9/11/2014

1. BAB. 3 (Skalar, Vektor) 9/11/2014 1

2. Pendahuluan. Di dalam Fisika, pembicaraan suatu gejala [peris-tiwa(alam)], diperlukan pengertian dasar yang disebut besaran. Dalam besaran (fisika), termuat (sesuatu yang mengikutinya), misal nilai, sifat dan sistem besaran  kita dapat membicarakan (gejala alam) yang bersangkutan dengan kaitan tertentu.

3. 1. Besaran Skalar Besaran skalar:besaran fisis yang hanya memi-liki besar (kuantitas) saja, (satu dimensi yaitu nilai). Contoh. Suhu, kelajuan, energi dan lain sebagainya.

4. 2. Besaran Vektor Besaran vektor: besaran fisis yang memiliki dua pengertian dasar yaitu besar (ku-antitas) dan arah. Contoh: gerak mobil, besaran vektornya yaitu ke-cepatan (terdapat arah perpindahan, nilai kelajuan). Besaran vektor digambarkan sebagai anak panah (), (misal A → B). A titik tangkap vektor, panjang panah (panjang AB, nilai, besaran skalar) besarvektor, dan arah panah (arah vektor), B ujung vektor.

5. Lanjutan. Jika titik tangkap vektor digeser sepanjang garis kerja vektor tersebut, maka pengaruh vektor tersebut tidak berubah. B! A!   B A Besaran vektor yang tidak dikaitkan dengan sis-tem koordinat disebut vektor planimetrik. , A

6. Lanjutan. Vektor A ditulis dengan vektor satuan menjadi Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan Vektor B lawan vektor A, besar vektor A = vektor B, hanya arah-nya berlawanan.

7. A k = 3, menjadi 3A k = - 2, menjadi - 2A 0perasi Vektor 1. Perkalian vektor dengan tetapan (k), hasilnya vektor dengan besar k kali besar awal vektor. Perkalian skalar dengan vektor dapat digunakan untuk mencari linieritas.

8. Contoh. Tentukan nilai y dan z agar ketiga titik A (1, 2, 5); B (4, y, 9) dan C (7, 10, z) menjadi satu garis lurus ! Penyelesaian. Garis AC dinyatakan sebagai vektor, A= 6 i + 8 j + (z - 5) k Garis AB dinyatakan sebagai vektor, B = 3 i + (y - 2) j + 4 k. Tiga titik akan segaris jika AC = kABatau A = kB, 6 i + 8 j + (z - 5) k = k [3 i + (y - 2) j + 4 k]. Dihasilkan persm, 6 = 3 kk = 2 ;

9. Lanjutan. 8 = 2 (y - 2) y = 6 z - 5 = 8 z = 13. Dengan demikian jika koordinat titik, A (1, 2, 5); B (4, 6, 9) dan C (7, 10, 13) akan se-garis.

10. C B B + A A + B  A 2. Penjumlahan dua vektor, (hasilnya vektor) B A A + B = B + A = C C2 = A2 + B2 + 2 A B cos 

11. Contoh. Diketahui dua buah vektor, besar masing-ma-sing 5 dan 8 satuan. Berapakah besar jumlah dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ? Penyelesaian. C2 = 52 + 82 + 2 (5)(8) cos 30o = 25 + 64 + 80 (1/2 ) satuan = (89 + 40 ) satuan = 157,- satuan Jadi panjang (besar) vektor C = 12,- satuan

12. C b D F A B E c Contoh. Gunakan kaidah penjumlahan vektor. Buktikan bahwa dua garis berat pada suatu segitiga ber-potongan dengan perbandingan panjang 2 : 1! Penyelesaian. AB = c AC = b b + CB = c,  CB = C - b AD = AC + ½ CB AD = b + ½ (c – b) CE = CA + AE = - b +½ c

13. Sambungan. AF =k AD =½k c + ½ kb CF =ℓ CE =½ℓc - ½ ℓ b Akhirnya dihasilkan½k c = ½ ℓ c → k=ℓ . Diperoleh pernyataan ½k b = (1 - ℓ) b atau → ½k=1-ℓ=1 -k Dengan demikian dihasilkan 1½ k = 1 atau k = 2/3 Sehingga AF = 2/3AD akhirnya diperoleh FD = 1/3AD. Sehingga terbukti jika AF : FD = 2 : 1 atau

14. Penjumlahan Beberapa Vektor. R = A + B + C + D Penjumlahan dengan cara poligon vektor.

15. Hukum Penjumlahaan. R = A + B = B + A Hukum komutatif

16. Lanjutan. Hukum Asosiatif, A + (B + C) = (A + B) + C

17. D B B - A  - A  A 3. Pengurangan dua vektor, hasilnya vektor Pengurangan, adalah penjumlahan dengan lawan vektornya. B B + (- A) = D A D2 = A2 + B2 + 2 A B cos  D2 = A2 + B2 - 2 A B cos 

