Verbanden

1. samenvatting Verbanden

2. Periodiek verband Periodiek verband • De grafiek van eb en vloed herhaalt • zich ongeveer elke 12 uur. • Die 12 uur is de periode van de grafiek. • Er is een periodiek verband tussen de • tijd en de hoogte. • In de grafiek zijn 2,5 perioden getekend. • De waterhoogte na 39 uur bereken je zo: • De periode is 12 uur. • De periode past 3 keer in 39 uur. • Je houdt 39 – 3 × 12 = 3 uur over. • In de grafiek lees je bij 3 uur af hoogte = 1 m. • De waterhoogte na 39 uur is dus ook 1 m. • Wat is de waterhoogte na 45 uur? -1 meter

3. Periodiek verband Evenwichtsstand, amplitude en frequentie • De hoogste punten liggen op 5 meter. • De laagste punten liggen op 1 meter. • De evenwichtsstand ligt daar precies • tussenin, dus op 3 meter. • De evenwichtsstand is met rood gestippeld. • De hoogste en laagste punten liggen 2 meter • boven en onder de evenwichtsstand. • We zeggen: de amplitude is 2 meter. • De amplitude is de afstand van de hoogste • punten tot de evenwichtsstand. • De periode is 4 seconden. • De periode past 60 : 4 = 15 keer in een minuut. • De frequentie is dus 15 per minuut. • De periode past 60 × 15 = 900 keer in een uur. • De frequentie is dus ook 900 per uur. hoogte in meters 5 4 amplitude evenwichtsstand 3 amplitude 2 1 O 1 5 6 3 4 2 tijd in seconden

4. Lineair verband Bijzondere lineaire formules en grafieken • De blauwe grafiek loopt horizontaal. • Alle punten op de grafiek liggen op hoogte 3. • Alle punten op de grafiek hebben y-coördinaat 3. • De formule is dan y = 3. • De groene grafiek loopt verticaal. • Alle punten op de grafiek hebben x-coördinaat 2. • De formule is dan x = 2 • Op de rode grafiek liggen de punten • (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) enz. • De x-coördinaat is altijd hetzelfde als de y-coördinaat. • De formule is daarom y = x • y = getal  horizontale grafiek • x = getal  verticale grafiek • y = x  grafiek door O en (1, 1), (2, 2), enz.

5. kwadratisch verband Parabool • hoogte in m = ¯20t2 + 400t + 4000 • t en hoogte zijn de variabelen. • In de formule staat een kwadraat, • daarom is het een kwadratische formule. • Er is een kwadratisch verband tussen de tijd • en de hoogte. • t = 10 • hoogte in m = -20 × (10)2 + 400 × (10) + 4000 • = 6000 m • De grafiek heeft de vorm van een parabool. • De parabool is symmetrisch. • De symmetrieas is de verticale lijn door de top. Wat je invult, zet je altijd tussen haakjes.

6. kwadratisch verband Eigenschappen parabool • Staat er in een kwadratisch verband een negatief getal voor de variabele • met het kwadraat, dan is de grafiek een bergparabool. • De grafiek heeft een maximum. • W = -5a2 + 300a • Bij een positief getal voor de variabele met het kwadraat is de grafiek een • dalparabool met een minimum. • K = 6a2 – 7a • Het hoogste of laagste punt van een parabool noemen we de top.

7. kwadratisch verband Voorbeeld 3 • Hiernaast zie je de grafieken van • hoogte = a2 – 6a + 8 en hoogte = 4 • a: horizontale afstand in meters • hoogte in meters • Bereken de coördinaten van het snijpunt P. • Rond af op één decimaal. • Aanpak • a2 – 6a + 8 = 4 • Los op met inklemmen. • Lees uit de grafiek af dat a ligt tussen • 0,5 en 1. Bereken a met inklemmen. • Uitwerking • a = 0,7 geeft hoogte = 4,29 • a = 0,8 geeft hoogte = 3,84 • 3,84 ligt dichter bij 4 dan bij 4,29, • dus a = 0,8 • De hoogte is 4, dus P(0,8; 4).

