I.ESTÀTICA I RESISTÈNCIA DE MATERIALS

1. I.ESTÀTICA I RESISTÈNCIA DE MATERIALS

2. I.1 ESTÀTICA • Equilibri d’una partícula • Moments • Centre de gravetat • Equilibri del sòlid rígid • Estructures articulades (mètode dels nusos)

3. Equilibri d’una partícula ΣF=0

4. Moment d’una força De la mateixa manera que una força aïllada actúant sobre un cos en repòs produeix una acceleració en aquest, un moment d’una força farà que inicïi un gir. M=d·F=r·F·sin

5. I.2 Resistència de materials • Elasticitat i plasticitat. Esforç • Tracció i compressió • Esforç tallant • Càlcul de bigues i columnes • Càlcul de reaccions • Moments flectors i forces tallants • Diagrames • Vinclament

6. Elasticitat i plasticitat. Esforç • Definim sòlid elàstic com aquell cos que pateix deformacions quan és sotmès a una força i recupera les seves dimensions quan la força deixa d’actuar. • L’esforç o tensió és el resultat de dividir la força que actua per l’area de la secció en estudi. =F/A (N/m2 o Pa)

7. Tracció i compressió • Una secció d’un sòlid està sotmesa a tracció quan està sol·licitada per dues forces d’igual mòdul i direcció, però sentits oposats perpendiculars a la secció estudiada amb orientació capo a l’exterior • Una secció d’un sòlid està sotmesa a compressió quan està sol·licitada per dues forces d’igual mòdul i direcció, però sentits oposats perpendiculars a la secció estudiada amb orientació capo a l’interior

8. Llei de Hooke per a sòlids elàstics • Les deformacions són proporcionals a les forces deformadores =Lf-L0=· (L0/E) E és el mòdul elàstic o mòdul de Young Per a deformacions unitàries: = / L0 i = /E

9. Coeficient de Poisson • Les deformacions axials provoquen deformacions transversals i existeix una relació entre elles: =y/x= z/x  És el coeficient de Poisson

10. Diagrama de tracció • Zona elàstica: deformacions elàstiques, es compleix la llei de Hooke s’acaba al límit de proporcionalitat p • Zona plàstica: • Límit elàstic E fins a un 0,2% de deformació • Fluència i enduriment • Estricció i trencament Allargament: Desprès del trencament es mesura l’allargament patit

11. Esforç de fatiga • Els esforços que alternen el seu sentit d’aplicació s’anomenen esforços de fatiga • La major part del trencament de peces metàl·liques són degudes a la fatiga • Els resultats dels assajos de tracció es representen en elDiagrama de Wöler o corba S-N

12. Corba S-N S Amplitud de l’esforç La vida a la fatiga per l’esforç S1 és de 105 cicles S1 N Nombre de cicles 103 104 105 106 107 108 109

13. F F Esforç tallant pur • Quan les forces són paral·leles a la secció d’estudi, poarlarem d’esforçtallant =F/A • Els esforços tallants provoquen deformacions angulars =G· on: G és el mòdul de rigidessa (N/m2) i  La deformació d’angle (radians)

14. F F Esforç simple F F F Esforç compost Càlcul de reblons • Els reblons i els cargols treballen a esforç tallant simple o compost • Per a una unió simple: F=n·(·d2/4)· (N) • I per a una doble F=2·n·(·d2/4)· (N) On N és el nombre de reblons d és eldiàmetre del forat on s’introdueix el cargol o el rebló

15. Torsió: càlcul d’arbres de transmissió • Parlem de torsió quan una barra està sotmesa a un parell de forces que intenten fer-la girar en sentits oposats i en un pla perpendicular al seu eix • L’efecte de la torsió és, com en el cas dels esforços tallants, un gir d’un angle

16. Esforç de flexió • Combinació d’un esforç de tracció i un de compressió • Quan una barra està sotmesa a forces puntuals i/o repartides que actuen sobre el seu eix longitudinal i tenen tendència a corbar-la, diem que està sotmesa a un esforç de flexió

17. Bigues.Flexió isostàtica • Treballarem amb casos de flexió isostàtica, en els quals es poden calcular les reaccions amb les tres equacions de l’estàtica • Si hi ha més incògnites tindrem un sistema indeterminat i és més complex de resoldre, estariem davant una flexió hiperestàtica

18. P P P Càlcul de reaccions • El primer pas per a a dimensionar una biga o una columna és calcular les reaccions. • Sabem fer-ho en la tres dels quatre casos: • A) Biga recolzada amb càrrega puntual • B) Biga recolzada amb voladís i càrrega puntual • C) Biga encastada amb càrrega puntual M R

19. L Q=qL • El quart cas és el de les bigues amb càrregues uniformement repartides • A efectes de moments, la càrrega Q es pot considerar situada al seu centre.

