1º I.T.I. : MECANICA I

1. 1º I.T.I. : MECANICA I TEMA Nº 15: DINÁMICA CINÉTICA DEL PUNTO Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

2. Indice • Punto 15.1 Introducción • Punto 15.2 Ecuaciones del movimiento • 15.2.1 Segunda Ley de Newton • 15.2.2 Ecuaciones del movimiento de un punto • 15.2.3 Ecuaciones del movimiento de un sistema de puntos • Punto 15.3 Movimiento rectilíneo • Puntos 13.3.1 a 13.3.6 Conocidas x(t), v(t), a(t), a(x), a(v) y a = cte • 13.3.7 Análisis gráfico • Punto 15.4 Movimiento curvilíneo • Punto 15.4.1 Movimiento curvilíneo plano • Punto 15.4.2 Movimiento curvilíneo en el espacio

3. 15.1 Introducción • Cuando la resultante del sistema de fuerzas que se ejerce sobre un cuerpo puntual es nula, el cuerpo está en equilibrio (reposo o velocidad constante). Cuando dicha resultante no es nula, el cuerpo se halla animado de movimiento acelerado. • Las fuerzas no equilibradas y los movimiento que originan constituyen la cinética, tema a tratar en los dos capítulos que quedan por impartir en este curso. • El movimiento que experimenta un cuerpo cuando está sometido a un sistema de fuerzas no equilibrado se puede establecer utilizando tres métodos diferentes: • 1.- Método de fuerza, masa y aceleración. • 2.- Método de trabajo y energía. • 3.- Método de impulso y cantidad de movimiento. • El método más útil para la resolución de un problemq particular depende de la naturaleza del sistema de fuerzas (constantes o variables) y de la información que se busca (reacciones, velocidades, aceleraciones, etc.). • En este curso únicamente se va a desarrollar el primero de los tres métodos, no porque no sean interesantes los otros dos, sino porque el primero de ellos es el más utilizado y por la falta de tiempo para explicar adecuadamente todos ellos.

4. 15.2 Ecuaciones del movimiento Antiguamente se creía que un cuerpo en reposo estaba en su estado natural, por lo que para mantenerlo en movimiento era necesaria una cierta fuerza. La gran contribución de Newton a la Mecánica fue darse cuenta de que no era necesaria una fuerza para mantener en movimiento un cuerpo una vez que se hubiera puesto en movimiento y que el efecto de una fuerza es alterar una velocidad, no mantenerla. 15.2.1 Segunda ley de Newton La primera ley de Newton atañe a un punto material en reposo o que se mueva con velocidad constante y la tercera ley de Newton rige la acción y reacción entre cuerpos que interactúan. Ambas se han utilizado para desarrollar los conceptos de Estática. La segunda ley de Newton para el movimiento, que relaciona el movimiento acelerado de un punto material con las fuerzas que originan el movimiento, constituye la base de los estudios de Dinámica. La primera ley de Newton constituye un caso particular de la segunda. Cuando la fuerza resultante es nula (R = 0), la aceleración del punto es nula (a = 0); por lo que el punto estará en reposo o moviéndose con velocidad constante (EQUILIBRIO).

5. El enunciado moderno de 2ª ley de Newton es: Si sobre una partícula se ejerce una fuerza exterior, aquella se acelerará en la dirección y sentido de la fuerza y el módulo de la aceleración será directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa de la partícula. Matemáticamente: • a es la aceleración de la partícula. • F es la fuerza que se ejerce sobre la partícula. • m es la masa de la partícula. • k es una constante de proporcionalidad en función de las unidades donde: Esta ecuación, válida tanto para fuerzas constantes como para fuerzas que varíen con el tiempo (en módulo o dirección), nos dice que los módulos de F y a son proporcionales y que los vectores F y a tienen la misma dirección y sentido (ya que m es un escalar positivo). Un sistema para el cual k = 1 tendrá unidades cinéticas coherentes (Ej.- SI). La unidad de fuerza (Newton) es la fuerza que aplicada a una masa de 1 kg le comunica una aceleración de 1 m/s2. En el sistema SI, el peso W de un cuerpo (fuerza de la gravedad) vale:

6. 15.2.2 Ecuaciones del movimiento de un punto Cuando sobre un punto material se ejerce un sistema de fuerzas F1, F2, F3, …Fn, su resultante es una fuerza R cuya recta soporte pasa por el centro de masa del punto, ya que todo sistema de fuerzas que se ejerzan sobre un punto debe constituir un sistema de fuerzas concurrentes. El movimiento del punto material viene regido por la 2ª ley de Newton así: En función de sus componentes cartesianas rectangulares: Cuando se utilice alguna de estas ecuaciones del movimiento de un punto, deberá establecerse un convenio de signos.

