fenomenul de interacŢiune seismică teren - structurĂ

1. fenomenul de interacŢiuneseismică teren - structurĂ

2. Generalităţi Evaluarea interacţiunii seismice prin modelarea terenului cu ajutorul resorturilor, amortizorilor şi a elementelor finite: Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic; Analiza seismică prin metoda elementului finit; Programe de analiză seismică interacţiune teren - structură

3. Generalităţi Calculul dinamic (în cazul acţiunilor seismice) al unei construcţii rezemate pe terenul de fundare se efectuează în baza ipotezei conform căreia mişcarea seismică aplicată la partea inferioară a fundaţiei este aceeaşi cu mişcarea care se produce în amplasament,dacă structura nu ar exista. În cazul terenurilor deformabile, mişcarea bazei structurii este, în general, diferită de mişcarea în câmp liber, figura 1.a. şi include, pe lângă o importantă componentă de translaţie orizontală, o componentă de rotire. Comportarea seismică a structurilor rezemate pe un mediu deformabil diferă de cele rezemate pe un mediu rigid şi datorită faptului că o parte importantă din energia de vibraţie poate fi disipată prin radiaţia undelor de la fundaţie către teren (efect pur geometric) sau prin fenomenul de amortizare în terenurile de fundare (frecare sau fenomene plastice).

4. Generalităţi

5. Generalităţi Pentru înţelegerea fenomenului, efectele interacţiunii teren - structură pot fi exprimate prin diferenţa dintre răspunsul structurii, presupunând că mişcarea bazei acesteia este aceeaşi cu mişcarea în câmp liber şi răspunsul determinat considerând mişcarea modificată sau reală a structurii. Această diferenţă depinde atât de caracteristicile mişcării terenului în câmp liber, cât şi de proprietăţile structurii şi ale mediului de fundare. Efectele interacţiunii teren - structură nu trebuie confundate cu aşa numitele efecte de amplasament. Ultimele se referă la faptul că mişcarea în câmp liber indusă de un cutremur dat, într-un amplasament dat, sunt funcţii de proprietăţile mediului care constituie amplasamentul, în timp ce efectele de interacţiune depind atât de caracteristicile proprii ale structurii, cât şi de acelea ale terenului. Într-un anumit sens, prin fenomenul de interacţiune teren - structură se înţelege considerarea tuturor efectelor legate de structura geologică sau geotehnică a terenului de fundare care pot influenţă comportarea unei structuri la acţiuni seismice.

6. Generalităţi Prin urmare, analiza fenomenului de interacţiune teren - structură este echivalentă cu soluţionarea următoarelor probleme [5]: • analiza influenţei condiţiilor geologice şi geotehnice asupra caracteristicilor mişcării seismice măsurate în câmp liber, la suprafaţa terenului, în raport cu cele măsurate la nivelul rocii de bază (problema se rezolvă luând în considerare natura şi grosimea straturilor de teren ce constituie depozitul de teren; granulozitatea, densitatea aparentă etc.) şi caracteristicile dinamice cum ar fi viteza de propagare a undelor, perioadele vibraţiilor proprii ale terenului şi factorii de amortizare; • studiul comportării dinamice a terenului de fundare supuse acţiunii seismice şi efectele secundare: tasarea nisipurilor uscate, lichefierea terenurilor • necoezive saturate, alunecările de teren etc. • determinarea răspunsului seismic al structurilor când se ia în considerare şi influenţa terenului de fundare (amplificări sau diminuări ale răspunsului); • proiectarea unor fundaţii speciale de tipul fundaţiilor pe coloane, chesoane.

7. evaluarea interacţiunii seismice Analiza interacţiunii seismice teren - structură se face de obicei prin două metode: • analiza completă, prin utilizarea elementelor finite, care consideră diferite mişcări seismice în structură şi în terenul adiacent, figura 8.2; • analiza inerţială, bazată pe teoria semispaţiului, care consideră mişcarea din terenul adiacent aceeaşi în toate punctele de deasupra terenului de fundare (structura se consideră aşezată pe terenul de fundare), figura 8.3.

