Unidad Didáctica 4:

1. Unidad Didáctica 4: Aritmética IV Unidad didáctica 4, Parte 2

2. Unidad didáctica 4, Parte 2

3. Magnitudes proporcionales • Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas se produce una variación en la otra. Pueden ser: • Directamente proporcionales: si las dos varían en el mismo sentido (al aumentar una aumenta la otra o al disminuir la primera también disminuye la segunda). Es decir, si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda multiplicada por ese número. Ej.: el espacio recorrido y el tiempo empleado. • Así pues, podemos concluir diciendo: dos magnitudes son directamente proporcionales si se cumplen las siguientes condiciones: • - Al aumentar una de ellas la otra también aumenta. • - La razón entre cualquier par de valores correspondientes siempre nos da el mismo valor, llamado constante de proporcionalidad o factor de conversión. • Esta constante nos permite escribir la relación entre dos magnitudes directamente proporcionales mediante la ecuación: y = k • x, siendo “x” e “y”, respectivamente, un valor de cada magnitud y “k” la constante de proporcionalidad. Unidad didáctica 4, Parte 2

4. Magnitudes proporcionales • Inversamente proporcionales: si la variación de una es contraria a la de la otra (al aumentar una de ellas disminuye la otra o viceversa). Es decir, si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida por ese número. Ej.: El tiempo empleado en recorrer un trayecto y la velocidad que lleve el móvil. • Así pues, podemos concluir diciendo: dos magnitudes son inversamente proporcionales si se cumple que: • - Al aumentar una de ellas la otra disminuye. • - El producto entre dos cantidades correspondientes es siempre el mismo valor, llamado constante de proporcionalidad. • Esta constante nos permite escribir la relación entre dos magnitudes inversamente proporcionales mediante la ecuación: x • y = k, siendo “x” e “y”, respectivamente, un valor de cada magnitud y “k” la constante de proporcionalidad. Unidad didáctica 4, Parte 2

5. Razones y proporciones • Razón de dos números: es el cociente indicado de dichos números. Se expresa mediante un quebrado ( a / b ) y se lee: “a” es a “b”. Sus términos se llaman: • - Antecedenteel numerador (a). • - Consecuente el denominador (b). • Proporción: es la igualdad de dos razones ( a / b = c / d ; también se representa a : b :: c : d ) y se lee: “a” es a “b” como “c” es a “d”. Sus términos se llaman: extremos (“a” y “d”) y medios (“c” y “d”). Debe cumplir la siguiente propiedad: “Producto de los extremos es igual al productos de los medios” ( a • d = c • d). Unidad didáctica 4, Parte 2

6. Razones y proporciones • - Proporción continua: es la que tiene los medios iguales. Ej.: 3 / 6 = 6 / 12 o lo que es igual 3 : 6 :: 6 : 12 • - Cálculo de un término en una proporción: por regla general llamaremos “x” al término desconocido. Se nos pueden presentar tres casos que se resuelven • - Cuarta proporcional: es el nombre que recibe cualquier término de una proporción. Ej.: 3 / 4 = 9 / x Aplicando la propiedad fundamental tenemos: 3 • x = 4 • 9 ; x = 4 • 9 / 3 ; x = 36 / 3 ; x = 12 • - Tercera proporcional: es el nombre que recibe uno de los extremos de una proporción continua. Ej.: 2 / 6 = 6 / x Aplicando la propiedad fundamental: 2 • x = 6 • 6 ; x = 6 • 6 / 2 ; x = 36 / 2 ; x = 18 • - Media proporcional: es el nombre que reciben los medios de una proporción continua. Ej.: 3 / x = x / 27 Aplicando la propiedad fundamental tenemos: x • x = 3 • 27 ; x2 = 81 ; x = √81 ; x = 9 Unidad didáctica 4, Parte 2

7. Aplicaciones de la proporcionalidad • - La regla de tres: • Consiste en calcular cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales estableciendo una proporción. Ej.: • ¿ Cuánto he de pagar por 9 cajas de verdura si 2 de ellas valen 100 € ? Unidad didáctica 4, Parte 2

8. Aplicaciones de la proporcionalidad • - El porcentaje en un caso particular de regla de tres simple directa. Por lo que se los ejercicios se resuelven de la misma forma. Hay que tener en cuenta que el “tanto por ciento” aporta dos datos para al planteamiento del problema. Ej: • ¿ Cuánto he de pagar por un pantalón de 90 € si me descuentan el 15% ? Unidad didáctica 4, Parte 2

9. Realiza • 1ª.- ¿Cuándo decimos que dos magnitudes son proporcionales? ¿Cómo pueden ser dos magnitudes proporcionales? Define cada caso. • 2ª.- Indica si son directa o inversamente proporcionales las siguientes magnitudes: - Velocidad de un vehículo y tiempo que emplea. - Calidad de un producto y precio del mismo. - Volumen de un cuerpo y peso del mismo. - Número de obreros y tiempo que tardan en hacer un trabajo. • 3ª.- ¿A qué se llama razón de dos números? Unidad didáctica 4, Parte 2

10. Realiza • 1º.- ¿Cuánto pesan 35 sacos de cemento si 14 sacos de la misma clase pesan 840 kg.? (R 2100 kg.) • 2º.- Si 15 obreros tardan 28 días en realizar un trabajo, ¿cuántos días emplearán 7 obreros en realizar el mismo trabajo? (R 60 días) • 3º.- Si 70 Hl. de aceite pesan 6.300 Kg., ¿cuántos gramos pesarán 18 dal. de ese mismo aceite? (R 162000 g.) • 4º.- Un grifo que arroja 16 litros de agua por minuto, emplea 19 horas en llenar un depósito. ¿Qué tiempo empleará otro grifo que arroja 57 litros por minuto? (R 5,33, h.) • 5º.- Un automóvil que circula a 100 km/h. tarda 6 horas en el trayecto Madrid-Sevilla. ¿Cuánto tardaría un camión en hacer el mismo recorrido si su velocidad es de 80 km/h.? (R 7,5 h.) Unidad didáctica 4, Parte 2

11. Realiza • 1º.- Calcular el 25% de 4.200 . (R 1050) • 2º.- Hallar el 20% de 3.000 . (R 600) • 3º.- ¿ Cuál es el número cuyo 15% es 1500 ? (R 10000) • 4º.- El precio de venta al público de un televisor es de 120 €. Si me descuentan un 12% ¿cuánto debo pagar? (R 105,6 €) • 5º.- El precio de un transistor es de 50 €. Si le añadimos el 15% de I.V.A. ¿Cuánto debo pagar por el transistor? (R 57,5 €) • 6º.- ¿Cuánto se ha de pagar por 25 sacos de harina a 40 €. cada uno, si sobre el total de la factura se hace un descuento de un 3%? (R 970 €) • 7º.- Un obrero cobraba 650 €. al mes y le han subido el sueldo en un 12%. ¿Cuánto cobrará a partir de ahora? (R 728 €) Unidad didáctica 4, Parte 2