8. kwadratisch verband De top van een parabool • In kwadratische formules kun je de coördinaten van de top berekenen. • Kwadratische formule: y = ax2 + bx + c • Notatie coördinaten top: (xtop, ytop) • Van de parabool hiernaast is de top (2, 5). • Dus xtop = 2 en ytop = 5. • Van de grafiek van een kwadratische formule kun je de top berekenen. • De xtop bereken je met xtop = – • De ytop bereken je door het antwoord van xtop in te vullen in de formule. b 2a

9. Lineair verband Vergelijkingen oplossen • Bij een vergelijking heb je, net als bij een balans, twee kanten. • Daarom kun je een vergelijking oplossen met de balansmethode. • Links van het = teken noemen we het linkerlid, • rechts van het = teken noemen we het rechterlid. • 5a – 4 = 9a + 16 • De letter in de vergelijking noemen we de variabele. • Met de volgende stappen los je de vergelijking op. • Zorg ervoor dat de variabele uit het rechterlid verdwijnt. • Zorg ervoor dat in het linkerlid de losse getallen verdwijnen. • Deel door het getal dat voor de variabele staat. • Controleer je antwoord. linkerlid rechterlid

10. Lineair verband • voorbeeld • Los op: -3a + 2 = 6 + 5a • Uitwerking • -3a + 2 = 6 + 5a • – 5a – 5a • -8a + 2 = 6 • – 2 – 2 • ¯8a = 4 • : -8 : -8 • a = -0,5 • Controle • linkerlid: -3 × (-0,5) + 2 = 3,5 • rechterlid: 6 + 5 × (-0,5) = 3,5 • Het klopt.

11. Lineair verband • 2 formules vergelijken met elkaar • bundel A: kosten in € = 3 + 0,07a • bundel B: kosten in € = 2,50 + 0,08a • a: aantal sms’jes • a Maak een vergelijking van de beide formules. • b Bij hoeveel sms’jes zijn de kosten gelijk? • c Welke van de bundels is voordeliger op lange termijn? • Aanpak • a Neem van beide formules het rechtergedeelte en stel die aan elkaar gelijk. • Het maakt niet uit welke formule je eerst opschrijft. • b Los de vergelijking op met de balansmethode. • c Kies voor a(= aantal sms’jes) een getal dat groter is dan de oplossing, • hier bijvoorbeeld 100. • Vul dat getal in beide formules in. • Je ziet nu welke bundel op de lange duur voordeliger is.

12. Lineair verband Somformule en verschilformule • Formules met dezelfde variabelen kun je bij elkaar optellen of • van elkaar aftrekken. • Je krijgt dan een somformule of een verschilformule. • formule tent 1 huurprijs in € = 80 + 250w • formule tent 2 huurprijs in € = 20 + 270w • somformule huurprijs in € = 100 + 520w • w: tijd in weken • Je ziet dat de getallen worden opgeteld. • De variabelen huurprijs in € en w blijven hetzelfde. • Met de somformule bereken je de huurprijs van de twee tenten samen. • Bij de formules kun je grafieken tekenen. • De grafiek bij de somformule is de somgrafiek. +

13. Lineair verband • voorbeeld • Hans wil een tent huren. • Hij vraagt zich af wat het prijsverschil is tussen tent 1 en tent 2.. • formule tent 1 huurprijs in € = 80 + 250w • formule tent 2 huurprijs in € = 20 + 270w • w: tijd in weken • a Maak de verschilformule tent 1 – tent 2. • b Teken de verschilgrafiek tent 1 – tent 2. • c Wat betekent de verschilgrafiek? • d Welke tent is goedkoper? • Uitwerking • aformule tent 1 huurprijs in € = 80 + 250w • formule tent 2 huurprijs in € = 20 + 270w • verschilformule huurprijs in € = 60 – 20w • b • c Met de verschilformule kun je uitrekenen hoeveel tent 1 duurder is dan tent 2. • d Tent 2 is goedkoper als je kort huurt. • Na 3 weken zijn de tenten even duur, • daarna is het voordeliger om tent 1 te huren. −

14. Exponentieel verband Van percentage naar groeifactor • Neemt een hoeveelheid met 12% toe, • dan krijg je 100% + 12% = 112%. • De groeifactor is dan 112 : 100 = 1,12. • Bij een toename van 5,3% krijg je • 100% + 5,3% = 105,3%. • De groeifactor is dan • 105,3 : 100 = 1,053. • Bij een toename van 0,8% hoort een groeifactor van 1,008.

