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第四章电路定理 (Circuit Theorems)

第四章电路定理 (Circuit Theorems). 4.1 叠加定理 ( Superposition Theorem ). 4.2 替代定理 ( Substitution Theorem ). 4.3 戴维宁定理和诺顿定理 ( Thevenin - Norton Theorem ). 4.4 特勒根定理 ( Tellegen’s Theorem ). 4.5 互易定理 ( Reciprocity Theorem ). 4.6 对偶原理 ( Dual Principle ).  重点 :.

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第四章电路定理 (Circuit Theorems)

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  1. 第四章电路定理(Circuit Theorems) 4.1 叠加定理(Superposition Theorem) 4.2 替代定理(Substitution Theorem) 4.3 戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 4.4 特勒根定理(Tellegen’s Theorem) 4.5 互易定理(Reciprocity Theorem) 4.6 对偶原理(Dual Principle)

  2.  重点: 1. 熟练掌握叠加定理、替代定理、戴维宁和诺顿定理、 特勒根定理和互易定理； 2. 了解对偶原理。

  3. 4.1 叠加定理 (Superposition Theorem) 叠加定理: 在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。

  4. i1' i3' i1 i3 i2' i2 R1 R2 R1 R2 R3 R3 + + + + ia ib us1 us1 us2 us3 – – – – i1'' i3'' i1''' i3''' i2'' i2''' R1 R2 R1 R2 R3 R3 + + us2 us3 – – 当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零值。即将电压源看作短路，而将电流源看作开路。 即如下图： = + us1单独作用 = + 三个电源共同作用 + us2单独作用 us3单独作用 +

  5. i1=i1'+i1"+i1"' i2=i2'+i2"+i2"' i3=i3'+i3"+i3"' 因此 上述以一个具体例子来说明叠加的概念，这个方法也可推广到多个电源的电路中去。 同样可以证明：线性电阻电路中任意两点间的电压等于各电源在此两点间产生的电压的代数和。 电源既可是电压源,也可是电流源。

  6. 小结 : 1.叠加定理只适用于线性电路。 电压源为零—短路。 2.一个电源作用，其余电源为零 电流源为零—开路。 3.功率不能叠加(功率是电压和电流的乘积)。 4.u, i叠加时要注意各分量的方向。 5.含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。

  7. 6 + + u 10V 4A 4 – – 6 6 + + + u' u'' 10V 4A 4 4 – – – 例1. 求图中电压u。 解: (1) 10V电压源单独作用，4A电流源开路 u'=4V (2) 4A电流源单独作用，10V电压源短路 u"= -42.4= -9.6V 共同作用：u=u'+u"= 4+(- 9.6)= - 5.6V

  8. I1 10 I1 6 + – + + 10V Us 4A 4 – – I1' I1'' 10 I1' 10 I1'' 6 6 + – + – + + + Us' Us'' 10V 4A 4 4 – – – 例2. 求电压Us。 解: (1) 10V电压源单独作用： (2) 4A电流源单独作用： Us"= -10I1"+2.44 = -10 (-1.6)+9.6=25.6V Us'= -10 I1'+4= -101+4= -6V 共同作用： Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V

  9. i '=1A 21A 8A 3A R1 R1 R1 + R2 R2 RL 13A 5A R2 us + us'=34V + – – 8V – + – + 2V 21V 2A – + – 3V 齐性定理（homogeneity property): 线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。 当激励只有一个时，则响应与激励成正比。 例3. i RL=2 R1=1  R2=1  us=51V 求电流 i 。 解: 采用倒推法：设i'=1A。 则 可加性(additivity property)。

  10. ik + + A A A uk 支 路 k ik uk – – 4. 2替代定理 (Substitution Theorem) 定理内容: 对于给定的任意一个电路，其中第k条支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的 独立电流源来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。 证明： 替代前后KCL，KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，

  11. uk ik uk + + A ik A uk 支 路 k uk – + – 支 路 k A uk uk – 其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。 又证: 证毕!

