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TEMA 10 * 3º ESO

TEMA 10 * 3º ESO. CUERPOS DE REVOLUCIÓN. TEMA 10.4 * 3º ESO. VOLÚMENES DEL CILINDRO Y CONO. VOLUMEN del PRISMA. Volumen = l.a.h. Volumen de un cuerpo es el espacio físico que ocupa. Para que exista volumen debe tener tres dimensiones: Largo, ancho y alto.

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TEMA 10 * 3º ESO

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Presentation Transcript

  1. TEMA 10 * 3º ESO CUERPOS DE REVOLUCIÓN Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  2. TEMA 10.4 * 3º ESO VOLÚMENES DEL CILINDRO Y CONO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  3. VOLUMEN del PRISMA • Volumen = l.a.h • Volumen de un cuerpo es el espacio físico que ocupa. • Para que exista volumen debe tener tres dimensiones: Largo, ancho y alto. • El prisma regular recto es el cuerpo más representativo, por tener sus lados perpendiculares entre sí. • La unidad de volumen es el metro cúbico, m3, que es un cubo de 1 m de arista. • Cuando el cuerpo geométrico no es sólido, sino hueco, se habla de capacidad. • La unidad de capacidad es el litro, que es lo que cabe en un volumen de un decímetro cúbico: • 1 litro = 1 dm3 Alto = h Ancho = a Largo = l Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  4. PRINCIPIO DE CAVALIERI • Si dos o más cuerpos de igual área de la base y la misma altura se cortan por planos paralelos a la base, y las secciones producidas por cada plano en esos cuerpos tienen la misma área, entonces esos cuerpos tienen el mismo volumen. h h Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  5. VOLUMEN DEL CILINDRO • El volumen de un prisma es: • V = l.a.h • En general: • V = Sb.h • “Volumen = Superficie de la base por la altura” • Como el cilindro es un prisma con una base de infinito número de lados, podemos poner que su volumen es: • V = Sb.h • V = π .r2.h • Pues la superficie de la base es un círculo de radio r. h h r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  6. VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE • El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma que tiene idéntica superficie de la base e igual altura. • Por tanto: • V = Sb.h / 3 • Es indiferente el polígono de la base, con tal de tener IGUAL ÁREA. • Para el volumen no cuenta, como se ve, ni la apotema de la pirámide ni su arista lateral. h h a l Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  7. VOLUMEN DEL CONO • Un cono se puede considerar como una pirámide cuyo polígono de la base tiene infinitos lados. • Por tanto tenemos: • V = Sb.h / 3 • V = π.r2.h / 3 • que es el volumen de un cono. h h r Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  8. Volumen del Tronco de Pirámide y del Tronco del Cono • Un tronco de pirámide, al igual que un tronco de cono, es la región del espacio comprendido entre la base y la sección que produce un plano paralelo a la misma. • En ambos casos volumen será la semidiferencia de los volúmenes que producirían los dos prismas o los dos cilindros que generarían las bases. • Tronco de Pirámide: Tronco de cono: • V = (AB+Ab).h / 2 V = (π.R2 + π.r2).h / 2 a’ l’ r h h R a l Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  9. Ejercicio_1 • Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. • Hallar las dimensiones de otro prisma de igual altura y volumen, sabiendo que su base es un rectángulo de doble largo que ancho. • El volumen del prisma regular dado será: • V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2 • En el otro prisma: • V = Ab.h = a. l . h • 250 = a. 2. a .10  250 = 20.a2 • De donde: • a2 = 250 / 20 = 12,5 • a = √12,5 = 3,54 cm • l = 2.a = 7,08 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  10. Ejercicio_2 • Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. • Hallar las dimensiones de un cilindro de igual altura y volumen. • El volumen del prima regular dado será: • V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2 • En el cilindro: • V = Ab.h = π.r2.h • 250 = π.r2..10 • de donde: • r2 = 250 / 31,41 = 8 • r = √8 = 2.√2 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  11. Ejercicio_3 • Un prisma recto de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 10 cm por altura. • Hallar las dimensiones de una pirámide regular de igual altura y volumen, sabiendo que su base es exagonal. • El volumen del prima regular dado será: • V = Ab.h = l 2 . h = 5 2 .10 = 250 cm2 • En la pirámide: • V = Ab.h = Ab. 10 • 250 = Ab.10  Ab = 25 cm2 • En el exágono: • A = 6.l.[ l.√3 / 2) / 2 • 25 = 6 l 2 . √3 / 4  100 / 6√3 = l 2 • l 2 = 9,62  l = 3,10 cm es el lado del hexágono de la base. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

  12. Ejercicio_4 • Una pirámide regular de base cuadrada presenta 5 cm por lado de la base y 9 cm por altura. • Hallar el radio de la base de un cono de igual altura y volumen. • El volumen de la pirámide será: • V = Ab.h / 3 = l 2 . h / 3 = 5 2 .9 / 3 = 25. 3 = 75 cm3 • En el cono: • V = Ab. h / 3 = π. r2 . h / 3 • 75 = π. r2. 9 / 3 • 75 . 3 / π. 9 = r 2 8 = r 2 • r = 2,82 cm es el radio de la base del cono. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

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