20. 3kN 3,5m 5m Exemples • Calcula les reaccions en les bigues representades a les figures següents: 500kN 2m 2,5m 5m 500kN/m 3m

21. P1 P2 P3 m x R1 R2 n Moments flexors i forces tallants • Suposem una biga recolzada amb forces verticals. Estudiarem la secció mn oblidant-nos de la resta de la biga que queda a la dreta P1 P2 m V M x R1 n

22. Definició i càlcul La força V és igual a la suma de les forces exteriors i s’anomena força tallant a la secció de la biga mn V=R1-P1-P2 El moment M és igual a la suma dels moments a l’esquerra de la secció mn, en relació al cdg de la secció, i s’anomena moment flexor de la secció recta mn M=R1x-P1(x-a)-P2(x-b)

23. P1 P2 P3 m x R1 R2 n Diagrama de forces tallants i moments flexors • Es tracta de representar el valor de la força tallant i del moment flexor per a tota la longitud de la biga Forces tallants Moments flexors

24. Dimensionament de seccions Un paràmetre associat als diferents perfils de les bigues és el moment resistent Wz Aquest es relaciona amb el moment flexor màxim Mmax i amb el valor de l’esforç de tracció/compressióx. Wz=Mmax/x El procediment de càlcul és el següent • Càlcul de les forces tallants i moments flexors • Càlcul del moment resistent • Cerca de una taula de les dimensions de la biga

25. FERRO DOBLE TE (IPN)

26. II.Màquines i mecanismes • Cinemàtica • Màquines i mecanismes • Anàlisi de mecanismes plans • Dinàmica de màquines i mecanismes

27. Cinemàtica • Relació entre el moviment circular i el rectilini: v=·r • Velocitats de gir: • Fem servir n quan expressem la velocitat en rpm • Fem servir  quan expressem la velocitat en rad/s • El rad és una unitat adimensional i equival a un angle de (360º/2·π)

28. A B Exemple de moviment circular • Per elevar una càrrega Q s’utilitza un tambor A de diàmetre DA=200mm, que enrotlla el cable, i una politja mòbil B també de diàmetre DB=200mm. Si el tambor arrenca des del repòs fins a assolir una velocitat de rotació nA=800min-1 en un temps t=4s, determina: • L’acceleració de pujada de politja B i la del cable durant l’arrencada • La velocitat d’ascensió de la càrrega Q quan nA=800min-1 • La longitud de cable enrotllat durant la maniobra

29. II.2.Màquines i mecanismes • II.2.1.Definicions • II.2.2. Parells cinemàtics • II.2.3. Graus de llibertat

30. II.2.1 Definicions • Màquina: sistema format per un o més conjunts mecànics amb parts mòbils concebut per realitzar una tasca determinada, que normalment comporta la transformació d’energia. • Mecanisme: conjunt d’elements mecànics que realitza funcions de guiatge i transmissió en el si d’una màquina • Membre: element d’una màquina o mecanisme • Cadena cinemàtica: conjunt o subconjunt de membres d’un mecanisme enllaçats entre si.

31. II.2.2. Parells cinemàtics Un parell cinemàtic és la unió entre dos membres d’un mecanisme. Els graus de llibertat són el nombre de moviments que poden haver entre els membres del parell cinemàtic Poden ser: • Inferiors: el contacte entre els membres és una superfície. • De revolució o articulació (frontissa) GL=1 • Prismàtics o de guia corredora GL=1 • Parell cilíndric (cilindre i èmbol) GL=2 • Parell esfèric o de ròtula (cap de trípode) GL=3 • Parell pla (llibreta a sobre de la taula) GL=3 • Parell helicoidal o de cargol GL=1 • Superiors: el contacte es produeix en un punt o línia (roda-superfície, roda-rail o piu-guia)

32. II.2.3. Graus de llibertat • Una altra definició compatible amb l’anterior és: el nombre de graus de llibertat d’un mecanisme és igual al nombre de paràmetres o variables que hem de controlar independenment per conèixer la seva posició a l’espai. En el pla (2D) el nombre de graus màxim per a un sòlid és de 3 (dos de traslació i un de rotació) • Determinació de graus de llibertat: • Comptar el nombre de membres mòbils • Multiplicar el nombre de membres per 3 (en el pla) • Restar les restriccions de cada parell (2 si inferior, 1 si superior) GL= 3N-R=3N-2pi-ps - Mirant l’esquema, deduir a cop d’ull si el mecanisme està bloquejat (GL=0), si nomès te una possibilitat de moviment (GL=1), o si en té més (GL>1)

33. Exemples 3 2 1 GL= 3·3 –3·2=3 GL= 4·3 –5·2=2

34. Centres instantanis de rotació • Tot moviment d’un sòlid rígid es pot considerar, en cada instant, com una rotació al voltant d’un punt: el CIR. Coneguda la velocitat d’un punt A, es pot calcular el valor de la velocitat angular del sòlid respecte al CIR. A partir d’aquesta, es poden calcular les velocitats d’altres punts del sòlid. • El centre instantani de rotació d’una baula respecte a una altra s’anomena CIR relatiu. • El centre instantani de rotació d’una baula respecte l’element fix s’anomena CIR absolut de la baula corresponent. • Els CIR es representen amb subíndex que indiquen els membres als quals es refereix.

