in attesa

1. in attesa

2. Educazione al pensiero statistico dalla scuola primaria alle superiori Statistica in classe Gianfranco ArrigoDipartimento dell’istruzione e della cultura,Laboratorio di didattica della matematica Bellinzona(Svizzera)

3. Introduzione • Fase di preparazione • Fase di concettualizzazione

4. Introduzione Lo scopo del mio intervento è di stimolare gli insegnanti e chi si occupa di didattica della matematica ad assumersi il compito di introdurre l'educazione al pensiero statistico nella scuola (da quella dell’obbligo in avanti) e di accentuarne la pratica in classe.

5. Introduzione Le mie proposte si suddividono in due gruppi che concernono due fasi distinte dell’azione didattica. La prima fase, che chiamo di preparazione, prevede una serie di attività di risoluzione di problemi avente lo scopo di abituare l’allievo a ragionare in senso statistico e di costruirsi un solido bagaglio di esperienza euristica, che consentirà la fondazione della seconda fase.

6. Introduzione La seconda fase, che definisco di generalizzazione, di concettualizzazione e di prima formalizzazione si fonda sulla prima e ha lo scopo di porre le basi (elementari) essenziali di questa disciplina. Questa fase trova posto principalmente nella scuola superiore, anche se talune concettualizzazioni possono essere raggiunte prima.

7. Costituisce, il coronamento del lavoro fatto nei campi combinatorio e probabilistico. Fondamentalmente si distinguono due aspetti statistici: Educazione statistica "descrittivo", altrimenti detto "di analisi esplorativa dei dati", di tipo statico, basato sull'osservazione di dati osservati; "inferenziale", di tipo dinamico, consistente nell'operare "stime statistiche", indissolubilmente legate al concetto di "rischio assunto" (o, se si preferisce, a quello di "grado di affidabilità scelto").

8. Educazione statistica Troppo spesso, a scuola, ci si accontenta del primo aspetto, che indubbiamente è più facile e non abbisogna nemmeno del supporto probabilistico. Questa scelta risulta però estremamente limitativa dell'interesse della disciplina. La parte più stimolante è quella inferenziale ed è proprio praticando situazioni di inferenza statistica che l'allievo riesce a capire l'essenza del ragionamento probabilistico e statistico. Il compito della scuola consiste nel preparare il terreno all'apprendimento della statistica nei suoi due aspetti descrittivo e inferenziale.

9. L'aspetto descrittivo Il primo aspetto può essere costruito attorno alla necessità di trovare caratteristiche rappresentative di una popolazione. Per esempio rispondere a domande del tipo: - Sono più alti (statura) i greci o gli italiani? - Sono più ricchi gli svizzeri o gli statunitensi? - In agosto fa più caldo a Cortina o a San Moritz? - Si guastano di più le Mercedes o le Fiat? - (…)

10. L'aspetto descrittivo L'allievo, in questa prima fase, va messo di fronte a una molteplicità di dati numerici osservati. Per gli alunni delle scuole elementari e medie, questo fatto, costituisce, di solito, una novità (i problemi di matematica normalmente prevedono pochi dati). Occorre quindi abituare l'allievo ad affrontare queste situazioni con consapevolezza delle difficoltà che comportano.

11. L'aspetto descrittivo Per esempio, calcolare la media aritmetica di due numeri è operazione elementare; se i numeri sono tre o quattro, non cambia granché; ma se i numeri sono cinquanta o cento allora le cose mutano radicalmente. Nessuno pretende che i calcoli si debbano eseguire "a mano”: si usi pure la calcolatrice. Ma non si pensi che sia semplice inserire venti, trenta o cinquanta dati in una calcolatrice. Occorre organizzarsi per evitare che la minima distrazione non obblighi a ricominciare da capo.

12. L'aspetto descrittivo Il computer può facilitare l'immissione di dati sotto forma di tabelle (con uno scanner e un programma OCR si può trasportare un elenco anche lunghissimo di dati in un foglio elettronico, pronti per l'elaborazione).

13. L'aspetto descrittivo Il lavoro in classe dev'essere finalizzato all'accumulo di esperienze attorno ai concetti di centralità ("valore rappresentativo" o ”valore medio") e di dispersione (grado di affidabilità o di fiducia del valore medio). Opportune esperienze dovranno aiutare l'alunno a vedere come valore rappresentativo non sempre la media aritmetica, ma anche la mediana e in certi casi la moda.