8. evaluarea interacţiunii seismice Fig.8.2. Model analitic cu elemente finite pentru un pod

9. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic Fig.8.3. Modelarea terenului de fundare şi a fundaţiei cu resorturi

10. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic Pentru structurile fundate în apropierea suprafeţei libere distribuţia mişcării din câmp liber a terenului de sub fundaţie nu are influenţă asupra răspunsului structurii şi, în consecinţă, se pot obţine rezultate bune folosind oricare din cele două metode. În cazul structurilor fundate în adâncime, în terenul de fundare, este absolut necesar, în evaluarea răspunsului seismic al structurii, considerarea unor mişcări diferite pe adâncime. În literatura de specialitate [10,11,7,8] sunt analizate, detaliat, cerinţele pentru ca o metodă de calcul să conducă la rezultate bune, acestea sunt: • să ia în considerare variaţia caracteristicilor terenului cu adâncimea; • să includă caracteristicile neliniare şi de absorbţie de energiei ale terenului; • pentru structurile înglobate în adâncime trebuie să presupună mişcări de teren diferite pe adâncime; • trebuie să ţină seama de natura tridimensională a problemei; • să poată lua în considerare efectele structurilor adiacente. Desigur că nu toate cerinţele enunţate mai sus sunt necesare, de exemplu, pentru structurile simple, modelul bidimensional poate conduce la rezultate tot atât de corecte, dacă se aplica oricare dintre cele două metode. Un argument împotriva metodei elementului finit este acela al costului prea mare în raport cu metodele inerţiale bazate pe teoria semispaţiului şi de aceea acest cost trebuie redus în funcţie de importanţa construcţiilor.

11. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic Un alt aspect important, este acela care se referă la modul în care se propagă undele seismice sub baza rigidă (roca de bază) a formaţiunilor geologice. Se face aproximaţia, suficient de exactă pentru scopurile inginereşti, că undele se propagă vertical. Pe baza acestei ipoteze s-a elaborat o metodă de calcul care satisface primele trei cerinţe enunţate mai sus. Principiile acestei metode sunt ilustrate în figura 8.1. [10]: o mişcare de control specificată în unele puncte ale terenului în câmp liber se poate realiza o deconvoluţie pentru a determina mişcările corespunzătoare la orice adâncime, ca de exemplu faţă de roca de bază, figura 1.a. În acest scop se poate utiliza teoria amplificării unidimensionale [12]. Mişcarea determinată la această adâncime este utilizată apoi ca input pentru modelul de element finit al sistemului teren - structură, figura 1.b. şi se calculează răspunsul seismic în punctele de interes special. Analiza se face iterativ pentru a se ţine seama de caracteristicile neliniare ale terenului [3]. În fiecare iteraţie calculul este liniar însă proprietăţile terenului sunt modificate de la iteraţie la iteraţie, până când deformaţiile specifice calculate sunt compatibile cu proprietăţile terenului utilizate în analiză.

12. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic Pentru structurile rigide, în particular pentru acelea fundate într-un mediu moale, efectele interacţiunii pot fi semnificative. În studiile publicate nu există o tendinţă bine definită care să fie indicată, astfel interacţiunea structură - teren poate produce o creştere a răspunsului în unele cazuri şi o descreştere în altele, în funcţie de proprietăţile structurii, ale terenului şi ale excitaţiei. Se ştie că ansamblul structură - teren de fundare reprezintă un sistem cu o perioadă fundamentală mai lungă decât aceeaşi structură fixată într-o bază rigidă. De asemenea, amortizarea în sistemul teren - structură va fi mai are, decât la structura încastrată rigid în mediul de fundare. În figura 4. se prezintă spectrul de răspuns pentru o structură încastrată rigid în terenul de fundare şi pentru sistemul teren - structură, inputul este acelaşi. Se observă că din cauza amortizării mai mari în sistemul teren - structură curba corespunzătoare este sub cea a structurii încastrate rigid. Dacă structura are o perioadă de vibraţie ce corespunde unui punct coborât în spectru, punctul a, răspunsul sistemului teren - structură prezintă o uşoară creştere. Pe de altă parte, dacă punctul spectrului corespunzător perioadei sistemului este aproape de maxim, punctul b, interacţiunea teren - structură tinde să micşoreze răspunsul.

13. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic Fig.4. Forţa seismică funcţie de spectru seismic de răspuns

14. evaluarea interacţiunii seismice Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic Într-un studiu publicat în SUA [10] se arată că proiectarea seismică a construcţiilor în interacţiune cu terenul de fundare se poate face în două moduri: considerând efectele pământului asupra răspunsului structurii printr-o serie de resorturi şi amortizoare, reprezentând un semispaţiu teoretic ce ar înconjura structura, figura 5. sau modelând sistemul teren - structură printr-un model cu elemente finite, figura 6. Valorile reprezentative ale constantelor resorturilor au fost determinate prin metode convenţionale [13], iar pentru factorii de amortizare s-au utilizat două valori distincte 7% şi 15%. Calculele de interacţiune efectuate cu aceste valori au condus la valori ale acceleraţiei maxime la baza structurii de 0,38 g şi respectiv 0,32g În cazul determinării răspunsului seismic prin utilizarea modelului cu elemente finite factorii de amortizare au fost de 5% pentru structură, iar pentru terenul de fundare factorii de amortizare au fost cuprinşi între 5 şi 15%. În aceste condiţii, folosirea resorturilor de interacţiune sau modelul semispaţiului, a condus la rezultate care sunt cu peste 100% mai mari decât cele determinate prin calculul cu metoda elementelor finite.

15. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic Fig.5. Model de interacţiune cu resorturi şi amortizoare

16. Analiza seismică prin metoda elementului finit Fig.6. Model de interacţiune cu elemente finite

17. Analiza seismică prin metoda elementului finit Conform altor studii, de exemplu [1], acceleraţia maximă, la baza structurii, determinată prin metoda elementului finit, a fost cu aproximativ 50% mai mare decât cea determinată prin calculul pe baza resorturilor de interacţiune sau a "semispaţiului". Pentru scopuri de proiectare, o evaluare a interacţiunii teren - structură se face în mod obişnuit printr-o metodă sau prin cealaltă, ceea ce conduce la o supraestimare sau subestimare importantă a răspunsului structurii, prima conducând la o supradimensionare şi o soluţie neeconomică, iar ultima conducând la condiţii parţial hazardate. În unele cazuri, ambele metode pot conduce la acelaşi grad de siguranţă şi economie.

18. Analiza seismică prin metoda elementului finit Prin prisma acestor informaţii, este de dorit ca proiectanţii să aprecieze complet aspectele valabile şi slăbiciunile celor două metode de abordare, astfel încât, în orice situaţie să se aleagă calea raţională de abordare a problemei. În general, ecuaţia mişcării pentru vibraţiile seismice ale unei construcţii în interacţiune cu terenul de fundare, în formă matriceală, poate fi exprimată, indiferent de metoda de analiză, sub forma: (1) unde: reprezintă vectorul deplasărilor pe direcţia gradelor de libertate acordate; - matricea de rigiditate; - matricea maselor; - vectorul încărcărilor din seism.

19. Analiza seismică prin considerarea terenului de fundare ca un semispaţiu În această metodă construcţia este modelată conform principiilor clasice (aşa zisa modelare inerţială) şi considerată rezemată la suprafaţa terenului de fundare. Pentru calculul terenului de fundare se utilizează modelul semispaţiului liniar - deformabil (modelul Boussinesq). În acest model, dimensiunile semispaţiului sunt infinite, este limitat la partea superioară de un plan şi se extinde în jos şi lateral până la infinit. Materialul din semispaţiu este considerat elastic, omogen, izotrop şi continuu. Proprietăţile elastice ale modelului sunt reprezentate prin doi parametri: modulul de deformabilitate E (sau G) şi coeficientul lui Poisson ( ).

20. Analiza seismică prin considerarea terenului de fundare ca un semispaţiu Metoda cea mai comună de abordare este de a reprezenta efectele pământului din jurul structurii printr-o serie de resorturi şi amortizoare după cu se vede în fig. 5. Valorile constantelor resorturilor şi valorile coeficienţilor de amortizare sunt determinate examinând mai întâi răspunsul structurii la excitaţiile dinamice aplicate structurii ce reazemă pe un semispaţiu idealizat şi apoi determinate constantele resorturilor şi valorile de amortizare care, la îndepărtarea semispaţiului, conduc la aceleaşi valori de răspuns. În alte condiţii de teren, constantele resorturilor şi valorile de amortizare se evaluează prin acelaşi procedeu. Astfel, de exemplu, constantele resorturilor se determină adesea prin relaţiile propuse de către Whitman şi Richart. Valorile de amortizare pot fi adoptate în funcţie de importanţa mişcărilor seismice, de regulă se consideră valori de 7 - 10%. Calculul plăcii, metoda Westergaard

21. Calculul plăcii, metoda Westergaard Având determinate constantele resorturilor şi amortizorilor calculul seismic se efectuează specificând mişcarea seismică dezvoltată în terenul ce înconjoară modelul cu resorturi şi amortizori. Pentru a uşura calculul se presupune, în mod obişnuit, că mişcările sunt aceleaşi în toate punctele terenului de fundare. Analizele efectuate prin această metodă presupun includerea anumitor ipoteze simplificatoare, pe care le detaliem în continuare. 1. Evaluarea acţiunii seismice Considerarea efectelor de interacţiune teren - structură, presupune faptul ca prezenţa terenului de fundare influenţează răspunsul structurii şi invers. Astfel, pentru modelul teren - structură prezentat în fig.5.6. mişcarea terenului la baza modelului este diferită de cea din câmp liber la acelaşi nivel, dar neinfluenţată de structură. Cu toate că, există posibilitatea determinării efectului structurii asupra mişcării seismice, utilizând metode bazate pe funcţii de impedanţă, calculele de interacţiune determinate presupunând că mişcările la baza structurii sunt egale cu cele din câmp liber, sunt echivalente cu a considera că interacţiunea structură-teren de fundare nu afectează mişcările seismice, ceea ce nu se poate spune că este real.

