3. Funciones analíticas

1. 3. Funciones analíticas

2. Derivada de una función compleja Teorema del valor intermedio para funciones reales Sea f(x) continua para a < x < b y f(a)f(b)entonces f toma todos los valores entre f(a)yf(b) en el intervalo a < x <b Teorema del valor medio para funciones realesSi f(x) es continua en a < x < b y f '(x) existe para a < x < b, entonces hay al menos un punto c (a < c < b) tal que: f '(c) = [ f(b)  f(a) ] / [ b  a ]. Ninguno de los dos teoremas aplican a las funciones complejas. Por ejemplo: el teorema del valor intermedio, nos dice que si f(a) = -1 y f(b) = 1 entonces necesariamente existe al menos un valor x, a < x <b, tal quef(x) = 0. En compleja, podemos empezar en -1 y acabar en +1 sin haber pasado por (0+0i). -1 1 0 Además los dos caminos tienen longitudes diferentes.

3. Derivada de una función real Si no existe el límite, no existe la derivada en x0. Decimos entonces que f(x) no es derivable o no es diferenciable en x0. Podemos hacer el límite por la derecha y por la izquierda, y ambos deben coincidir.

4. Derivada de una función compleja Observemos que ahora el límite se puede hacer no solamente por la derecha o por la izquierda, sino por infinitos caminos. Para que la derivada esté definida el límite debe existir y ser el mismo independientemente del camino.

5. Ejemplo: Mostrar que f(z) = zn es diferenciable para todo z y que f/(z) = nzn-1. Observa que el resultado es independiente de la trayectoria con que se aproxima a cero. Como z0 es arbitrario, el resultado es válido para todo z y f´(z) = nzn-1.

6. La reglas de derivabilidad son las mismas que en cálculo de funciones reales de variable real: (c f)/ = c f/ (f+g)/ = f/ + g/ (f g)/ = f/ g + f g/ (f/g)/ = (f/ g - f g/)/g2 La regla de la cadena rige de la misma forma. Ejercicio: Demostrar las reglas a partir de la definición de derivada.

9. Regla de L'Hôpital: Si f(z0) = 0 y g(z0) = 0 y las funciones son diferenciables en z0 con g'(z0) diferente de 0, entonces: Extensión: Si f(z0) = f'(z0) = ... = f(n-1)(z0) = 0 y g(z0) = g'(z0) = ... = g(n-1)(z0) = 0 y las funciones y las 2n funciones derivadas son diferenciables en z0 (y con g(n)(z0) diferente de cero), entonces: Guillaume François Antoine Marquis de L'Hôpital (1671 – 1704)

10. Diferenciales Si w = f(z) es continua y tiene primera derivada continua en una región R, entonces: Diferencial de w

11. Más falacias: Derivando a ambos lados:

12. Algunas funciones reales no poseen derivada (en ciertos puntos)... Por ejemplo: De forma similar, algunas funciones complejas no poseen derivada… ¡en ningún punto del plano complejo! Demostrado por Cauchy en 1820

13. Fractales: Curva de Koch, copo de nieve o isla del diablo Niels Fabian Helge von Koch (1870 – 1924) Continuo en todos sus puntos pero no diferenciable en ninguno.¡Perímetro infinito en un área finita!

14. Curva de Weierstrass La curva de Weierstrass es, históricamente hablando, el primer fractal conocido. Fue creado o descubierto (según las preferencias filosóficas del lector) por el matemático Karl Weierstrass en 1861. Lo notable en este caso, respecto a la curva de Koch, es que disponemos de la ecuación, como serie infinita, de la curva: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) Para que la función carezca de tangente única en cada uno de sus puntos, es necesario que:   0 < a < 1, b sea un entero impar  y a b >

15. 1 1 2 2 Algunas funciones complejas no poseen derivada en ningún punto Ejemplo (función continua en todo el plano complejo porque sus componentes u y v lo son) Sigamos dos caminos distintos: El límite no es único, por lo tanto no existe límite. Como z es arbitrario, no existe derivada en ningún punto.

16. 1 2 Como el límite debe ser único: Ejemplo (función continua en todo el plano complejo porque sus componentes u y v lo son) Sigamos de nuevo los dos caminos distintos anteriores: La derivada existe solo en z = 0 y vale 0. Este ejemplo muestra como una función puede ser diferenciable en un punto sin serlo en ningún otro de su entorno.

17. Obtener los puntos del plano complejo donde la función es diferenciable. Calcular su derivada.

18. z=0

19. La existencia de derivada en un punto implica la continuidad de la función en ese punto. Supongamos que existe f’(z):

20. A First Course in Complex Analysis Matthias Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton

21. 1 1 Ecuaciones de Cauchy-Riemann Si la derivada existe, el límite es independiente del camino Seguimos el camino : sea y0

22. [ ] + D - u ( x , y y ) u ( x , y ) ¢ = - f ( z ) i lim D y D ® 0 y [ ] + D - v ( x , y y ) v ( x , y ) + lim D y D ® 0 y ® 2 2 Seguimos el camino : sea x0 Ejemplo:

23. Tenemos: Igualando ambas expresiones: Igualando las partes real e imaginaria obtenemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

24. Ecuaciones de Cauchy-Riemman (ECR) Propuestas por primera vez por D’Alembert en 1752 en el contexto de la dinámica de fluidos. Después de 250 años de casi “hibernación compleja”, entre 1814 y 1851 Cauchy y Riemman fundan el análisis complejo. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

25. Podemos dar en forma polar una función de variable compleja cualquiera. Por ejemplo, sea: En forma polar, tendremos:

26. ECR en forma polar En forma polar tenemos: Demostrar que las ECR toman la forma: Ejercicio: Comprobarlo para la función f(z) = 1/z.