14. L'aspetto descrittivo Circa il concetto di dispersione, il parametro più vicino all'esperienza del neofita è lo scarto medio assoluto. In statistica, per ragioni di opportunità teorica e tecnica, si preferisce lo scarto tipo. Dopo aver visto che le due misure concordano sempre, si può adottare la seconda (scarto tipo), dal momento che viene calcolata automaticamente dalle calcolatrici e dai computer.

15. L'aspetto descrittivo Non si dimentichino le situazioni che presentano un numero elevato di dati osservati: esse portano a capire la necessità di ordinare i dati, di suddividerli in classi e di contare le frequenze (assolute) di ogni classe. Quando poi si volessero confrontare due o più insiemi di dati osservati di dimensione diversa, la necessità di normare le frequenze assolute (e di giungere così alle frequenzerelative) balza evidente.

16. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche PROBLEMA 1: Lavaggio automatico per automobili Una società possiede tre stazioni di lavaggio: AUTOPULITA, AUTOBRILLANTE, AUTOLUCENTE. Le tre stazioni offrono gli stessi 9 programmi (dal più semplice indicato con la lettera A, al più raffinato denominato con la lettera I). La differenza di costo da un programma al successivo è sempre di 1,50 Fr.

17. Ecco i dati relativi all'esercizio del mese scorso: L'aspetto descrittivo: proposte didattiche A.PULITA A.BRILLANTE A.LUCENTE

18. Durante la riunione degli azionisti si cerca di stimare quale delle tre stazioni ha avuto il maggior ricavo, senza ricorrere al calcolo preciso dei tre importi. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche «Visto che i prezzi sono uguali in tutte le stazioni» dice Piero, responsabile di AUTOLUCENTE, «basta calcolare il numero di lavaggi eseguito da ogni stazione.» È corretta, secondo te, la proposta di Piero?

19. Per meglio capire, si può ricorrere agli istogrammi (in ascissa: tipi di lavaggio; in ordinata: numero lavaggi): L'aspetto descrittivo: proposte didattiche AUTOPULITA AUTOBRILLANTE AUTOLUCENTE

20. Gli istogrammi mostrano come la situazione della stazione AUTOPULITA sia interessante, anche se presenta un numero inferiore di lavaggi eseguiti. L’istogramma mostra un maggiore carico a destra. Ciò significa che i clienti di AUTOPULITA preferiscono i programmi di lavaggio più completi e di conseguenza più cari; costituiscono, cioè, una buona clientela. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Mentre quelli di AUTOBRILLANTE si orientano sui programmi medi… …quelli di AUTOLUCENTE scelgono prevalentemente i programmi di lavaggio più semplici e meno costosi.

21. Ma a Piero, il battagliero responsabile di AUTOLUCENTE, questi discorsi non vanno, per cui si decide di calcolare i ricavi ottenuti da ciascuna stazione. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche AUTOPULITA AUTOBRILLANTE AUTOLUCENTE

22. A questo punto Piero si pentì di aver insistito. Il ricavo di AUTOPULITA è nettamente superiore a quelli delle altre due stazioni. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Da ultimo ci si può porre la domanda: qual è il ricavo medio per lavaggio ottenuto da ciascuna stazione? Basta calcolare la media aritmetica dei ricavi:

23. Conclusione Se consideriamo la scala dei prezzi in ordine crescente, possiamo dire che il valore centrale (equidistante dagli estremi della scala), detto mediana, è 9 Fr. L'unica stazione che vanta una media superiore alla mediana è ancora una volta AUTOPULITA. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Siamo giunti alla fine di un primo itinerario statistico che ci ha permesso di familiarizzarci con istogrammi, con la media aritmetica e con la mediana: punti importanti di partenza per qualunque discorso statistico.

24. Problema 2: media aritmetica o mediana? Ecco la lista completa dei salari (in Fr) che la ditta GANCISA distribuisce ai propri dipendenti. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche 3000 3000 3150 3300 3300 3300 3600 3650 3650 3950 3950 4500 4500 4500 4500 4650 4650 5250 5500 6550 7500 7500 9950 15000 15000

25. 3000 3000 3150 3300 3300 3300 3600 3650 3650 3950 3950 4500 4500 4500 4500 4650 4650 5250 5500 6550 7500 7500 9950 15000 15000 «Egregio Direttore, è scandaloso che un dirigente si permetta di dichiarare il falso in pubblico…» L'aspetto descrittivo: proposte didattiche «Leggo sui quotidiani di oggi che la GANCISA, secondo lei, praticherebbe nei confronti dei propri dipendenti una politica dei salari all'avanguardia.»