7. 15.2.3 Ecuaciones del movimiento de un sistema de puntos Las ecuaciones del movimiento de un sistema de puntos materiales se pueden obtener aplicando la 2ª ley de Newton a cada uno de los puntos pertenecientes al sistema. Ejemplo.- consideremos el conjunto de n partículas representado en la figura. La partícula i-ésima tiene una masa mi y su situación se especifica respecto a un sistema de ejes de referencia adecuado utilizando el vector de posición ri. Cada partícula del sistema puede estar sometida a un sistema de fuerzas exteriores de resultante Ri y a un sistema de fuerzas interiores fi1, fi2, fi3, …fin,. Las fuerzas interiores se deben a las interacciones elásticas entre partículas y a efectos eléctricos o magnéticos. La fuerza interior ejercida por la partícula pj sobre la partícula pi se representa por fij. Aplicando la 2ª ley de Newton a la partícula i-ésima se tiene:

8. En la suma de fuerzas interiores, fij es nula porque la partícula pi no se ejerce fuerza sobre sí misma. Si una partícula pj ejerce una fuerza fij sobre la partícula pi, la 3ª ley de Newton nos dice que la partícula pi ejercerá sobre la pj una fuerza fji de igual recta soporte y mádulo que fij pero de sentido opuesto. Sumando las ecuaciones del movimiento correspondiente a las n partículas del sistema se obtiene una ecuación del movimiento para el sistema. Así pues, (1) Esta ecuación nos indica que la resultante R del sistema exterior de fuerzas aplicadas que se ejercen sobre el sistema de partículas es igual a la resultante de los vectores de inercia ma (denominados a veces fuerzas de inercia) de las partículas del sistema.

9. Si consideramos el CDM del sistema de puntos materiales se puede escribir la ecuación anterior de otra forma. El CDM del sistema es el punto G definido por el vector de posición rG que satisface Derivando respecto al tiempo la ecuación anterior tenemos (2) Combinando las ecuaciones (1) y (2) tenemos: Estas ecuaciones constituyen el “principio del movimiento del centro de masa” de un sistema de puntos materiales. Como estas expresiones son formalmente iguales a las obtenidas para un punto material único, un sistema de puntos materiales se puede tratar como un punto material único, situado en el CDM G, si se supone que se aplica una fuerza igual a la resultante R soportada por una recta que pase por G. de hecho todo cuerpo puede ser considerado como punto material al aplicar la ecuación anterior.

10. 15.3 Movimiento rectilíneo En el tema 13 se describió la Cinemática del punto material animado de movimiento rectilíneo. Si orientamos el eje x de manera que coincida con la trayectoria del movimiento tendremos que : En el caso del movimiento rectilíneo a lo largo del eje x, las ecuaciones de la Cinética se reducen a: • En este tipo de movimiento, podemos prescindir de la notación vectorial y utilizar el signo de una magnitud para indicar si el sentido de una magnitud vectorial es el del semieje positivo o el del negativo del eje x. • Existen 4 tipos de problemas referentes al movimiento rectilíneo: • F = constante. • F = función del tiempo. • F = función de la posición. • F = función de la velocidad.

11. Tipos de problemas (movimiento rectilíneo): * Primer caso: F = constante. La 2ª ley da: Integrando 2 veces respecto al tiempo se tiene: Las dos C se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del problema. Segundo caso: F = función del tiempo. La 2ª ley da: Se puede integrar 2 veces respecto al tiempo la ecuación anterior para obtener las expresiones de la velocidad y de la posición. Las dos constantes que aparecen se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del problema. *

12. * Tercer caso: F = función de la posición. La 2ª ley da: Si observamos que: Con lo que de donde sacamos integrando, en función de Como podemos volver a integrar para obtener una relación entre x y t. Las dos constantes que aparecen se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del problema. Cuarto caso: F = función de la velocidad. La 2ª ley da: Las dos constantes que aparecen se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del problema. *

13. PROBLEMA 15.2

14. PROBLEMA 15.4

15. 15.4 Movimiento curvilíneo • Movimiento curvilíneo plano.- Cuando exista un sistema de coordenadas para el cual las componentes z de la posición, velocidad y aceleración sean nulas en todo instante. • Movimiento curvilíneo en el espacio.- Cuando no sea posible encontrar un sistema de coordenadas cartesianas en el cual sea nula, en todo instante, al menos una componente de la posición, velocidad y aceleración. 15.4.1 Movimiento curvilíneo plano Su descripción exigirá utilizar dos coordenadas y elegir uno de los tres sistemas de coordenadas planos (cartesianas rectangulares, polares o normal/tangencial). Coordenadas cartesianas rectangulares: la posición de un punto se describe con sus distancias a dos ejes de referencia (x-y). Las ecuaciones de posición, v y a son: 2ª Ley Superposición de dos movimientos rectilíneos según los ejes x e y.

16. Coordenadas polares: la posición de un punto se describe utilizando una distancia r a un punto fijo y un desplazamiento angular θrelativo a una recta fija. Los vectores unitarios er y eθestán dirigidos el primero radialmente y en sentido de alejamiento del punto fijo y el segundo perpendicular al primero y en el sentido de los ángulos θ crecientes. Las ecuaciones para la posición, velocidad y aceleración son: 2ª Ley Ecuaciones escalares

17. 15.4.2 Movimiento curvilíneo en el espacio Su descripción exigirá utilizar tres coordenadas y elegir uno de los tres sistemas de coordenadas espaciales (cartesianas rectangulares, cilíndricas o esféricas). Coordenadas cartesianas rectangulares: este sistema es una extensión directa del sistema rectangular empleado en los problemas planos. Las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración son: 2ª Ley Ecuaciones escalares

18. Coordenadas cilíndricas: Este sistema es una extensión directa del sistema de coordenadas polares empleado en los problemas planos. Las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración son: 2ª Ley Ecuaciones escalares

19. PROBLEMA 15.7

20. PROBLEMA 15.8