  12. 3 1 0.5 Ix Rx + – + U 10V 0.5 0.5 I – 注： 1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。 2.替代后其余支路及参数不能改变(一点等效)。 3.第k条支路中的电压或电流为受控源时，不能替代。 例. 若要使 试求Rx。

  13. U2 U1 1 0.5 1 0.5 1 0.5 I I 0.5 0.5 – + – U' + – + U U'' 0.5 0.5 0.5 0.5 解： 用替代： + = (或U=(0.1-0.075)I=0.025I U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix ) Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2

  14. R1 R3 a Rx i R2 R4 b us R5 + – 4.3戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路(通常为二端网络或称一端口网络),等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与 电阻并联支路),可大大方便我们的分析和计算。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。

  15. i a A b i 1. 几个名词 (1) 端口( port) 端口指电路引出的一对端钮，其中从一个端钮(如a)流入的电流一定等于从另一端钮(如b)流出的电流。 (2) 一端口网络 (network) (亦称二端网络) 网络与外部电路只有一对端钮(或一个端口)联接。 (3) 含源(active)与无源(passive)一端口网络 网络内部含有独立电源的一端口网络称为含源一端口网络。 网络内部不含有独立电源的一端口网络称为无源一端口网络。

  16. i i a a Ri A u u + Uoc b - b 2. 戴维宁定理: 任何一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外电路来说，可以用一个电压源(Uoc)和电阻Ri的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压，而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的端口等效电阻。

  17. i a i a Ri + + A N' + u N' u Uoc – – – b b a a Ri P + + A u'' i u' – – a b b + A u i – b 证明: (a) (b) (对a) 利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u, i值不变。计算u值。（用叠加定理） + = 电流源i为零 网络A中独立源全部置零 根据叠加定理，可得 u'=Uoc (外电路开路时a、b间开路电压) u"= -Ri i 则 u = u' + u" =Uoc-Ri i 此关系式恰与图(b)电路相同。证毕！

  18. 方法更有一般性。 1 2 3 2 3 3. 小结 ： (1) 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。 (2)串联电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的等效电阻。 等效电阻的计算方法： 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算； 加压求流法或加流求压法。 开路电压，短路电流法。 (3)外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。 (4)当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。

  19. 4 a 6 Rx I 4 c 6 d b 10V + – a I a 4 6 + U1 I – c d Ri 4 6 Rx + + U2 b Uoc – 10V – + – b 例1. (1) 计算Rx分别为1.2、5.2时的I； (2) Rx为何值时，其上获最大功率? 解： 保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路： Rx

  20. a 4 6 + + U1 – Uoc 4 6 + - U2 b – 10V + – I a a 4 6 Ri Ri Rx 4 6 + Uoc b – b (1) 求开路电压 Uoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10  6/(4+6) = -4+6=2V (2) 求等效电阻Ri (3) Rx=1.2时， I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333A Rx =5.2时， I= Uoc /(Ri + Rx) =0.2A Rx= Ri =4.8时，其上获最大功率。 Ri=4//6+6//4=4.8

  21. a 6 6I a – + + + Ri + I 3 U0 + 9V 3 3 U0 Uoc – - – – b b 6 6I a – + + + I 9V 3 Uoc – – b 含受控源电路戴维宁定理的应用 例2. 求U0 。 解： (1) 求开路电压Uoc Uoc=6I+3I Uoc=9V I=9/9=1A

  22. I0 6 6I – + a + I 3 U0 – b 6 6I a – + I1 + I Isc 9V 3 – b (2) 求等效电阻Ri 方法1：加压求电流 U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0 U0 =9  (2/3)I0=6I0 Ri = U0 /I0=6  方法2：开路电压、短路电流 (Uoc=9V) 6 I1 +3I=9 I=-6I/3=-2I I=0 Isc=I1=9/6=1.5A Ri = Uoc / Isc =9/1.5=6 

  23. a + 6 Ri 3 U0 + Uoc 9V - – b (3) 等效电路

  24. 0.5I a I a + + 1k 1k + + Ri – R 0.5k  – R 0.5k U 10V Uoc – – b b 0.5I I a I0 U 1k 1k + U0 – b 例3. (含受控源电路)用戴维宁定理求U。 解： (1) a、b开路，I=0，0.5I=0，Uoc= 10V (2)求Ri：加压求流法 U0 =(I0-0.5 I0)103+ I0103 =1500I0 Ri = U0 / I0 =1.5k

