Derivada de una función. Aplicaciones

1. JANNIER EDUARDO ABAD TORRES Derivada de una función. Aplicaciones

2. Habilidades: . Definir la derivada de una función. . Interpretar geométricamente la derivada de una función. . Determinar los puntos críticos de una función. . Determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado. . Describir el concepto de punto de inflexión de una gráfica. . Analizar la concavidad de una función a través de su segunda derivada. . Resolver problemas de máximos y mínimos de una función en una variable.

3. La Pendiente de una Curva ¿Una curva tiene pendiente? Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que mas se asemeja (ajusta) a la curva. ¿y cuál es esta recta?

10. Observar que para un valor x=a del dominio de la función f(x) en el caso de existir una recta tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)), podemos realizar una relación entre el punto a y el valor de este límite denotado por f ’(a) y llamado derivada de la función f en el punto x=a De allí que podemos definir la función derivada Función Derivada La derivada de una función f con respecto a la variable x es la función cuyo valor en x en el caso de existir es:

11. 1. Sea f(x) = k, entonces: 3. Sea f(x) = xn, entonces: 2. Sea f(x) = x, entonces: D (c) = 0 x 4. Si f es derivable y c constante, se tiene: REGLAS DE DERIVACIÓN

12. Reglas de Derivación 5. Si f y g son funciones derivables y a y b son constantes se tiene que: 6. Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del producto es:

13. 7. Si f y g son funciones derivables y no es cero, entonces la derivada del cociente es: 8. Si y , entonces la regla de la cadena se define por: Reglas de Derivación

14. Derivadas de funciones EXP, LOG y TRIG. Derivada de funciones exponenciales i) ii) Derivada de funciones logarítmicas i) ii) Derivada de funciones Trigonométricas i) ii)

15. LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES

16. Extremos de una función Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f) El punto aє D se llama Punto mínimo en D si: Al valor f(a) se le llama mínimo de la función f(x) en D Ejemplo: f(x)=x2-4x+5

17. Extremos de una función Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f) El punto aє D se llama Punto máximo en D si: Al valor f(a) se le llama máximo de la función f(x) en D Ejemplo: f(x)=4x-x2+2

18. Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o mínimo • Llamamos valor extremo de la función al valor máximo o mínimo de dicha función.

19. Si c es un punto de extremo local de f, entonces f ’(c) = 0 OBSERVACIÓN: TEOREMA • Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o mínimo • Llamamos valor extremo de la función al valor máximo o • mínimo de dicha función.

20. PUNTOS CRITICOS Definición: Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0. Ejemplo: Determinar el punto crítico de:

21. 4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el mínimo absoluto. Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b] 1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b] 2. Hallar f(c) para cada punto crítico c 3. Calcular f(a) y f(b) Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de:

22. 1. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces f es estrictamente CRECIENTE en [a,b] 2.Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces f es estrictamente DECRECIENTE en[a;b] TEOREMA Sea f continua en [a, b] y derivable en (a;b), entonces: > 

23. Ejemplo: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

24. Criterio de la primera derivada • Si c es un punto crítico de f y f es • derivable alrededor de c, entonces: • Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c • entonces c es un punto de MÁXIMO local de f • ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c • entonces c es un punto de MÍNIMO local de f

25. Ejemplo: Determinar los valores extremos locales de:

26. < - abajo TEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces: > 1. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia + arriba en x = c 2. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia en x = c

27. Criterio de la segunda derivada Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0 entonces: • Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo local. 2. Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local

28. 1 f es continua en c 2 La gráfica tiene tangente en el punto 3 La concavidad cambia de sentido en c PUNTO DE INFLEXIÓN La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si:

29. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE INFLEXION i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero o no existe ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es: • Si f es continua • Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. vertical) • Si f ’’ cambia de signo

30. Ejemplo: Determinar: a) Intervalos de concavidad. b) Puntos de inflexión c) Trazar la gráfica de f Para:

31. GRACIAS