Integrais de Linha - Noções

1. Integrais de Linha - Noções Vimos • Agora, Integrais sobre uma curva C

2. Alguns conceitos: • Funções a valores vetoriais: • No plano uma função y = f(x) • r(t) = x(t).i + y(t)j = < x(t), y(t) > • No espaço uma função z = f(x, y) • r(t) = x(t).i + y(t)j + z(t)k = < x(t), y(t), z(t) > Exemplos: r(t) = (sent).i + (cost).j r(t) = 2(cos t)i – 3(sent).j r(t) = t.i + (t2 + 1).j

3. Exercícios: 1. Se r(t) = 0,5t2i – (t – 1)j: a) encontrar e marcar no plano r(1); r(0); r(2); b) encontrar y = f(x) 2. Se r(t) = (lnt)i +(1/t)j: a) encontrar e marcar no plano r(1); r(2); r(e); b) encontrar y = f(x) 3. Esboçar o gráfico e, quando possível, encontrar y = f(x): a) r(t) = 3t.i + (t – 1).j b) r(t) = (1 – t).i + t1/2.j c) r(t) = (cost).i = 3(sent).j d) r(t) = <2cos3t, 2sen3t>

4. Curvas Lisas Quando r(t) = x(t).i + y(t).j, para a ≤ t ≤ b e dx/dt e dy/dt São contínuas e não simultaneamente nulas em [a, b], A curva C no plano, correspondente à função r(t), é chamada curva lisa. Quando r(t) = x(t).i + y(t).j + z(t).k, para a ≤ t ≤ b e dx/dt , dy/dt e dz/dt São contínuas e não simultaneamente nulas em [a, b], A curva C no espaço, correspondente à função r(t), é chamada curva lisa.

5. Integrais de Linha • Seja f uma função definida em uma região contendo uma • curva lisa C de comprimento finito e {P1, P2, ... Pn} uma • partição da curva C. • Seja Δsi o comprimento do i-ésimosubarco. • Então a integral de linha de f ao longo de C é dada por: desde que o limite exista (||Δ|| = comprimento do maior subarco)

6. Calculando integrais de linha - Teorema • Seja f uma função contínua em uma região contendo a • curva lisa C. Se a ≤ t ≤ b e: • C é dada por r(t) = x(t).i + y(t).t, então • C é dada por r(t) = x(t).i + y(t).t + z(t).k, então