18. D B B - A  - A  A A - B - B Hukum Pengurangan, vektor Anti Komutatif A – B = A + (- B) = - (B – A)

19. Contoh. Diketahui dua buah vektor besar masing-masing (A), 5 dan (B), 8 satuan. Berapakah besar selisih (A – B), jika kedua vektor tersebut membentuk sudut apit 30o ? Penyelesaian. D2 = 52 + 82- 2 (5)(8) cos 30o = 25 + 64 - 80 (1/2 ) satuan = (89 - 40 ) satuan = 20,- satuan Jadi panjang (besar) vektor D = 4,- satuan

20. Tabel Penjumlahan Vektor Besar sudut dengan sb. sb x sb y sb z Fx Fy Fz Vektor ΣFxΣFy ΣFz dst.

21. B  B cos  A 4. Dot product dua vektor, hasilnya skalar. A . B,hasilnya= besar vektor Akali vektor Bdan cos sudut antara A dan B A . B = A B cos  A

22. Contoh. Diketahui dua buah vektor besar masing-masing A, (5) dan B, (8 satuan). Hitunglah nilai A.B dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ? Penyelesaian. A . B = (5)(8) cos 30o = 20 satuan

23. C B  A 4. Cross product dua vektor, hasilnya vektor. A x B = C C  A dan C  B C = A B sin  B x A = - C

24. B B sin   A A Lanjutan. A x B didefinisikan sebagai vektor (C) dengan C te-gak lurus pada kedua vektor (A dan B) dan nilainya sama dengan luas jajaran genjang yang sisi-sisinya A dan B.

25. Contoh. Diketahui dua buah vektor besar masing-masing A, (5) dan B, (8) satuan. Berapa A x B dari dua vektor tersebut jika membentuk sudut apit 30o ? Penyelesaian. C A xB = C C= (5)(8) sin 30o = 20 satuan C  A dan C  B B A

26. Y A (x, y) (y) (x) X 0 Sistem Koordinat Cartesian. Cartesian dua dimensi Letak titik A ditentukan oleh nilai x dan y.

27. Z A (x, y, z) (z) 0 Y (x) (y) X Sistem Koordinat Cartesian. Cartesian tiga dimensi Letak titik A ditentukan oleh nilai x, y dan z.

28. Z A (x, y, z) V (C k) 0 Y (A i) (B j) X Vektor dan sistem Koordinat. Cartesian tiga dimensi 0A vektor posisi V = Ai + Bj + Ck i, j, k vektor satuan dalam arah sumbu X+, Y+, Z+

29. Z A(x, y, z) R z 0 x y X Lanjutan. Dalam sistem koordinat letak suatu titik dapat dinyatakan sebagai vektor. Vektor yang menyatakan letak suatu titik dise-but dengan vektor letak (vektor posisi). Letak titik A, dinyatakan dengan sistem koordi-nat kartesian tiga dimensi persm-nya menjadi, (0A)= R = xi + yj + zk Y

30. 0perasi vektor dengan sistem koordinat. 1. Penjumlahan. A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk Jika A +B = C, maka C dinyatakan sebagai C = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j + (Az + Bz) k

31. Contoh. A = 5 i + 8 j + 2 k B = i + 3 j - 4 k Hitung A + B ? Penyelesaian. Jika A +B = C, maka C dinyatakan sebagai C = (5 + 1) i + (8 + 3) j + (2 - 4) k = 6 i + 11 j - 2 k

32. 2. Pengurangan. A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk Jika A -B = D, maka D dinyatakan sebagai D = (Ax - Bx) i + (Ay - By) j + (Az - Bz) k

33. Contoh. A = 5 i + 3 j + k B = 7 i + 2 j + 4 k Hitung A – B ? Penyelesaian. Jika A -B = D, maka D dinyatakan sebagai D = (5 - 7) i + (3 - 2) j + (1 - 4) k = - 2 i + j - 3 k

34. 3. Dot product. A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk 0perasi A .B,hasilnya skalar dan skalar tersebut dinyatakan sebagai A . B = [Axi + Ayj + Az k] . [Bx i + By j + Bz k] = (Ax)(Bx) i . i + (Ax)(By) i . j + (Ax)(Bz) i . k + (Ay)(Bx) j . i + (Ay)(By) j . j + (Ay)(Bz) j . k + (Az)(Bx) k . i + (Az)(By) k . j + (Az)(Bz) k . k

35. Lanjutan. i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0o = 1 i . j = i . k = j . i = j . k = k . i = k . j =(1)(1) cos 90o = 0 A .B hasilnya menjadi, = (Ax)(Bx) + (Ay)(By) + (Az)(Bz) = skalar A .B = B . A