22. Analiza seismică prin considerarea terenului de fundare ca un semispaţiu 1. Evaluarea acţiunii seismice (continuare) Pentru structurile îngropate, calculele cu modele cuprinzând resorturi se bazează invariabil pe ipoteza că mişcarea în jurul structurii este aceeaşi cu cea de la baza, adică mişcările sunt identice în terenul înconjurător. Acest lucru poate fi adevărat numai dacă terenul înconjurător este rigid sau foarte rigid. Pentru structurile îngropate această ipoteză este infirmată de măsurătorile efectuate în timpul unor cutremure, ca de exemplu la cel produs în anul 1968 şi numit Higashi-Matsuyama, când acceleraţiile maxime înregistrate pentru structuri îngropate în apropierea suprafeţei terenului au fost, în medie, de patru ori mai mari decât cele pentru construcţii îngropate la adâncimea de circa 25,0 m. Rezultate similare au fost obţinute şi cu alte ocazii. De asemenea, dacă terenul din jurul unei construcţii se consideră rigid, atunci mişcările structurii sunt în mod firesc aceleaşi cu cele din terenul de fundare şi, atunci, calculele de interacţiune nu ar trebui să se mai efectueze.

23. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic 2. Consideraţii privind determinarea constantelor resorturilor Pentru a determina valorile corespunzătoare ale constantelor resorturilor este necesar să se ştie modulul de deformaţie al terenului adiacent structurii. Modulul de deformaţie al unui teren depinde foarte mult de nivelul deformaţiilor specifice induse în el. Calculul pe baza modelului semispaţiului nu furnizează mijloace de determinare a deformaţiilor specifice produse în teren, nepermiţând selectarea unui modul de deformaţie corespunzător. În acelaşi timp, nu există mijloace de a studia influenţa produsă asupra deformaţiilor specifice de către concentrările de eforturi din vecinătatea structurii, sau aflarea variaţilor deformaţiilor specifice cu adâncimea, pe timpul propagării undelor seismice.

24. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic 2. Consideraţii privind determinarea constantelor resorturilor În prezent, unii specialişti pledează pentru folosirea unor modul de deformaţie compatibili cu deformaţiile specifice produse în teren de mişcările specifice în câmp liber, iar alţii folosesc modul de deformaţie determinaţi în funcţie de deformaţii specifice extrem de reduse. Mai mult, unele companii de proiectare utilizează, în calculul unor structuri îngropate, constante ale resorturilor calculate din condiţiile rezemării construcţiei la suprafaţa terenului, în timp ce altele folosesc valori mai ridicate, ce reflectă influenţa adâncimii de îngropare. Astfel, valorile constantelor pot varia de la o companie la alta în limitele a câtorva sute de procente, conducând inevitabil la diferenţe în condiţiile de proiectare.

25. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic 3. Despre considerarea amortizării În calculele de interacţiune teren - structură, energia este disipată în structură prin amortizarea structurii, iar în teren prin amortizarea materialului; energia se pierde, de asemenea, prin radiaţia undelor de la baza structurii în terenul înconjurător - fenomen numit "radiaţie" sau amortizare "spaţială" -, care este deosebit de importantă în problemele de vibraţie a fundaţiilor. Analizele de interacţiune ce folosesc teoriile semispaţiului nu consideră în calcule amortizare materialului. De fapt amortizarea materialului este foarte ridicată în terenuri şi astfel un factor important ce afectează răspunsul teren - structură este neglijat. Fenomenele de amortizare în terenuri pot fi modelate în general printr-o amortizare coulombiană (frecare uscată). Examinând amortizarea de material a terenului de fundare, ne referim şi la caracterul plastic al deformării sub încărcări. Pentru a se depăşi această deficienţă, de neconsiderare a amortizării de material, în analizele de interacţiune, publicate în literatură, se fac unele ipoteze asupra mărimii efectelor amortizării de material.

26. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic 3. Despre considerarea amortizării (continuare) În vederea estimării a ordinul de mărime al coeficienţilor de amortizare pentru diferite terenuri (fracţiunea din amortizarea critică) se pot utiliza studiile lui Seed şi Idriss [11] conform cărora fracţiunea din amortizarea critică se determină funcţie de deformaţiile specifice de lunecare (10-3 în cazul cutremurelor mici şi 10-1 pentru cutremurele puternice). De asemenea, cum şi efectele de amortizare prin radiaţie nu sunt evaluate exact, iar efectele de amortizare a materialului nu sunt evaluate de loc, efectele combinate ale acestor două surse de amortizare pot fi estimate, în scopuri de proiectare, prin modalităţi raţionale. De exemplu, Dowrick [4] propune: • pentru oscilaţii de translaţie - orizontale şi verticale - ale fundaţilor, amortizarea de radiaţie poate fi considerată ca atingând valoarea de 10% din cea critică; • pentru oscilaţii de rotire şi torsiune ale fundaţiilor amortizarea din radiaţie poate fi neglijată.

