מידול אוטומטי של משוואות דיפרנציאליות לא לינאריות ב- Simulink

הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGYהפקולטה להנדסת חשמלהמעבדה לבקרה ורובוטיקה מידול אוטומטי של משוואות דיפרנציאליות לא לינאריות ב-Simulink אייל ברכה דורון פגוט פרויקט סמסטריאלי: מאי 2008 מנחה: אריה נחמני

תוכן ענייניים; • הצגת הבעיה • מטרות הפרויקט • חלונות לדוגמא ב- GUI • תיאוריה • מבנה הקוד • סימולציות • Demo + מבט בסרט ההדרכה • מסקנות • אפשרויות הרחבה לפרויקט • התייחסויות

מבוא רקע כללי • הצגת הבעיה: • נתונה מערכת משוואות דיפרנציאליות לא לינאריות המתארת את המערכת הפיסיקלית. • יש לבנות אוטומטית מימוש של המערכת ב-Simulink. • מכיוון שמדובר שמשוואה שאינה ליניארית ואין הגבלה לרמת הסיבוך של המשוואה אזי יש קושי לפתור את הבעיה בעזרת מימוש state space. • הנחת הייסוד: • ה- Simulink יפתור את הבעיה באיטרציות בשגיאה קטנה אשר תלויה בתדר הדגימה שבו אנו עובדים.

מבוא • מטרות הפרויקט • פיתוח מודל תאורטי לפתרון איטרטיבי של משוואות. • בניית ממשק GUI אשר יוזן במשוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות (כולל תלות בין המשוואות) וייצור subsystem בעל כניסות ויציאות המתאר את המשוואות. • בניית סביבת עבודה מקבילה ל- Simulink המאפשרת למשתמש לבצע פעולות הזנת אותות כניסה, חיבור משוב, והצגת מוצא המערכת בלחיצת כפתור. • כתיבת חוברת הדרכה לשימוש בממשק. • הקלטת סרט וידאו להדרכה מהירה.

מבוא • קהל היעד • סטודנטים בקורסי הבקרה השונים כגון בקרה 1, בקרה 2, מעבדה לבקרה לינארית ועוד • סטודנטים המבצעים פרויקטי גמר במעבדה לבקרה • סטודנטים לתארים מתקדמים אשר נדרשים למימוש מערכות לא לינאריות ב- simulink • מהנדס בקרה המעונין לבצע סימולציות על מערכות לא לינאריות ע"י simulink

בחירת משוואה אחת או שתיים חלונות לדוגמא ב- GUI

בניית מודל או הרצת סימולציה חלונות לדוגמא ב- GUI

תיאוריה האלגוריתם הבסיסי • בחירת החלופה האופטימלית • בשלב הראשון בניית תבנית בעלת נכונות מתמטית • שימוש ברכיב ה- fcn אשר לאחר מניפולציות מתמטיות ידע לקמפל משוואה דיפרנציאלית. • בשלב השני פיתרון איטרטיבי בעזרת ה- Simulink. • משוואה דיפ' כללית: • ניצור תלות פנימית: • נגדיר: • פתרון איטרטיבי מניח:

תיאוריה מערכת הפיתרון האיטרטיבית (משוואה בודדת):

תיאוריה סכימה עבור שתי משוואות • עבור מספר משוואות נתון: • הייצוג האיטרטיבי:

הקוד – הסבר כללי הקוד בנוי מודולארית כך שה- GUI מפעיל את הפונקציות השונות לפי דרישות המשתמש. הושם דגש מיוחד על אפשרויות הרחבה אשר מפורטות בפרטי פרטים על פני פרק שלם בספר הפרויקט. החל מתוספות קטנות של פונקציות חיצוניות וכלה בהוספת מספר רב של משוואות. נושא האסטטיקה נלקח בחשבון, לאור העובדה שזהו פרויקט בעל מטרות מעשיות בטווח המיידי. מבנה הקוד

בניית תת מערכת ומודולים חיצוניים יצירת תת מערכת בניית אינטגרטורים ליציאות, נגזרות לכניסות (אידיאליות ומעשיות), Bus מרכזי המוזן בכל הכניסות והיציאות. הפרויקט תומך בכ- 30 פונקציות חיצוניות כגון: Sat, sin, floor , arctan, log וכו' הגדרת ה- mask עבור תנאי ההתחלה בניית וקטור מצב לצורך בקרת מצב. בניית מקור כניסה וכיולו, בניית המשוב (טורי או מקבילי), בניית scopes. מבנה הקוד

מטרות הפרק כיצד מתפקד המודל שיצרנו בהשוואה למערכת המקורית מהן המגבלות שעליהן יש לתת את הדעת, בכדי שהמשתמש ידע לנצל את המערכת במלואה. נקודות תורפה נקודות חוזקה סימולציות