35. Determinació dels CIR.Llei dels tres centres • Quan es coneixen les velocitats de dos punts d’un membre és fàcil trobar el CIR absolut; aquest es troba a la intersecció de les perpendiculars a les velocitats. • Ens serà de gran ajut l’aplicació de la llei dels tres centres: • Quan tres sòlids es mouen relativament entre ells, els tres centres de rotació instantània es troben alineats. • La resolució d’exercicis s’acostuma a fer de forma gràfica i no analítica!!!

36. 2 A l r 45º O B Exemple • Determinarem: • El nombre i tipus de membres que el componen • El nombre i tipus de parells cinemàtics • El nombre de graus de llibertat del mecanisme • El CIR absolut de la barra AB • La velocitat del punt B • La velocitat angular de la barra AB

37. Relació de transmissió en politges i cadenes La relació de transmissió entre dues politges indica el nombre de voltes que farà l’eix de sortida per cada volta de l’eix d’entrada És important la relació entre la relació de transmissió i els moments, que treiem de la fòrmula de la potència Per a les cadenes cal substituir el diàmetre pel nombre de dents

38. Engranatges.Definicions • Diàmetre primitiu: és el diàmetre de la circumferència primitiva que coincidiria amb el de la roda de fricció si no hi hagués dents. • Nombre de dents (Z) • Mòdul(m): és la relació entre el diàmetre primitiu i el nombre de dents • Pas (p) :és la llargada de l’arc que hi ha entre dos punts homòlegs de dues dents consecutives mesurat sobre la circumferència primitiva p·z=·Dp p= ·m La relació de transmissió té la mateixa expressió que per a les cadenes:

39. Tipus d’engranatges • A les següents pàgines es poden trobar explicacions i imatges d’engranatges: • http://www.xtec.es/~jrosell3/engranatges/ • http://www.xtec.es/~ccapell/

40. Energia, treball i potència Treball mecànic d’una força • W=F·s·cos i, en un moviment circular W=·  Energia cinètica i potencial • Em=Ec+Ep; Ec=½m·v2; Ep=mg (h) Principi de conservació de l’energia •  Em=W on W és el treball fet sobre el sistema • Recorda: La unitat de treball i la d’energia és la mateixa; el joule (J)!!

41. Potència i rendiment • Potència • Rendiment

42. III.Mecànica de fluids • Mecànica de fluids • Hidrodinàmica

43. Mecànica de fluids • Branca de la mecànica que estudia el comportament dels fluids. • Hidrostàtica • Hidrodinàmica • Fluids: líquids (incompressibles) i gasos (sense volum definit i sense superfícies lliures). • Aplicacions: • Màquines de fluids (i.e. turbines) • Xarxes de distribució (xarxes d’aigua, oleoductes, gasoductes,...) • Regulació de màquines • Transmissions i controls pneumàtics i hidràulics

44. Hidrostàtica • Concepte de pressió. Unitats • La pressió representa els efectes que provoca una força distribuida sobre una superfície. • La hidrostàtica és la part de la mecànica que estudia el comportament mecànic dels líquids i, per extensió, de molts gasos quan es troben en equilibri estàtic.

45. Pressió hidrostàtica • L’equació fonamental de la hidrostàtica del fluid incompressible surt d’aplicar l’equilibri de forces a un tros de fluid (F=0) • p2=p1+gh • Pressió atmosfèrica és la que exerceix l’aire, concretament la columna d’aire que va des de la superfície de la Terra fins al final de l’atmosfera. • El físic italià Evangelista Torriceli la va mesurar al segle 17 • Patm=101,3kPa

46. Unitats • Per a la pressió atmosfèrica s’utilitzen els bars, milibars, atmosferes i milímetres de mercuri. • 1 bar =105 Pa • 760mm Hg=1 atmosfera=1013 mbar=101,3kPa

47. Pressió absoluta i pressió relativa • La pressió absoluta es mesura en relació al buit • La pressió relativa o manomètrica es mesura prenent com a zero la pressió atmosfèrica. • pabs=patm+pr

48. Exemple (McGraw, p.224) A B • Un dipòsit obert amb dos baròmetres laterals de tub, conté dos líquids inmiscibles M i N a 0ºC. Determineu: • a) L’altura de la columna líquida del baròmetre A • b) L’elevació del líquid al baròmetre B • c) La pressió total en el fons del dipòsit 4m Líquid M r=0,72 0.6m Líquid N r=2,36 0m

49. Principi de Pascal.La premsa hidràulica • La pressió exercida sobre un punt d’un fluid incompressible i en repòs es transmet íntegrament en totes direccions. • Aquest principi es posa de manifest a les premses hidràuliques

50. Principi d’Arquímedes.Flotabilitat • Tot cos totalment o parcialment inmers en un fluid experimenta una força ascensional igual al pes del fluid que desocupa. • L’empenta d’arquímedes és la força ascensional causant de la flotabilitat dels cossos.