27. Modalităţi de evaluare a răspunsului seismic 4. Cazul structurilor adiacente Efectele construcţiilor adiacente, asupra răspunsului structurii, analizate în interacţiune cu terenul de fundare, nu sunt considerate, atunci când se modelează terenul de fundare prin resorturi şi amortizoare. După unii specialişti răspunsul, datorită prezenţei construcţiilor adiacente, poate fi modificat în proporţie de 100%.

28. Analiza seismică prin metoda elementului finit Pentru a depăşi limitele metodei inerţiale, a semispaţiului infinit, s-au dezvoltat metode prin intermediul cărora structura şi terenul de fundare sunt modelate cu ajutorul elementelor finite. Modul general de abordare a fenomenului de interacţiune teren - structură este prezentat în figura 8.1. [10,7,8,6,3]. Mişcarea de control este specificată într-un punct din câmpul liber. Într-o primă etapă de analiză, se determină mişcările ce se produc la nivelul unei formaţiuni de rocă, la partea inferioară, în funcţie de mişcarea de control din punctul A. Pentru aceasta se poate efectua un calcul de propagare a undelor printr-o coloană de teren, utilizând un program de calcul, de exemplu programul SHAKE [15].

29. Analiza seismică prin metoda elementului finit În etapa imediat următoare, se foloseşte mişcarea rocii la bază, determinată anterior, ca excitaţie pentru sistemul teren - structură şi printr-un calcul bidimensional (dacă se utilizează un program de calcul de tipul LUSH [7]) sau tridimensional (programul FLUSH [8]), se evaluează mişcările la baza structurii sau în orice punct din structură. O verificare necesară privind exactitatea calculelor, constă în determinarea mişcărilor punctului de control, care trebuie să fie foarte apropiate de valorile specificate. Prin efectuarea calculelor descrise mai sus, caracteristicile corespunzătoare ale ternului pot fi incluse selectând valorile ce sunt compatibile cu deformaţiile specifice determinate în teren. Acest lucru, se efectuează printr-un procedeu iterativ care să aibă o convergenţă rapidă, în raport cu valorile comparabile.

30. Analiza seismică prin metoda elementului finit Procedeul de calcul pe baza elementelor finite elimină multe din neajunsurile metodei care utilizează resorturi şi amortizoare. De exemplu: • calculul poate să ţină seama de deformabilitatea terenului din jurul structurii şi de variaţia acceleraţiilor în profilul terenului; • analiza elimină posibilitatea utilizării aceleaşi mişcări sub structură şi în câmp liber; • metoda elementului finit formulează un mijloc de aflare a mişcării în terenul înconjurător; • proprietăţile terenului (de rigiditate şi de amortizare) pot fi găsite printr-un calcul raţional; • amortizarea poate fi inclusă în analiză; • efectele construcţiilor adiacente pot fi luate în considerare.

31. Analiza seismică prin metoda elementului finit Deşi metoda elementului finit, utilizată în studiul fenomenului de interacţiune teren - structură, elimină, după cum am văzut, unele dintre neajunsurile metodei bazate pe semispaţiul infinit, introduce şi ea o serie de limitări care pot produce distorsiuni, în aflarea răspunsului seismic corect. Aceste deficienţe, sunt prezentate în continuare. • Considerarea amortizării constante în sistemul teren – structură În cazul vibraţiilor puternice, amortizarea materială a terenului va fi mult mai mare decât cea structurală (prin radiaţie) şi va varia cu distanţa laterală faţă de structură şi, de asemenea, variază în diferite părţi ale structurii.