26. 3000 3000 3150 3300 3300 3300 3600 3650 3650 3950 3950 4500 4500 4500 4500 4650 4650 5250 5500 6550 7500 7500 9950 15000 15000 «L'ho detto e lo confermo: il salario medio di un dipendente della nostra ditta (cioè la media aritmetica dei salari) è di 5496.- Fr…» L'aspetto descrittivo: proposte didattiche «…cioè maggiore di 500 Fr rispetto alla media nazionale che, per una impresa medio-piccola come la nostra, si situa attorno ai 5000.- Fr mensili, come lei sa meglio di me.»

27. 3000 3000 3150 3300 3300 3300 3600 3650 3650 3950 3950 4500 4500 4500 4500 4650 4650 5250 5500 6550 7500 7500 9950 15000 15000 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche «Spiacente di contraddirla, ma il salario medio mensile di un dipendente della GANCISA, cioè il valore centrale, la mediana, se posso permettermi di usare un concetto statistico … è di miseri 4500.- Fr, ben 500.- Fr al di sotto della media.»

28. 4500 Fr Chi dei due personaggi ha ragione? L'aspetto descrittivo: proposte didattiche La domanda è pertinente? 5496 Fr

29. Problema 3: sulla moda L'aspetto descrittivo: proposte didattiche In una località della Svizzera centrale è stata fatta un'inchiesta relativa all'ora di chiusura degli esercizi pubblici (la cosiddetta "Polizeistunde"). Ecco, sulla destra, i risultati organizzati in una tabella:

30. Un vostro amico vi chiede a che ora è fissata di regola la chiusura serale degli esercizi pubblici in quella località. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Che cosa rispondete? La media aritmetica degli orari di chiusura è 22.06. Sarebbe utile all’amico questa informazione?

31. In realtà vi sono 6 orari di chiusura: 17.00, 18.00, 19.00, 22.00, 23.00, 02.00 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Può essere utile considerare il loro istogramma delle frequenze assolute.

32. L’orario di chiusura 23.00 è nettamente il più frequente:gli altri orari possono essere considerati eccezioni. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Al nostro amico possiamo dire che, di regola, la chiusura è fissata alle 23.00. Il valore più frequente di un insieme di dati osservati si dice moda. Può essere usato come valore medio, quando la sua frequenza è nettamente la più elevata.

33. Problema 4: quando la media non basta… La stazione di Crestalunga contende i turisti alla rivale Cimabianca, posta sull’altro versante di una magnifica vallata alpina. La lotta per attirare gli sciatori è particolarmente intensa nel mese di gennaio… L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Venite in gennaio a sciare a Crestalunga: troverete neve bellissima, tanto sole e una temperatura media di –1 grado, ideale per la pratica del vostro sport preferito! Sciate in gennaio a Cimabianca: avrete ottima neve, sole e una temperatura media giornaliera di –1 grado, ideale per la pratica dello sci!

34. Temperature medie giornaliere del mese di gennaio a Crestalunga (dal primo al 31 gennaio dello scorso anno): 3 –2 –3 –1 –5 2 5 6 0 8 5 3 0 –6 –9 –12 –12 –10 –6 –2 –1 0 5 6 6 3 0 –3 –4 –5 –2 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Temperature medie giornaliere del mese di gennaio a Cimabianca(dal primo al 31 gennaio dello scorso anno): –1 0 –2 –1 0 –3 0 –2 –1 –2 –3 –1 –1 –2 –2 –3 –2 –2 –1 1 0 0 0 2 2 1 –3 1 –2 –2 –2

35. Un semplice calcolo mostra che la media aritmetica delle temperature medie giornaliere è di –1 grado in tutte e due le stazioni. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Si può dire che la temperatura in gennaio nelle due stazioni sia molto simile? Dovendo condurre una classe di bambini o un gruppo di anziani per una settimana sciistica, quale delle due stazioni si farebbe preferire, dal punto di vista della variazione della temperatura?

36. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Il grafico cartesiano mostra chiaramente che le temperature a Crestalunga subiscono variazioni più consistenti.

37. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche L'osservazione è confermata se si osserva il grafico delle differenze assolute di ciascun valore rispetto alla media (chiamate delta), di ogni stazione.

38. Differenze assolute nella scuola elementare o media? L'aspetto descrittivo: proposte didattiche In realtà non costituiscono alcuna difficoltà per i giovani allievi, i quali, senza farsi troppi problemi, nel calcolare le differenze fra i numeri di una coppia, non esitano a sottrarre sempre il minore dal maggiore. La differenza assoluta è un concetto che fa parte dell’apprendimento sommerso: peccato non sfruttarlo.

