A3=3/4(-3)+1/4(60)=9/4+60/4=51/4 Pesimista: max{6/4, 84/4, 51/4} = 84/4 Selección: A2 Optimista: A1=1/4(-6)+3/4(24)=6/4+72/4=68/4 A2=1/4(12)+3/4(48)=12/4+144/4=156/4 A3=1/4(-3)+3/4(60)=-3/4+180/4=177/4 Optimista: max{68/4, 156/4, 177/4} = 177/4 Selección: A3

48. Se hará una extensión al criterio de Hurwicz para la toma de decisiones; se selecciona el mejor y el peor resultado de cada alternativa y cada uno de ellos es multiplicado por  y por (1-) respectivamente, obteniendo así los valores de cada alternativa para los valores de  establecidos:

49. La intersección de A2 con A3 se encuentra en =0.5555, por lo que se puede establecer el siguiente criterio de decisión: para valores de  de 0 a 0.5555 se decidirá por A2 y para valores de  de 0.5555 a 1.0 se decidirá por A3 (valores más altos).

50. Criterio de Savage