32. Analiza seismică prin metoda elementului finit 1. Considerarea amortizării constante în sistemul teren – structură (continuare) De aceea, este de dorit, ca în multe situaţii practice, să se utilizeze procedee de element finit, care au capacitatea de a considera o valoare a amortizării diferită pentru fiecare element al reţelei. Deşi, virtual, toate metodele de element finit permit includerea unor moduli de deformaţie diferiţi, în fiecare element al reţelei, majoritatea specialiştilor, consideră fie o valoare singulară a amortizării, pentru toate elementele finite din reţea sau o amortizare variabilă, dar care nu poate fi controlată pentru toate modurile de vibraţie. Aceste procedee, în mod firesc, conduc la un oarecare grad de eroare în determinarea răspunsului. De exemplu, în calculele de element finit, care utilizează procedeul de suprapunere a modurilor naturale de vibraţie, fracţiunea din amortizarea critică trebuie să fie aceeaşi pentru toate elementele finite. Se adoptă, astfel, o valoare cuprinsă între cele mai mici valori corespunzătoare structurii şi cele mai mari valori corespunzătoare terenului. În cazul vibraţiilor puternice, această valoare poate fi de ordinul 7 - 10%. Răspunsul în acceleraţii, atunci când se utilizează o amortizare , poate diferi, în anumite puncte nodale din ansamblu teren - structură, în procente, între 30 -100. Rezultatele sunt mai mari în cazul utilizării unei amortizări constante pentru întreaga reţea.

33. Analiza seismică prin metoda elementului finit După cum se cunoaşte, metoda elementului finit este un procedeu numeric cu ajutorul căruia structura şi terenul sunt reprezentate printr-un ansamblu de elemente interconectate într-un număr finit de puncte nodale. În evaluarea răspunsului seismic se rezolvă ecuaţia matriceală (8.1), fie prin suprapunerea modurilor normale de vibraţie, fie prin rezolvarea directă a ecuaţiilor de mişcare. a. Analiza modală a răspunsului seismic. Deplasările nodurilor sunt exprimate funcţie de coordonatele normale şi formele proprii de vibraţie prin (8.2) unde: este matricea modală a sistemului, - vectorul coordonatelor normale.

34. Analiza seismică prin metoda elementului finit Modurile proprii de vibraţie şi pulsaţiile proprii sunt determinate prin soluţionarea problemei valorilor proprii ( şi , în ecuaţia (1.): (3) Coordonatele normale ale fiecărui nod n sunt evaluate din rezolvarea ecuaţiei de tipul: (4) Prin urmare, matricea de amortizare nu este folosită direct, în acest procedeu, ea este în realitate înlocuită cu (5)

35. Analiza seismică prin metoda elementului finit b. Integrarea directă. Ecuaţiile mişcării (8.1) sunt rezolvate direct ca un sistem de ecuaţii cuplate. O astfel de soluţionare presupune faptul că matricea de amortizare să fie cunoscută. Procedeul cel mai acceptat pentru exprimarea caracteristicilor de material este cea propusă de către Rayleigh, adică: (6) în care α şi β sunt constante. Funcţia de amortizare corespunzătoare modului n de vibraţie este legat de constantele α şi β prin expresia: (7) În concluzie, cele două modalităţi expuse mai sus pentru determinarea răspunsului seismic, utilizează acelaşi raport de amortizare pentru întregul ansamblu teren - structură.

36. Analiza seismică prin metoda elementului finit Inconvenientul expus anterior, se elimină prin formularea unei submatrice de amortizare, pentru fiecare element finit şi apoi, se adună toate submatricele elementelor într-un mod convenabil. Se obţine, astfel, matricea pentru întregul ansamblu teren - structură. Fie elementul q, matricea de amortizare proprie este: (8.8) unde: sunt submatricele de amortizare, masă şi rigiditate pentru elementul q; Constantele şi se calculează funcţie de amortizarea critică : , (8.9) în care reprezintă pulsaţia (frecvenţa circulară) a modului fundamental de vibraţie.

37. Analiza seismică prin metoda elementului finit Matricea de amortizare, pentru ansamblul de elemente, se determină prin adunarea, corespunzătoare, a submatricelor tuturor elementelor: , (10) unde: Cij reprezintă termenul ij din matricea , cij(q) - elementul ij din submatricea de amortizare a elementului q. Se remarcă ca Cij = 0, numai dacă, ; matricea rezultantă este simetrică şi rar populată.

38. Analiza seismică prin metoda elementului finit Se poate arăta că folosirea acestei matrice de amortizare este echivalent cu a folosi o analiză modală, în care fracţiunea din amortizarea critică, în modul s de vibraţie este (12) unde: şi sunt legate de şi prin relaţiile: (13) De fapt, fracţiunea din amortizarea critică variază cu frecvenţa şi aceasta odată cu ea, adică cu modurile superioare. Acest procedeu, prezentat mai sus, a fost propus de către Idriss [6] cu ocazia scrierii unui program de calcul, pentru evaluarea răspunsului seismic al masivelor de pământ, prim metoda elementului finit cu amortizare variabilă, numit QUAD - 4.