השוואת המודל למודל state space עבור המשוואה: נבדוק את המודל בתנאי קיצון -תדר דגימה נמוך מאוד: בדיקת היתכנות עבור משוואה אחת לא ליניארית סימולציות

גזירת הכניסה אחד מחסרונותיה של המערכת הינו התמודדות עם משוואות בהן ישנה גזירה של הכניסה. במידה והכניסה מכילה רעש, הגזירה תגביר את הרעש. על מנת לפתור בעיה זו מומשה היכולת לבחור בין שימוש בנגזרות אידיאליות לבין שימוש בנגזרות מעשיות. נגזרות מעשיות אלו למעשה מוסיפות LPF לנגזרת האידיאלית. סימולציות

בדיקת היתכנות עבור משוואה אחת לא ליניארית (נגזרת אידיאלית לעומת מעשית) התקבל כי כאשר קיים רעש שימוש בנגזרת מעשית נותן תוצאות טובות משמעותית. הסיבה טמונה בכך כי הנגזרת מגבירה את התדרים הגבוהים ברעש. לעומת זאת שימוש בנגזרת מעשית המכילה LPF מנחיתה את אותם תדרי רעש מוגברים ובכך מאפשרת את הקטנת השגיאה. סימולציות

בדיקות עבור משוואה ליניארית מסדר 4 המשוואה:y''''+3*y'''+4*y''+5*y'+2*y-u''-2*u'-3*u =0 הגרפים להלן מתארים את השגיאה בין המערכות לפני ואחרי שיפור הנגזרת המעשית: סימולציות

מערכת ליניארית ללא נגזרות בכניסה y’’+5y’+4y = u להלן גרף המתאר את השגיאה בין המערכות עבור כניסה מסוג: sin(22t) ניתן לראות כי עבור מערכות ללא גזירה על הכניסה מתקבלות תוצאות טובות משמעותית סימולציות

שימוש באיטרציות היתרון ברור והוא היכולת לפתור משוואות בעלות רמות סיבוך גבוהות וכן היכולת לפתור מספר משוואות משולבות. החיסרון הינו התלות בתדר הדגימה של ה- Simulink עקב שימוש בקירוב . לפתרון המוצע ישנה השהיה מובנת של דגימה אחת, שלא מופיעה במשוואות המקוריות. סימולציות

בדיקת השפעת גודל הצעד על השגיאה בין המערכות לאחר בדיקות רבות להלן שני גרפים המדגימים את השפעת גודל הצעד במערכת ה- simulink על השגיאה מימין עבור גודל צעד 0.2, משמאל עבור גודל צעד 1e-5: סימולציות

שתי משוואות לא ליניאריות: מערכת רחיפה מגנטית בשלב זה ביצענו בדיקה מקיפה עבור זוג משוואות לא ליניאריות. המימוש שלנו: סימולציות

שתי משוואת לא ליניאריות: השוואה בין המערכות ביצוע DEMO ל- GUI והשוואה בין המערכות ביצענו בדיקות דומות עבור מערכת של כדור על מסילה מסתובבת. בבדיקות אלו אף קיבלנו כי נקודת ש"מ של שתי המערכות זהה. הבדיקות כללו הכנסת כניסות מגוונות. להלן גרף מייצג של השגיאה בין המערכות עבור כניסת sin(t) סימולציות

מסקנות המערכת עוקבת עם שגיאה קטנה מ- ולרוב קטנה מ- נגזרת מעשית עדיפה עבור אותות בלתי רציפיים, כגון מדרגה ורעש מכיוון שהמערכת פותרת בשיטת האיטרציות, אזי קצב דגימה גבוה ב- simulink יקטין את השגיאה בין שתי המערכות השימוש ב- GUI הינו פשוט יחסית וניתן לשלוט בו ע"י צפייה בסרט ההדגמה, קריאה של ה- User Guide או קריאת דף ההסבר המהיר. כולם נגישים מה- GUI עצמו ישנה תשתית מלאה להרחבת הקוד, כמו כן קיים פרק שלם בספר הפרויקט המסביר ביסודיות כיצד ניתן לבצע הרחבות בקוד

אפשרויות הרחבה לפרויקט ברמת הקוד מצורף פרק שלם המפרט את כל הפרטים הטכניים הסבת המערכת לזמן בדיד התמודדות טובה יותר עם נגזרות בכניסה ע"י השהיית תגובת הזמן. פיתרון ישיר אשר אינו דורש גוזר

התייחסויות

מידול אוטומטי של משוואות דיפרנציאליות לא לינאריות ב- Simulink