15. Exponentieel verband Exponentiële afname • Neemt een hoeveelheid met 16% af, • dan krijg je 100% – 16% = 84%. • De groeifactor is dan 84 : 100 = 0,84. • Bij een afname van 7,2% krijg je • 100% – 7,2% = 92,8% . • De groeifactor is dan 92,8 : 100 = 0,928. • Bij een afname van 0,6% hoort een groeifactor van 0,994.

16. Exponentieel verband Tabel exponentiele groei N=b x gt 94 234 38 =2,4893… 38 94 15 =2,53333… =2,4736… g = 2,5 6 t=0 : A=15 ÷ 2,5 = A=6 x 2,5t

17. Lineair verband Gelijkmatige toename en afname • Je kunt onderzoeken of er in een tabel sprake is van een • gelijkmatige toename of afname. Dat gaat zo: • Je schrijft de toename en/of afname boven en onder de tabel met de boogjes. • Dan maak je steeds de deling stapgrootte = • Als de stapgrootte steeds hetzelfde is, dan is het een tabel met een gelijkmatige toename of afname. • Is de stapgrootte + gelijkmatige toenameIs de stapgrootte - gelijkmatige afnameVoorbeeld • = -3 • = -3 • = -3 • De uitkomst is steeds gelijk, er is sprake van gelijkmatige afname. • De stapgrootte is -3. toename onder toename boven + 2 + 3 + 1 - 6 2 - 9 3 - 3 1 – 6 – 9 – 3

18. Lineair verband + 2 + 2 + 2 voorbeeld • Bij de tabel hiernaast is de stapgrootte • = 1,5 • Het begingetal is de lengte die hoort bij t = 0. • Dat is hier 6 – 3 = 3. • De variabele onder in de tabel is ‘lengte’. • Daar begint de formule mee. 3 2 + 3 + 3 + 3 De formule bij de tabel is lengte = 3 + 1,5 × t 3 t 1,5 lengte

19. Lineair verband Van lineaire grafiek naar formule • Bij een lineaire grafiek kun je een lineaire formule maken. • De variabele die bij de verticale as staat komt voor het = teken. • De variabele die bij de horizontale as staat komt achter het = teken. • Lees het begingetal af op de verticale as. • De stapgrootte vind je zo: • Zoek een roosterpunt op de grafiek dat je goed kunt aflezen. • Tel één naar rechts en kijk hoe je weer op de grafiek komt. • De formule die je krijgt ziet er zo uit

20. Lineair verband Stapgrootte berekenen II B • In sommige grafieken is de stapgrootte niet • precies af te lezen als je één stap opzij gaat. • Dan bereken je de stapgrootte zo: • 1 Kies twee punten op de grafiek waarvan • je de coördinaten goed kunt aflezen. • Teken de horizontale en verticale • lijnstukken die daarbij horen. • Bereken de stapgrootte met • stapgrootte = • Hiernaast zie je: stapgrootte = = 3,75 25 • 20 15 15 10 toename verticaal toename horizontaal • 5 4 15 4 t O 3 4 1 2