36. Contoh. A = 5 i + 3 j + k B = 7 i + 2 j + 4 k Hitung A .B ? Penyelesaian. A .B = C, maka C dinyatakan sebagai C= (5)(7) + (3)(2) + (1)(4) = 35 + 6 + 4 = 45

37. 4. Cross product. A = Axi + Ayj + Azk B = Bxi + Byj + Bzk 0perasi A xB,hasilnya vektor dan vektor terse-but dinyatakan sebagai A x B = [Axi + Ayj + Az k] x [Bx i + By j + Bz k] = (Ax)(Bx) i x i + (Ax)(By) i x j + (Ax)(Bz) i x k + (Ay)(Bx) j x i + (Ay)(By) j x j + (Ay)(Bz) j x k + (Az)(Bx) k x i + (Az)(By) k x j + (Az)(Bz) k x k

38. Lanjutan. i x i = j x j = k x k = (1)(1) sin 0o = 0 i x j = - j x i = k J x k = - k x j = i k x i = - i x k = j Dengan demikian A x B menjadi, A x B = i [(Ay)(Bz) - (Az)(By)] + j [(Az)(Bx) - (Ax)(Bz)] + k [(Ax)(By) - (Ay)(Bx)]

39. Contoh. A = 5 i + 3 j + k B = 7 i + 2 j + 4 k Hitung A xB ? Penyelesaian. A xB hasilnya menjadi A x B = i [(3)(4) - (1)(2)] + j [(1)(7) - (5)(4)] + k [(5)(2) - (3)(7)] A x B = 10 i - 13 j - 11 k

40. Contoh. Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor yang masing-masing bentuk sebagai berikut: A = 5 i + 2 j ,[bertitik tangkap pada koordinat (1, 2, 3)] B = - j+ 2k, [bertitik tangkap pada koordinat (2, 2, 3)] C = - 4 i- k, [bertitik tangkap pada koordinat (1, 3, 1)] Berapakah resultan vektor tersebut dan dimana letak titik tangkapnya ?

41. Penyelesaian. V= A + B + C = (5 - 4) i + (2 – 1) j + (2 – 1) k = i +j +k (Xi + Yj +Z k) × (i + j + k) = i(Y - Z) + j (Z - X) + k (X - Y) (Xi + Yj +Z k) × (i + j + k) = (i + 2 j +3 k) × (5 i + 2 j) + (2 i + 2 j +3 k) × (- j+ 2 k) + (i + 3j +k) × (- 4 i - k) (i + 2 j +3 k) × (5 i + 2 j) = - 6 i + 15 j – 8 k (2 i + 2 j +3 k) × (- j+ 2 k) = - 6 i + 3 j + 2 k

42. Sambungan. (i + 3j + k) × (- 4 i - k) = - 3 i - 3 j + 12 k (Y - Z) i+ (Z - X) j+ (X - Y) k= - 15 i + 15 j + 6 k Berlaku bentuk persm: Y - Z = - 15, Z - X = 15 dan X - Y = 6 Dihasilkan X = 3, Y = - 3 dan Z = 18. Dengan demikian titik tangkap resultan vektor ter-sebut menjadi, (3, - 3, 18)

43. Resultan banyak vektor dalam ruang. R = V1+ V2+ .........+ Vn R = ΣVi Jika rc letak titik tangkap resultan gaya, maka berlaku, rc x V = r1 x V1 + .............+ rn x Vn r1 ........rn koordinat letak titik tangkap masing-ma- sing gaya 9/11/2014 43

44. Berat. Berat (w) merupakan salah satu dari bentuk resul-tan gaya-gaya sejajar [arah sama (sejajar)]. Berlaku, Rx F = Σ (ri x Fi) 0 r3 w = Σmi g r1 r2 F1 F2 R koordinat tiga dimensi F3 F

45. Contoh. Di dalam ruang terdapat tiga buah vektor sebagai berikut A = 5 i + 2 j bertitik tangkap pada koordi-nat (1, 2, 3), B = - j + 2 k koordinat (2, 2, 3) dan C = - 4 i – k koordinat (1, 3, 1). Berapakah resul-tan vektornya dan dimana letak titik tangkapnya. Jawaban. R = A + B + C = i + j + k (xi + yj + zk) x (i + j + k) = (i + 2 j + 3 k) x (5 i + 2 j) + (2 i + 2 j + 3 k) x (- j + 2 k) + (i + 3 j + k) x (- 4 i - k = - 15 i + 15 j + 8 k 9/11/2014 45

46. Lanjutan. Dari hasil perkalian silang trsebut diperoleh persm, y – z = - 15, z – x = 15 dan y – x = 8 Dihasilkan nilai x = - 4 , y = 4 dan z = - 19.  Koordinat titik tangkap resultan gaya terletak pada posisi (- 4, 4, - 19) 9/11/2014 46