Equivalência de Taxa de Juros

1. Equivalência de Taxa de Juros Matemática Financeira Prof. Marcel Dupret 2013

2. Tópicos • Conceitos • Taxas nominais • Taxas efetivas • Equivalências de taxas

3. Conceitos • No mercado financeiro são utilizadas diferentes taxas de juros, onde são necessários alguns cuidados e transformações matemáticas para a utilização das fórmulas mostradas nas apresentações passadas. • A ideia principal é verificar o tempo referente à taxa de juros, juntamente com o período envolvido da operação financeira e a quantidade de vezes que o valor é capitalizado.

4. Taxa de Juros Nominal • É a taxa de juros considerada quando um valor é capitalizado mais de uma vez no período a que se refere, por exemplo: • taxa de 18% ao ano capitalizada mensalmente • taxa de 5% ao mês capitalizada diariamente • taxa de 8% ao semestre capitalizada mensalmente • Aplica-se diretamente em operações de juros simples • Pode ser proporcionalizadaem seu período referencial

5. Taxa de Juros Nominal • Montante após aplicar o capital inicial a uma taxa de juros nominal j por um prazo m, com juros capitalizados k vezes durante o período referencial: S = P . (1 + j/k)k.m S = montante P = capital inicial j = taxa de juros nominal k = número de vezes que os juros são capitalizados m = prazo da aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal

6. Cálculo de taxas de juros nominal • Exemplo 1: Calcular o montante de um investimento de R$ 1.200,00 aplicado por 3 anos a juros nominais de 16% a.a., capitalizados mensalmente. P = 1.200; m = 3 anos; j = 0,16; k = 12; S = ? S = P . (1 + j/k)k.m= 1200 . (1 + 0,16/12)12.3 = 1200 . (1+0,01333)36 = 1200 . (1,01333)36 = 1200 . 1,61095 = R$ 1.933,15 O montante após 3 anos, capitalizado o principal mensalmente será de R$ 1.933,15

7. Cálculo de taxas de juros nominal • Exemplo 2: Qual o valor de resgate para um capital de R$ 200,00 aplicado pelos seguintes prazos? a) 27 dias a 9% ao mês capitalizados diariamente P = 200; m = 27/30; j = 0,09; k = 30; S = ? S = P . (1 + j/k)k.m= 200 . (1 + 0,09/30)30.(27/30) = R$ 216,85 b) 6 meses a 28% ao ano capitalizados mensalmente P = 200; m = 6/12; j = 0,28; k = 12; S = ? S = P . (1 + j/k)k.m= 200 . (1 + 0,28/12)12.(6/12) = R$ 229,69

8. Cálculo de taxas de juros nominal • Exemplo 3: Calcular a taxa nominal ao ano, capitalizada mensalmente, que produz um montante de R$ 3.866,30 a partir de um investimento de R$ 2.400,00 aplicado pelo prazo de 3 anos. P = 2.400; m = 3 anos; k = 12; S = 3.866,30; j = ? S = P . (1 + j/k)k.m=> 3866,3 = 2400 . (1 + j/12)12.3 => (3866,3/2400)1/36 = (1+j/12) => (1,01333 – 1).12 = j => j = 0,16 = 16% ao ano Taxa nominal ao ano de 16%

9. Cálculo de taxas de juros nominal • Exemplo 4: Em quantos meses uma dívida de R$ 5.000,00, corrigida mensalmente a juros nominais de 120% ao ano, totaliza R$ 11.789,75? P = 5.000; k = 12; S = 11.789,75; j = 1,2; m = ? S = P . (1 + j/k)k.m=> 11789,75 = 5000 . (1 + 1,2/12)12.m => (11789,75/5000) = (1,1)12.m=> 2,35795 = (1,1)12.m=> log(2,35795) = 12.m.log(1,1) => 12.m.0,0413927 = 0,37253 => 12.m = 0,37253 / 0,0413927 => m = 9 / 12 => m = 0,75 ano = 9 meses

10. Taxa de Juros Efetiva • Os jurosincidem apenas uma vez em cada período a que se refere a taxa => unidade de referência do tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização (regime de juros compostos) • Exemplos onde a taxa de juros efetiva é empregada: • antecipação de pagamentos • impostos • comissões sobre transações • aplicações financeiras

11. Taxa de Juros Efetiva • A relação entre a taxa de juros efetivae a nominal é dada pela seguinte fórmula: ie = (1 + j/k)n – 1 onde ie é a taxa efetiva para n períodos de capitalização, j é a taxa nominal capitalizada k vezes. Exemplo 1: Qual é a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 24% a.s. capitalizada mensalmente? j = 0,24; k = 6; n = 12 ; ie = ? ie = (1 + 0,24/6)12 – 1 = (1 + 0,04)12 – 1 = (1,04)12 -1 = = 1,601 -1 = 0,601 = 60,1% ao ano

12. Taxa de Juros Efetiva Exemplo 2:Três bancos oferecem aplicações financeiras com taxas nominais diferentes. Sabendo-se que no banco A a aplicação é de 15% a.a. capitalizada diariamente, no banco B a taxa é de 15,5% a.a. capitalizada trimestralmente e no banco C a taxa é de 16% a.a. capitalizada anualmente, qual seria a aplicação mais vantajosa? Banco A: ie = (1 + 0,15/360)360 – 1 = 16,18% a.a. Banco B: ie = (1 + 0,155/4)4 – 1 = 16,42% a.a. Banco C: ie = (1 + 0,16/1)1 – 1 = 16,00% a.a. É mais vantagem aplicar no banco B.

13. Equivalência entre taxa de juros • Duas taxas são equivalentes quando produzem montantes iguais a partir de um capital, considerando um dado prazo de aplicação, considerando o regime de capitalização composta. Exemplo 1: A taxa efetiva de 42,5761% a.a. é equivalente à taxa efetiva de 3% a.m., considerando a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 durante um ano? S1 = 1000 . (1 + 0,425761)1 = R$ 1.425,76 S2 = 1000 . (1 + 0,03)12 = R$1.425,76 Taxas são equivalentes pois os montantes são iguais.

14. Equivalência entre taxa de juros • Considerando o ano comercial de 360 dias, as seguintes identidades são válidas: (1 + ia) = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + im)12 = (1 + id)360 sendo: • ia = taxa efetiva anual • is = taxa efetiva semestral • it = taxa efetiva trimestral • im = taxa efetiva mensal • id = taxa efetiva diária

15. Equivalência entre taxa de juros Exemplo 2: Calcular as taxas efetivas anuais para as seguintes taxas nominais: a) 24% a.a. capitalizada mensalmente, b) 48% a.s. capitalizada mensalmente, c) 60% a.t. capitalizada diariamente. (1+ia) = (1+j/k)k.m a) ia = (1+0,24/12)12.1 -1 = 26,82% a.a. b) ia= (1 + 0,48/6)6.2 - 1 = 151,82% a.a. c) ia = (1 + 0,60/90)90.4 – 1 = 993,57% a.a.

16. Equivalência entre taxa de juros Exemplo 3: Os juros da caderneta de poupança são de 6% a.a. com capitalizações mensais. Qual é a taxa de juros efetiva ao ano? (1+ia) = (1+j/k)k.m j = 6% aa; k = 12; m =1; ia = ? ia = (1+0,06/12)12.1 -1 = 0,06168 = 6,168% a.a. A taxa de juros efetiva da caderneta de poupança é de 6,168% ao ano.