I modelli dei rendimenti di equilibrio

1. I modelli dei rendimenti di equilibrio Corso di Economia delle Scelte Finanziarie e di Portafoglio (prof. G. Ferri): Lezione 3

2. In questa lezione Rimuoviamo alcune ipotesi restrittive fatte nella derivazione del CAPM a un periodo; Usiamo il criterio M-V per derivare la domanda di attività rischiose; Vediamo come si può usare il CAPM per costruire indicatori di performance; Confrontiamo i rendimenti di equilibrio derivati dal CAPM con quelli derivati dall’Arbitrage Pricing Theory (APT)

3. Estensioni del CAPM - 1 Lo Zero-Beta CAPM: nessuna attività sicura Se non è consentito prendere/dare a prestito al tasso privo di rischio, si può mostrare che il mix di portafoglio scelto non è più lo stesso per ogni investitore, ma varia in base alle preferenze: 1. investitore raggiunge l’ottimo combinando portafoglio efficiente (M) con corrispondente portafoglio zero-beta (Z, cfr. figura); 2. è zero-beta un portafoglio con attività rischiose in proporzioni xi tali che ERz =  xiERi e vale che: (i) non è correlato col portafoglio rischioso M; (ii) è il portafoglio con varianza minima tra quelli che soddisfano (i).

4. Estensioni del CAPM - 2 3. non vi è un’unica combinazione dei portafogli M e Z, anche se i rendimenti di equilibrio sono comunque una funzione lineare di ERm ed ERz che soddisfa: ERi= ERz + (ERm – ERz) βi è ovvio, per βi=0 → ERi= ERz (portafoglio zero-beta) Vale ancora il principio della separazione tra le due scelte dell’investitore. Egli: (i) sceglie il portafoglio efficiente M e quello inefficiente Z (ogni portafoglio sulla linea ERz - Z è inefficiente); (ii) combina M e Z in base alle sue preferenze.

5. Estensioni del CAPM - 3

6. Estensioni del CAPM - 4 Diversi tassi creditori e debitori Riammettendo crediti e debiti, assumiamo che rB > rL (tasso debitore > tasso creditore = tasso privo di rischio), allora si può mostrare che il mix di portafoglio scelto differisce tra tipi di investitori (cfr. figura): • creditore sceglie nel tratto rL – L (L–L’ irraggiungibile); • debitore sceglie nel tratto B – C (rB–B irraggiungibile); • se né creditore né debitore sceglie nel tratto LMB Per 3 vale portafoglio zero-beta: ERi= ERz + (ERm – ERz) βi Per 1 vale ERq= rL+ (ERm – rL) βqL ove βqL = σqL/σ2L Per 2 vale ERk= rB+ (ERm – rB) βkB

7. Estensioni del CAPM - 5

8. Estensioni del CAPM - 6 Altre estensioni • Presenza di attività rischiose illiquide (cioè che non possono essere facilmente vendute sul mercato) → è difficile modificare il CAPM per tenerne conto; • Presenza di tasse e costi di transazione → il CAPM può esser agevolmente modificato per tenerne conto; • Aspettative eterogenee su rendimenti attesi, varianze e covarianze (violazione ipotesi di aspettative razionali) → su può modificare il CAPM per tenerne conto solo con ipotesi molto restrittive sulla funzione di utilità; • Inflazione (investitore si cura dei rendimenti reali) → il CAPM può esser agevolmente modificato per tenerne conto.

9. Modello domanda attività MV - 1 Usiamo il modello MV (sviluppato da Tobin) per derivare le domande di attività. Assumiamo che investitore massimizzi una funzione di utilità del tipo: U = U(μN, σ2N) con U1 >0, U2 <0, U11, U22 <0, che assume la forma particolare: μN – (c/2)σ2N ove c coglie il grado di avversione al rischio. Se ci sono una attività priva di rischio (con rendimento r) e una sola attività rischiosa (con rendimento effettivo R, atteso μR e varianza σ2R) siamo in situazione analoga derivazione della linea di trasformazione e si trova che la quota detenuta nell’attività rischiosa è: x*i = (μR – r)/(cσ2R) ovvero la domanda dell’attività rischiosa cresce nel rendimento in eccesso e cala nella rischiosità

10. Modello domanda attività MV - 2

11. Uso CAPM per indici di performance - 1 Nel mondo del CAPM tutti i rendimenti aggiustati per il rischio seguono: (ERi – r)/βi = (ERj – r)/βj = … Ma nella realtà di breve periodo può non valere l’equilibrio e, perciò, possono esserci opportunità di profitto. Come valutare performance effettiva investimento? Indicatori di Sharpe (S), di Treynor (T) e di Jensen (J): Si = (ERi – r)/σi Ti = (ERi – r)/βi [EtRi,t+1 – rt] = Ji + [EtRmt+1 – rt] Si appropriato se investitore detiene fondo comune + attività sicura; Ti e Ji se detiene fondo comune + altre attività rischiose. Si può mostrare che i tre indicatori sono correlati tra di loro e discendono da CAPM

12. Arbitrage Pricing Theory APT - 1 Per APT il rendimento di un’azione può essere scomposto in una parte attesa e una inattesa: Rit = Reit + uit e uit si scompone in rischio sistematico (di mercato, es. macro: π, PIL, r) e rischio specifico (idiosincratico): uit = mt + εit ove si assume che cov(m,ε)=0 Come nel CAPM, il rischio sistematico non è diversificabile mentre quello specifico lo è con portafoglio ampio. L’APT può essere espresso da: (1) Rit = ai + kj=1bijFjt + εit (2) ERit = λ0 + kj=1bijλj ove gli Fjt sono fattori sistematici, i bij sono dei fattori beta di ponderazione, λj è il rendimento in eccesso atteso richiesto per la sensibilità delle azioni al fattore i; λ0 = rt oppure ERZ.

13. Arbitrage Pricing Theory APT - 2 L’APT può essere stimato empiricamente attraverso l’analisi dei fattori in modo da determinare i valori dei parametri espressi in (1) e (2). In effetti l’APT è anche noto come modello multifattoriale. Che relazione c’è tra il CAPM e l’APT? Si può mostrare che il CAPM è coerente con un APT multifattoriale. Si consideri un APT con 2 fattori: (1’) Ri =ai + bi1F1+bi2F2 (2’) ERi = r + bi1λ1+bi2λ2 ora ricordiamo che λj è il rendimento in eccesso; quindi se vale il CAPM: λ1= β1(ERm – r); λ2= β2(ERm – r) ove βi=σim/σ2m sono i β derivati dal CAPM. Sostituendo in (1’) e (2’) si ha: ERi = r + β*i (ERm – r)