27. Recuerda que hemos tomado dos caminos muy particulares para encontrar las ECR. Hemos demostrado que si f(z) = u(x,y)+iv(x,y) es diferenciable en un punto z0, entonces las primeras derivadas parciales de u(x,y) y v(x,y) existen en ese punto y satisfacen en él las ECR. Además, podemos calcular el valor de f’(z0) a través de las expresiones: Las ECR son una condición necesaria para la derivabilidad.

28. Ejemplos:Veamos que , que hemos probado que es diferenciable en todas partes, cumple las ECR: Sin embargo para: Las ECR no se satisfacen excepto para z = 0. Entonces la derivada no existe para ningún z distinto de 0. Pero no podemos asegurar la existencia de la derivada en z = 0, aunque en este caso la hemos demostrado anteriormente.

29. Veamos un ejemplo, un tanto artificial, donde veamos que las ECR son necesarias pero no suficientes. Calculemos su derivada en z = 0: Que tiene valor 1 sobre el eje real y -1 sobre la línea y = x, p.ej. De modo que f(z) no tiene derivada en z = 0. Y sin embargo, las condiciones de CR en z = 0 se cumplen: De modo que las condiciones son necesarias, pero no suficientes.

30. Condiciones suficientes de derivabilidad Sea f(z) = w = u(x,y) + iv(x,y) definida en un entorno del punto z0= x0 + iy0, supongamos que las primeras derivadas parciales de u(x,y) y v(x,y) existen en el entorno de ese punto y son continuas en z0. Entonces, si las parciales satisfacen las ECR en z0, la derivada f’(z) en z0 existe. Sumamos y restamos

31. De la misma manera, para v(x,y): Así que: Podemos utilizar en esta última igualdad las ECR:

35. Estudiar la derivabilidad de la función y en caso afirmativo hallar la derivada. u iv se cumplen las ECR sólo en x=0, y=0 Examen JUNIO 02/03: P-1

36. Funciones analíticas u holomorfas Una función f(z) es analítica (u holomorfa) en un abierto A si posee derivada en todo punto de A. Cuando se dice que una función f es analítica en un conjunto S que no es abierto, quedará sobrentendido que f es analítica en algún abierto que contiene a S. Cuando decimos que una función es analítica en un punto z0 , la derivada debe existir en todos los puntos de algún entorno de z0. Nota: observa que f(z) = |z|2 es solo derivable en z = 0, pero tampoco ahí es analítica.

37. ¿Existe una forma rápida y fácil de comprobar si una función f (z) es analítica? Sea continua en un dominio D: f(z) es analítica en un dominio D siiu(x,y) y v(x,y) son continuas y poseen primeras derivadas parciales continuas en D y satisfacen las ecuaciones de CR: en todo punto de D.

38. Resumen: ¿Es f(z) analítica en z0? • Escribe f(z) como f(z) = u(x,y) + iv(x,y). • Encuentra ux(x,y), uy(x,y), vx(x,y) y vy(x,y). • Comprueba que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ux(x0,y0) = vy(x0,y0) uy(x0,y0) = -vx(x0,y0) • Comprueba que ux(x,y), uy(x,y),vx(x,y) y vy(x,y) son continuas en (x0,y0).

39. Ejemplo ¿Es 1/z analítica? Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen. Pero f(z) no es continua en cero ni sus parciales tampoco. • La función es analítica en todo punto, excepto en z = 0.

40. Ejemplo ¿Es (1+z)/(1-z) analítica? • Al igual que antes, la función es analítica en todo punto, excepto en x = 1 ey = 0, en z = 1.

43. Nota: Para resolver este problema se usa notación exponencial que no veremos hasta el capítulo siguiente. Puedes volver a él más adelante.

45. Encontrar todas las posibles funciones complejas f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analíticas en la región D = {z є C/ |z| ≤ 3}, que cumplan simultáneamente: (a) Re(f(z)) = u(x) (b) f(0) = 0 (c) máx |f(z)| = 6, z є D Respuesta. • f(z) = u(x) + iv(x,y) analítica en D => Se cumplen ecuaciones de Cauchy – Riemann en D

46. 2. f(0) = 0 = B + iC  B = 0, C = 0 3.

47. P2. Junio 2006 • De la función f(z) se sabe: • Es analítica en |z – 2| < 3, • f(z) = f(z) en |z – 2| < 3, • |f(z)| = Dar la expresión de f(z) en |z – 2| < 3 y, en particular, calcular el valor de f(2 + i). Respuesta. f(z) = u(x,y) + iv(x,y) D : |z - 2| < 3

48. 1.- f(z) analítica en D. 2.- f(z) = f(z), en D.

49. De las condiciones 1 y 2, 3.- |f(z)| = f(z) = ± en D. z = 2+i pertenece a D: f(2 + i) = ±

50. Sol.: (a) a = -b; c = 1. (b) a = b = -1 (a) En ningún punto. (b) En ningún punto. (c) C - {z = +i, -i} (d) C (e) En ningún punto. (f) C - {z = 0} (g) En ningún punto.