  25. a 1.5k U + + R 0.5k 10V – – b 0.5I I a 1k 1k + Isc 10V – b (3) 等效电路： U=Uoc 500/(1500+500)=2.5V 另： 开路电压Uoc 、短路电流Isc法求Ri： Ri = Uoc / Isc Uoc =10V（已求出） 求短路电流Isc (将a、b短路)： Isc = -I，(I-0.5I)103 +I103+10=0 1500I= -10I= -1/150 A 即 Isc=1/150 A  Ri = Uoc / Isc =10  150=1500 

  26. 0.5I 加流求压法求Ri I a + 1k 1k I0 U0 – b I= I0 U0 =0.5I0  103 +I0  103 =1500I0  Ri = U0 /I0=1500  解毕！

  27. a a A Isc Gi(Ri) b b 4. 诺顿定理： 任何一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。 诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。证明过程从略。

  28. a 10 a – 4 Gi(Ri) Isc I 4 2 I 24V + b b + – 12V a 10 – I1 2 Isc 24V I2 + b + – 12V 例. 求电流I 。 解： (1)求Isc I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A

  29. a 10 Ri 2 b a 1.67  4 -9.6A I b (2) 求Ri：串并联 Ri =10//2=1.67  (3) 诺顿等效电路: I = -Isc1.67/(4+1.67) =9.61.67/5.67 =2.83A 解毕！

  30. R4 R5 R4' R5' R6' R6 +– us6 R2 R3 R3' 2 4 3 3 4 1 2 1 is2 us1 R1 R1' + – N 4. 4特勒根定理(Tellegen’s Theorem) 1.具有相同拓扑结构（特征）的电路 两个电路，支路数和节点数都相同，而且对应支路与节点的联接关系也相同。 N

  31. 4 5 4 2 3 1 6 2 3 1 两个电路支路与节点联接关系相同： 假设两个电路中对应支路电压方向相同，支路电流均取和支路电压相同的参考方向(关联)。 2. 特勒根定理：

  32. + – uk + –     ik 证明： uk = un-un ， ik= i 

  33. 3. 功率平衡定理：— 特勒根定理的又一种形式 在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时功率的代数和为零，即 将特勒根定理用于同一电路中各支路电流、电压即可证得上述关系。 此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。 注意： 特勒根定理适用于一切集总参数电路。只要各支路u，i 满足KCL，KVL即可。特勒根定理不涉及支路的内容。

  34. i1 i2 a c i1 i2 c a 网络 N + + 网络 N + + u1 u1 u2 u2 – – – – d b b d (a) (b) (设a-b支路为支路1,c-d支路为支路2,其余支路为3~b)。图(a)与图(b)有相同拓扑特征，(a)中用uk、ik表示支路电压，电流， (b)中用 。则有 推论： 证明： 由特勒根定理：

  35. 即： 两式相减，得 证毕!

  36. I1 I2 R1 无源 电阻 网络 P + + + Us U1 R2 U2 – – – 例1： (1) R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V (2) R1=1.4 , R2=0.8, Us'=9V时, I1'=3A, 求U2'。 解： 利用特勒根定理 由(1)得：U1=4V,I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A

  37. I1 + + + + P P I2 U1 U2 2 – – – – 例2. U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A 解：

  38. a c c a 线性电阻网络 N 线性电阻网络 N + + uj ikj ijk uk – – d b b d (a) (b) 4. 5互易定理 (Reciprocity Theorem) 电压源激励，电流响应。 第一种形式: 给定任一仅由线性电阻构成的网络(见下图)，设支路 j 中有唯一电压源 uj，其在支路k中产生的电流为 ikj (图a)；若支路k中有唯一电压源 uk，其在支路 j 中产生的电流为ijk (图b)。

