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Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica. 10ª aula. Vectores no plano Vectores no espaço Vectores em  n. (u 1 +v 1 , u 2 +v 2 ). (v 1 ,v 2 ). (u 1 ,u 2 ). (ku 1 ,ku 2 ). ku. (u 1 ,u 2 ). u. Produto interno. u = ( u 1 , u 2 ); v = ( v 1 , v 2 ) u . v = u 1 v 1 + u 2 v 2.

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Álgebra Linear e Geometria Analítica

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Presentation Transcript


  1. Álgebra Linear eGeometria Analítica 10ª aula

  2. Vectores no plano Vectores no espaçoVectores em n

  3. (u1+v1, u2+v2) (v1,v2) (u1,u2)

  4. (ku1,ku2) ku (u1,u2) u

  5. Produto interno • u = (u1, u2); v = (v1,v2) • u . v = u1v1 + u2 v2

  6. Produto interno e norma • u = (u1, u2); v = (v1,v2) • u . v = u1v1 + u2 v2

  7. Produto interno em n • u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un); • v = (v1, v2, v3, v4 . . . , vn); • u . v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 + u4 v4 + . . .+ un vn

  8. Propriedades do produto interno • u . v = v . u • u . (v + w) = u . v + u . w •  ( u . v ) = ( u) . v = u . ( v) • u . u  0 • u . u = 0  u = 0

  9. Produto interno e norma em n • u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);

  10. EXEMPLOS • u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) • v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) • u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) = = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6

  11. EXEMPLOS • u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) • v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) • u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) = = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6

  12. EXEMPLOS • u = (1, 6, 0, -1, 0, 2) • v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2) • u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) = = -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6

  13. Propriedades da norma Desigualdade triangular Desigualdade Cauchy-Schwartz

  14. A B

  15. A ||B|| ||A|| ||A+B|| B Desigualdade triangular

  16. A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A||

  17. A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A|| Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:

  18. A+B B ||A+B|| ||B|| A ||A|| Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:

  19. Ortogonalidade: • Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo

  20. Ortogonalidade: • Definição: Dois vectores são ortogonais se o seu produto interno for nulo • Exemplo: • u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1) • u . v = -4 -6 + 6 + 4 = 0

  21. A B

  22. A B tB

  23. A B tB tB é a projecção do vector A sobre B

  24. A C B tB

  25. A = tB + C C B tB

  26. A = tB + C C B tB A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B

  27. A = tB + C C B tB A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B

  28. A = tB + C C  B tB

  29. A = tB + C C  B tB

  30. A = tB + C C  B tB

  31. Definição de projecção de um vector sobre outro: Sejam u e v vectores de n A projecção de u sobre v é o vector  v sendo

  32. Definição de ângulo de dois vectores: Sejam u e v vectores não nulos de n O ângulo entre os vectores u e v é  tal que

  33. Definição de ângulo de dois vectores: Sejam u e v vectores não nulos de n O ângulo entre os vectores u e v é  tal que

  34. Limites do valor de cos

  35. Exemplo:

  36. Exemplo:

  37. Exemplo:

  38. Produto externo • Só se define produto externo em 3 ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2

  39. Produto externo • Só se define produto externo em 3

  40. Regra prática:

  41. Regra prática:

  42. Regra prática:

  43. Regra prática:

  44. Regra prática:

  45. Propriedades do produto externo: • u  v = - (v  u) • u  (v + w) = u  v + u  w •  (u  v) = ( u)  v • u . (u  v) = 0 • v . (u  v) = 0 • ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2 • u  v = 0  u e v linearmente dependentes

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