39. Ci si chiede: è possibile trovare una misura della variazione della temperatura nelle due stazioni? L'aspetto descrittivo: proposte didattiche La soluzione più coerente con quanto fatto finora consiste nel calcolare, per ciascuna stazione, la media aritmetica delle differenze assolute.

40. In statistica: la differenza assoluta si chiama scarto assoluto e la media delle differenze assolute si chiama scarto assoluto medio. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Lo scarto assoluto medio è la prima misura di dispersione che l’allievo incontra.

41. In statistica la dipersione viene misurata per mezzo dello scarto tipo . L'aspetto descrittivo: proposte didattiche È molto simile allo scarto assoluto medio, solo che, invece delle differenze assolute, si prendono i quadratidelle differenze (tra la media e ciascun valore). Si calcola poi la media dei quadrati delle differenze. E infine si estrae la radice quadrata del tutto.

42. Per i puristi, ecco la formula finale… L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Perché in statistica, soprattutto per ragioni teoriche, si usa lo scarto tipo. Il vantaggio è che calcolatrici e computer lo calcolano automaticamente. …che non fa paura se la si è vista nascere come alternativa allo scarto assoluto medio. Perché non limitarsi allo scarto assoluto medio?

43. Come si interpreta la dispersione? Come faccio a sapere se una certa dispersione è tanta o poca? L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Non c’è nessun criterio particolare. A scuola l’esperienza viene acquisita affrontando situazioni diverse. L’uso più semplice consiste nel confrontare le dispersioni di due diverse popolazioni. Per l’interpretazione di una singola dispersione, ci si basa solitamente sull’esperienza.

44. Problema 5: una questione di dispersione Una squadra di basket sta vagliando l’acquisto di un pivot straniero. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche I tre candidati sono tutti ottimi giocatori, ovviamente, ma il presidente desidera acquistare il giocatore che ha maggior continuità di rendimento. Si è procurato le tabelle relative ai punti messi a segno dai tre campioni nelle ultime 25 gare ufficiali alle quali hanno preso parte come titolari.

45. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche

46. Dopo attento esame, e qualche calcolo, il presidente non ha dubbi: prende il telefono e chiama l'allenatore. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche «Pronto?» risponde costui. «Sono il presidente, buongiorno. Le comunico che ho deciso di ingaggiare per la prossima stagione…tu-tu-tu…» Proprio nell’istante in cui sta per pronunciare il nome del prescelto, la linea cade. Chi sarà stato scelto?

47. Il giocatore che vanta la maggior continuità di rendimento è colui che denota risultati più raccolti attorno alla media, cioè quelli con il minore scarto assoluto medio. L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Ecco i risultati: Il prescelto è

48. Ovviamente… L'aspetto descrittivo: proposte didattiche John!!! Egli ha il minore scarto assoluto medio (2.32) e anche il minor scarto tipo (3.39).

49. Problema 6: quando i dati sono tanti… L'aspetto descrittivo: proposte didattiche In una fabbrica si dispone dei dati relativi alla produzione di un determinato articolo durante 125 giorni lavorativi consecutivi. Si vorrebbe stabilire un valore medio della produzione giornaliera e un valore di dispersione (attorno alla media). Per affrontare questo problema ci vuole un computer: basta un foglio elettronico. I dati sono riportati nella seguente tabella

50. 774 890 895 949 774 898 770 946 655 764 910 851 887 938 932 986 982 593 590 914 657 938 933 880 887 856 933 897 910 936 840 816 920 642 906 774 614 901 830 888 999 985 881 850 848 879 679 935 903 807 862 859 536 859 985 812 823 736 717 703 611 734 808 525 898 797 600 878 914 647 673 695 861 679 635 907 607 541 882 724 643 677 921 756 507 620 740 555 646 628 691 631 875 629 664 703 794 692 677 708 998 594 507 534 815 880 680 714 953 751 572 770 843 826 839 814 937 933 860 664 836 789 998 785 988 774 890 895 949 774 898 770 946 655 764 910 851 887 938 932 986 982 593 590 914 657 938 933 880 887 856 933 897 910 936 840 816 920 642 906 774 614 901 830 888 999 985 881 850 848 879 679 935 903 807 862 859 536 859 985 812 823 736 717 703 611 734 808 525 898 797 600 878 914 647 673 695 861 679 635 907 607 541 882 724 643 677 921 756 507 620 740 555 646 628 691 631 875 629 664 703 794 692 677 708 998 594 507 534 815 880 680 714 953 751 572 770 843 826 839 814 937 933 860 664 836 789 998 785 988 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Ecco una prima vera situazione statistica: 125 dati da elaborare. Non c’è che dire…