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On the global Minimization of the Value at Risk Jong-shi Pang Sven Leyffer

On the global Minimization of the Value at Risk Jong-shi Pang Sven Leyffer. Abstract. 目標. ポートフォリオの Value-at-Risk 最小化問題を解きたいな♪. nonconvex ！ （難しい ‥ ）. 解決策１. LPEC （相補性制約を持つ LP ）に変換. VaR の上界値、下界値を導出. Branch-and-Bound して大域的最適解 ♪. 解決策２. Smoothing して近似解 ♪. VaR と CVaR とは ‥ ？.

sanura
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On the global Minimization of the Value at Risk Jong-shi Pang Sven Leyffer

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Presentation Transcript

  1. On the global Minimization of the Value at RiskJong-shi PangSven Leyffer

  2. Abstract 目標 ポートフォリオのValue-at-Risk 最小化問題を解きたいな♪ nonconvex！ （難しい‥） 解決策１ LPEC（相補性制約を持つLP）に変換 VaRの上界値、下界値を導出 Branch-and-Boundして大域的最適解♪ 解決策２ Smoothingして近似解♪

  3. VaRとCVaRとは‥？ VaR　　：信頼水準から見た損失のリスク基準値 CVaR:リスク損失の期待値 信頼水準（β）=0.9だとすると‥、 損失額の 密度関数 10% CVaR VaR 損失小 損失大 VaR最小化

  4. VaRとCVaRの定式化 ：金融商品の損失ベクトル（r.v.） ：利用可能な金融商品の集合 ：投資ベクトル（d.v.） ：投資　 のときの総損失（r.v.） ：許容可能な損失の信頼水準 ：　　　　　　　を達成する　　の集合

  5. VaR最小化とCVaR最小化 • CVaR最小化問題は以下の凸計画問題に帰着できる（ことが知られている）。 • その一方でVaR最小化は凸計画問題ではない‥。　　 VaRの 欠点 この論文の目標：

  6. 損失ベクトルを離散化 • ここからは、　　をcompact polyhedronとし、損失ベクトル　　はシナリオに（離散化）する。 ：　　の有限なシナリオの集合 ：　　のシナリオ確率 確率 密度関数 シナリオ

  7. は以下のLPの最適値となる。 (Primal) (Dual)

  8. 相補性定理 （Ｄ） （Ｐ） 主問題と双対問題のそれぞれの許容解　 と　 が ともに最適解であるための必要十分条件は、 かつ が成立することである。（田村・村松 『最適化法』）

  9. VaR最小化問題（LPEC） 相補性定理を用いて、VaR最小化問題は以下の LPEC（相補性制約を持つLP）に帰着できる！ を達成する どっちかが必ず０！

  10. 上界値（１）：LPによる上界値(index set) LPECの相補性条件（どっちかが０）を 『左が０』 or 『右が０』 に強める。 idea 得られている許容解　　　　　　の相補性条件の 満たし方で以下のindex setを定義する。 （例えば、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　） に関して‥ index set ｛　｜左が正、右が０｝ ｛　｜左も右も０｝ ｛　｜左が０、右が正｝ 適当に 分割

  11. 上界値（１）：LPによる上界値(定式化1) LPECの相補性条件（どっちかが０）を 『左が０』 or 『右が０』 に強める。 idea よーく見ると、　 は他の解に 無関係。省いてしまおう！

  12. 上界値（１）：LPによる上界値(定式化2) 　　初期解　　　　　　を用いてindex setを構成した 上式を解き、新たな解　　　　　　　　を得る。 として以下が成り立つ。 ＝最適解

  13. 上界値（１）：LPによる上界値(まとめ) ２通りのケース １． （上界値の改善無し） ｛　｜左も右も０｝の分割の仕方を変えてリトライ！ 退化が役に立つ 極めて稀なケース ２． （strictな改善） 初期解を　　　　　　 に置き換えて繰り返し！ ただの理論的興味‥ Theorem 3.1 　　　　　　　　　 もし、strictな改善が常に得られるなら、 有限回のstepで最適VaRにたどり着く。

  14. 上界値（２）：ＮＬＰによる上界値 idea LPECと等価なNLP をソルバーで解く！ 非凸な問題だが、最近のNLP ソルバーは結構いいセンいく？ ⊥ ⊥ 相補性条件と 等価な非線形制約

  15. 下界値（１ ２）：convex hull緩和(非線形項) 相補性条件： を　　　　　　　　について足し合わせて、 唯一の非線形項（´ヘ｀；）

  16. 下界値（２）：convex hull緩和(見た目) 唯一の非線形項　　　　　　　　　　 は双線形変数！ を で置き換えて以下の制約で挟もう！ のconcave envelope のconvex envelope

  17. 下界値（２）：convex hull緩和(式で) の上（下）界値：　１（０）　　←当然 の上（下）界値： ←例えばLP 　　を計算 を用いて、　　　　　　のconvex hullは 以下の式で表せる（と知られている）。

  18. 下界値（２）：convex hull緩和(LP定式化) 相補性条件を 省いたもの 緩和された 相補性条件 さっきの 制約式

  19. Branch and Bound 相補性アリ　→　最適解 　　　　 ナシ　→分枝操作へ LPEC（相補性）の 緩和問題を解く。 緩和問題である子問題を解いていく。 LPECの許容解を見つける。　→最適解 子問題が実行不可能。　　　　 →実行不可能 上界値（暫定値）に越される。 →枝をCut！ 計算実験（シナリオ３０コ！？） LP、NLPによる上界値が（大域的）最適解 で あることがBranch and Boundで証明できた！

  20. 解決策２：Smoothingして近似解 プラス関数「　　」をsmooth functionで近似する。 smooth function 傾きが緩い 2階微分可能で 狭義凸関数 ある定数　　　　において、 十分小さな全ての　　　　で の近似 が成立。 多分‥ 例） o

  21. Smoothingの利点　　　　　　　　 は　　　　　　　　 の唯一の最適解！ 　　　　　　　　が以下のsmooth equationを満たす 唯一の　　となる！ で微分 して、＝０ 近似VaR最小化問題（　　　　　　　　　）は非凸だが、 1変数　 のsmoothなNLP！ 様々な効率的アルゴリズムが使用可

  22. Smoothingの結果 Proposition 6.2 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　が一点集合　　　　　 で あるような最適解　　　　が存在すれば、 が成り立つ。 理論的には美しいが、大きな欠点が‥。 近似VaR最小化問題の大域的最適解を NLPソルバーが計算できない！ 現実的には使えない‥。

  23. 結論 • VaR最小化問題を非凸なLPECとして定式化し、解の大域的最適性を証明するためのBranch and Boundを考案した。 • 近似VaRを計算するSmoothing操作の収束性を示した。 • MPECにおいて、現在あるlocal methodとBranch and Boundを組み合わせて、大域的最適解を得るのに機は熟した（勝利宣言？）。 VaR最小化以外の一般的な LPECにも拡張可能！

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