  39. a c c a 线性电阻网络 N 线性电阻网络 N + + uj ikj ijk uk – – d b b d (a) (b) 则两个支路中电压电流有如下关系： 当 uk=uj时，ikj=ijk 。

  40. (设a-b支路为支路1,c-d支路为支路2,其余支路为3~b)。图(a)与图(b)有相同拓扑特征，(a)中用uk、ik表示支路电压，电流， (b)中用 。 a c c a 线性电阻网络 N 线性电阻网络 N + + uj ikj ijk uk – – d b b d (a) (b) 证明: 用特勒根定理。 由特勒根定理：

  41. a c c a 线性电阻网络 N 线性电阻网络 N + + uj ikj ijk uk – – d b b d (a) (b) 将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即 即： 当 uk=uj时，ikj=ijk 。 证毕！

  42. + j k j k + ij ukj ujk ik j' j' – – k' k' (b) (a) 第二种形式: 电流源激励，电压响应。 在任一线性电阻网络的一对节点j，j'间接入唯一电流源ij，它在另一对节点k，k'产生电压ukj(见图a)；若改在节点k，k'间接入唯一电流源ik，它在节点j，j'间产生电压ujk(图b)，则上述电压、电流有如下关系： 当 ik=jj时，ukj=ujk 。

  43. 第三种形式: 混合型 在任一线性电阻网络的一对节点j，j‘间接入唯一电流源ij，它在另一对节点k，k’产生电流ikj(见图a)；若改在节点k，k‘间接入唯一电压源uk，它在节点j，j'间产生电压ujk(图b)，则上述电压、电流有如下关系： 当 uk=ij时，ikj=ujk 。 j k j k + + ij ikj ujk uk j' – j' – k' k' (b) (a)

  44. 4 8V 2 2 + – a b c 2 I 1 d I' I1 4 2 2 a b c + I 2 1 I2 8V – d 例： 求电流I 。 解： 利用互易定理 I1 = I'2/(4+2)=2/3A I2 = I'2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = - 2/3A 解毕！

  45. 应用互易定理时应注意： (1) 互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，两个支路电压电流关系。 (2) 激励为电压源时，响应为电流 电压与电流互易(前两种)。 激励为电流源时，响应为电压 (3) 电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个节点间。（前两种） (4) 互易要注意电源与电压(电流)的方向。 (5) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。

  46. G1 R1 R2 G2 un im + – is us 4. 6对偶原理 (Dual Principle) 1. 对偶电路： 例1. 网孔电流方程： 节点电压方程： (R1 + R2)im = us (G1 + G2 )un = is 若R1=G1，R2 =G2，us=is，im=un 则两方程完全相同，解答im=un也相同。

  47. i1 R1 R3 un1 G2 un2 + + + is1 im1 us1 im2 u1 gm u1 rm i1 G1 G3 R2 – – – (G1+G2)un1- G2un2 = is1 (R1+R2) im1-R2im2 = us1 (1) -R2im1 +(R2+R3) im2 = -rm i1 (2) -G2un1+(G2+G3) un2=-gm u1 i1 = im1 u1 =un1 例2 网孔方程： 节点方程： 若R1=G1, R2 =G2, R3 =G3, us1=is1, rm = gm ，则两个方程组相同，其解答也相同，即un1= il1，un2= il2 。 上述每例中的两个电路称为对偶电路。 将方程(1)中所有元素用其对偶元素替换得方程(2)。

  48. … us 节点 节点电压 串联 R L CCVS KCL … 网孔电流 is 网孔 并联 G C VCCS KVL 两个对偶电路N，N，如果对电路N有命题 元素替换，所得命题（或陈述）S对电路N成立。 2. 对偶元素： 3. 对偶原理： （或陈述）S成立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶 注意： 只有平面电路才可能有对偶电路。 4. 如何求一个电路的对偶电路 打点法：网孔电流对应节点电压(外网孔对应参考节点)。

  49. un1 G2 un2 + is1 G1 u1 gm u1 G1 G3 R1 R2 – G2 un im + – is us i1 R1 R3 + + us1 rm i1 R2 – im1 im2 – 例1. 例2

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