21. Lineair verband Hetzelfde begingetal of dezelfde stapgrootte • Bij grafieken die evenwijdig lopen horen formules met • dezelfde stapgrootte. • Sommige formules hebben hetzelfde begingetal . • De grafieken van die formules beginnen op dezelfde hoogte • op de verticale as. • Voorbeeld • Bij een rode grafiek hoort formule B = 15 + 2,5t • a Een groene grafiek loopt evenwijdig aan de rode grafiek, • maar als beginpunt (0, 7). • Wat is de formule van deze grafiek? • b Een blauwe grafiek heeft hetzelfde beginpunt als de rode grafiek • en heeft als stapgrootte ¯0,75. • Wat is de formule van deze grafiek? • Aanpak • a Gebruik dat evenwijdige grafieken dezelfde stapgrootte hebben. • b Gebruik dat de gegeven grafieken hetzelfde begingetal hebben. • Uitwerking • a B = 7 + 2,5t • bB = 15 – 0,75t 2.3

22. hyperbolisch verband Omgekeerd evenredig • Het inhuren van een band voor een schoolfeest kost € 600. • Hoe meer leerlingen er komen, hoe minder je per leerling betaalt. • a: aantal leerlingen • Hierbij kun je een tabel maken en een grafiek. • In de tabel en de grafiek zie je: • als het aantal leerlingen tien keer zo groot • wordt, dan wordt het bedrag per leerling • tien keer zo klein. • als het aantal leerlingen drie keer zo groot • wordt, dan wordt het bedrag per leerling drie keer zo klein. • Dit noemen we een omgekeerd evenredig verband. • De grafiek bij een omgekeerd evenredig verband is een hyperbool.

23. hyperbolisch verband Formules bij een omgekeerd evenredig verband • De formule P = hoort bij een omgekeerd evenredig verband. • Je kunt de formule ook schrijven als P × a = 36. • Bij de twee formules hoort dezelfde tabel en dezelfde grafiek. • De grafiek is een hyperbool. • De formule P × a = 36 is van de vorm variabele × variabele = getal. 36 a variabele variabele getal

24. wortel verband Wortelverbanden • hoogte in m = • a: horizontale afstand in meters. • In de formule staat één van de variabelen • onder het wortelteken. • Daarom is het een wortelformule. • Er bestaat een wortelverband tussen • de afstand a en de hoogte. • Vul je a = 6 in, dan krijg je • hoogte = = 4,9 • Bij de formule kun je een grafiek tekenen. • Je maakt eerst een tabel.

25. machts verband Machten • 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 • 26 is een macht. • In de macht 26 is 2 het grondtal en 6 de exponent. • 26 = 64 • Voorbeelden • I 23 = 2 × 2 × 2 = 8 • II 73 spreek je uit als • zeven-tot-de-derde of als zeven-tot-de-derde-macht.

26. machts verband Machtsverheffen • Het berekenen van machten heet machtsverheffen. • Volgorde bij berekeningen: • Berekenen wat binnen de haakjes staat • Machtsverheffen en worteltrekken van links naar rechts. • Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts. • Optellen en aftrekken van links naar rechts. • voorbeelden • a 23 + 5 × 3 = • 8 + 15 = 23 • b 5 + 3 × 23 = • 5 + 3 × 8 = • 5 + 24 = 29

27. machts verband Machtsverheffen op de rekenmachine • Op je rekenmachine zit een machttoets. • Oudere: 3,58 tik je in als • Nieuwere: 3,58 tik je in als • Controleer dat 3,58 = 22 518,753 91.

28. machts verband Grafiek bij een machtsformule • In de formule I =  × π× r3 staat de derde macht van de variabele r. • Deze formule is een voorbeeld van een machtsformule. • Er bestaat een machtsverband tussen de straal en de inhoud van de piramide. • Grafiek machtsverband: • Je maakt dan eerst een tabel. • Teken de punten uit de tabel in een assenstelsel. • Teken door die punten een vloeiende kromme.

29. machts verband Voorbeeld machtsverband • Teken de grafiek van de formule h = 10 + 0,8t2,5. • h: hoogte in m • t: tijd in uren • Aanpak • Maak eerst een tabel, bijvoorbeeld van t van 0 tot 5. • Voor t = 2 krijg je • h = 10 + 0,8 × (2)2,5 = 14,5. • Teken een assenstelsel dat bij de tabel past. • Teken de punten van de tabel in de grafiek. • Verbind de punten door een vloeiende • kromme te tekenen. • Uitwerking 1.1