39. Analiza seismică prin metoda elementului finit 2. Cu privire la ipoteza propagării verticale a undelor Analiza răspunsului seismic al ansamblului teren - structură, prin intermediul metodei elementului finit, se realizează în baza ipotezei de propagare ascendentă a undei de la o limită inferioară. Această ipoteză este adevărată, în cazurile când mişcarea de control este menţionată, într-un punct din mediul de fundare şi se aplică atunci când, se studiază propagarea vibraţiilor către o formaţiune de tip rocă rigidă, situată la partea inferioară a masivului. După determinarea mişcării rocii de bază, aceasta se folosită drept excitaţie a sistemului teren - structură. Prin urmare, această ipoteză nu reprezintă o imagine completă a sursei de excitaţie. În schimb pentru calculele inginereşti constituie o reprezentare destul de bună a condiţiilor reale, chiar dacă introducere o serie de erori [14].

40. Analiza seismică prin metoda elementului finit 3. Efectul dimensiunii reţelei de elemente finite Un aspect hotărâtor, în aflarea unui răspuns seismic corect, este alegerea dimensiunilor elementului finit care compune reţeaua de calcul. Acest lucru devine cu atât mai important, atunci când ne referim la frecvenţele înalte, la direcţia verticală de dezvoltare a modelului şi la direcţia de propagare a undelor. S-a demonstrat [4] că dimensiunile mari ale elementelor finite influenţează corecta transmitere a mişcărilor posedând frecvenţe ridicate şi lungimi de undă mici. Kuhlmeyer şi Lysmer au propus o regulă empirică, pentru a se adopta dimensiunile elementelor reţelei, astfel încât, să se poată transmite orice fel de mişcare, şi anume: dimensiunea maximă a unui element să fie o pătrime sau preferabil o optime din lungimea de undă a mişcării. Este important de menţionat faptul că, efectul dimensiunii reţelei de elemente finite se estompează, atunci când se foloseşte amortizarea Rayleigh. În această situaţie, reţeaua fină sau cea grosieră conduc la aceleaşi rezultate, deşi rezultatele obţinute prin metoda propagării undelor sunt diferite.

41. Analiza seismică prin metoda elementului finit 3. Efectul dimensiunii reţelei de elemente finite (continuare) În ceea ce priveşte extinderea reţelei în direcţie orizontală, lateral structurii, se menţionează, în literatura de specialitate, faptul că dimensiunile elementelor finite devin mai importante atunci când se consideră, în procesul analizei, amortizarea spaţială, de radiaţie. Dar cum este dificil de extins, în multe cazuri practice, reţeaua de elemente finite, se recomandă, totuşi, ca extinderea să se realizeze până la o distanţa suficient de mare faţă de structură, pentru a garanta că efectele amortizării prin radiaţie sunt luate în considerare. De asemenea, pentru a evita apariţia de distorsiuni, din cauza neincluderii amortizării, se poate utiliza, elemente de frontieră, care au proprietatea de a absorbi energia seismică. Verificarea extinderii reţelei de elemente finite se poate face comparând mişcările calculate la o oarecare distanţă de structură cu mişcările din câmp liber în acelaşi punct. Concordanţele dintre aceste mişcări constituie o verificare e extindere corecte a reţelei.

42. Analiza seismică prin metoda elementului finit 4. Comparaţie între analizele seismice bidimensionale şi tridimensionale Dacă ne referim la costul unei analize seismice de interacţiune teren - structură, atunci apare clar că calculele pe baza stării plane de deformaţie (bidimensionale) sunt mult mai rentabile. În schimb, din punct de vedere al exactităţii rezultatelor, în literatura de specialitate s-au semnalat erori de până la 30%, mărimea erorii depinzând şi de abilitatea proiectantului (cercetătorului) în a selecta un model de calcul (cu elemente finite) corespunzător.

43. Programe de analiză seismică interacţiune teren - structură 1. Programul SHAKE [12]. Cu acest program de calcul se poate analiza propagarea undelor verticale într-un depozit de pământ. Se determină acceleraţiile maxime şi istoria în timp, la diverse niveluri ale depozitului. 2. Programul QUAD - 4 [6]. Reprezintă un program de calcul pe baza metodei elementului finit pentru evaluarea răspunsului seismic al sistemului teren - structură cu luarea în considerare a amortizării variabile atât în structură, cât şi în terenul de fundare. 3. Programul LUSH [7]. Este un program scris pe baza metodei elementelor finite destinat calculului seismic al structurilor plane în interacţiune cu terenul de fundare. Ia în considerare fenomenele neliniare care se dezvoltă în terenul de fundare, supus unor mişcări seismice puternice. 4. Programul FLUSH [8]. Acest program reprezintă o dezvoltare a programului LUSH, fiind mai rapid şi cuprinzând noi elemente finite (de frontieră). Algoritmul de calcul cuprins în program aproximează problemele tridimensionale ale fenomenului interacţiune teren - structură.

44. Bibliografie • Agrawal, P.K., Chu, S.L. and Shah, H.H., Comparative Study of Soil Spring and Finite Element Models for Seismic Soil - Structure Interaction Analysis of Nuclear Power Plants, Illinois, Dec. 17-18, 1973. • Chiriacescu, Sergiu T., Dinamica maşinilor unelte. Prolegomene, Editura Tehnică, Bucureşti, 2004. • Darabont, Al., Iorga, I., Văiteanu, D., Simanschevici, H., Şocuri vibraţii. Aplicaţii în tehnică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1988. • Dowrick, D.J., Earthquake Resistant Design, John Wiley and Sons, London, 1977. • Hangan, S., Crainic, L., Concepte şi metode energetice în dinamica construcţiilor, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1980. • Idriss, I.M., Lysmer, J., Hwang, R., Seed, H. B., QUAD-4: A Computer Program for Evaluating the Seismic Response of Soil Structures by Variable Damping Finite Element Procedures, Report No. EERC 73-16, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley. • Lysmer, J., Udaka, T., Seed, H. B., Hwang, R., LUSH A Computer Program for Complex Response Analysis of Soil-Structure System, Report No. EERC 74-43, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, April;

45. Bibliografie • Lysmer, J., Udaka, T., Tsai, C-F., Seed, H. B., FLUSH, A Computer Program for Approximate 3-D Analysis of Soil-Structure Interaction Problems, Report No. EERC 75-30, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, November; • Negoiţă, Al., Pop, I., Ionescu, C., Inginerie seismica, E.D.P., Bucureşti, 1985. • Seed, H. Bolton, Lysmer, J., Hwang, R, Soil - Structure Interaction Analyses for Evaluating Seismic Response, Report No. EERC 74-6, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, April. • Seed, H.B., Idriss, I.M., Soil Moduli and Damping Factors for Dynamic Response Analysis, Report No. EERC 70-10, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, December. • Schnabel, Per B., Lysmer, J. and Seed, H. Bolton, SHAKE A Computer Program for Earthquake Response Analysis of Horizontally Layered Sites, Report No. EERC 72 - 12, Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, December. • Whitman, R.V. and Richart, F.E., Jr., Design Procedures for Dynamically Loaded Foundations, Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, Vol. 93, No. SM6, Proc. Paper 5569, November, 1967. • Buzdugan, Gh., Izolarea antivibratilă a maşinilor, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, 1980.

46. Bibliografie • Borş, I., Aplicaţii ale transformatei Laplace şi reprezentări Dirac în Mecanica Construcţiilor. • Gomez-Masso, A., Lysmer, J., Seed, H. B., Chen, J.C., Soil Structure Interaction in Different Seismic Environments, Report No. EERC 79-Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley, August. • Ifrim, M., Aplicaţii în Analiza Dinamică a Structurilor şi Inginerie Seismică, EDP, Bucureşti, 1974. • Sandi, H., Elemente de dinamica structurilor, EDP, Bucureşti, 1983. • Timoshenko,S.P., Woinowsky – Krieger, S., Teoria plăcilor plane şi curbe, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1968. • Gorbunov – Posadov, M.I., Calculul construcţiilor pe mediu elastic, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1960. • Lehr, H., Exemple de calcul pentru proiectarea fundaţiilor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1960. • Lehr, H., Stănescu, E., Andrei, S., Manoliu, I., Metode noi în proiectarea şi executarea fundaţiilor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1963. • Beleş, A.A., Mihăilescu, C., Mihăilescu, Şt., Calculul construcţiilor amplasate pe terenuri deformabile, Ed. Acad. R.S.R., Bucureşti, 1977.

47. Bibliografie • Botea, E., Manoliu, I., Pătrîniche, M., Stadiul actual al problemei conlucrării construcţiei cu terenul de fundaţie, Buletinul Ştiinţific al Institutului de Construcţii, Bucureşti, XII, 3, 7-16 (1969). • Coşovliu, O., Mihăilescu, C., Aspecte ale conlucrării construcţiei cu terenul de fundaţie tasabil, A II-a Conferinţă de Geotehnică şi Fundaţii, 3-5 iunie 1971, Bucureşti. • Balan, St., Ifrim, M., Pacoste, C., Influenţa interacţiunii dintre teren şi construcţiei asupra răspunsului seismic, Buletinul Stiinţific al Institutului de Construcţii, Bucureşti, XII, 2, (1969). • Buzdugan, Gh., Izolarea antivibratilă a maşinilor, Ed. Acad. R.S.R., Bucureşti, 1980. • Teodorescu, P.P., Ille, V., Teoria Elasticităţii şi Introducere în Mecanica Solidelor Deformabile, vol.I, Ed. Dacia, Cluj-Napoca, 1976.