1 / 31

FUNGSI

FUNGSI. Matematika Diskrit. Definisi. Fungsi adalah : jenis khusus dari relasi Fungsi f dari X ke Y adalah relasi dari X ke Y yang mempunyai sifat : Domain dari f adalah X Jika (x,y), (x,y)’  f, maka y = y’ Notasi : f : X  Y. Definisi (Cont.). Domain dari f adalah X

sibley
Download Presentation

FUNGSI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. FUNGSI Matematika Diskrit

  2. Definisi • Fungsi adalah : jenis khusus dari relasi • Fungsi f dari X ke Y adalah relasi dari X ke Y yang mempunyai sifat : • Domain dari f adalah X • Jika (x,y), (x,y)’  f, maka y = y’ • Notasi : f : X  Y

  3. Definisi (Cont.) • Domain dari f adalah X • Tiap komponen domain mempunyai pasangan (relasi) • Jika (x,y), (x,y)’  f, maka y = y’ • Tiap komponen tidak boleh mempunyai 2 pasangan

  4. Fungsi

  5. Bukan Fungsi

  6. Contoh • f = {(1,a),(2,b),(3,a)} X = {1,2,3} Y = {a,b,c} f : X  Y  fungsi • f = {(1,a),(2,b),(3,a)} X = {1,2,3,4} Y = {a,b,c} f : X  Y  bukan fungsi • f = {(1,a),(2,b),(3,c),(1,b)} X = {1,2,3} Y = {a,b,c} f : X  Y  bukan fungsi

  7. Spesifikasi Fungsi • Himpunan pasangan terurut Fungsi adalah relasi sedangkan relasi dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut • Formula pengisian nilai (assignment) Asumsi daerah asal fungsi (domain) dan daerah hasil fungsi (range) fungsi : R maka himpunan pasangan terurut didefinisikan sebagai f = { (x1, x2) | x  R } • Kata-kata Fungsi secara eksplisit dapat dinyatakan dalam rangkaian kata-kata • Kode program Fungsi dispesifikasikan dalam bentuk kode program.

  8. Jenis Fungsi • Fungsi satu-satu (one-to-one) • Fungsi pada (onto)

  9. X Y a 1 b 2 c 3 Koresponden Satu-satu atau Injektif • Fungsi f dari X ke Y dikatakan berkoresponden satu-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika untuk setiap y  Y, terdapat paling banyak satu x  X dengan f(x) = y • Contoh : Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,a)} dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c,d}  koresponden bukan satu-satu

  10. Dipetakan pada (Onto) • Jika f adalah fungsi dari X ke Y dan daerah hasil dari f adalah Y, f dikatakan dipetakan pada (onto) Y (atau suatu fungsi pada atau suatu fungsi surjektif) • Contoh : Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,c)} dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}  koresponden satu-satu dan dipetakan pada Y X Y a 1 b 2 c 3

  11. a 1 b 2 c 3 Bijeksi (Bijection) • Sebuah fungsi yang baik satu-satu maupun pada disebut bijeksi (bijection) • Contoh : Fungsi f = {(1,a),(2,b),(3,c)} dari X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c}  bijeksi X Y

  12. Operator Biner • Operator Biner pada himpunan X menggabungkan dengan setiap pasangan terurut dari anggota di X satu anggota di X • Fungsi dari X x X ke dalam X disebut operator biner pada X • Contoh : X = {1,2,…}. Jika didefinisikan : f(x,y) = x + y Maka f merupakan operator biner pada X

  13. Operator Uner (Unary Operator) • Operator uner pada himpunan X menggabungkan dengan anggota tunggal dari X satu anggota di X • Fungsi dari X ke dalam X disebut operator uner (unary operator) pada X • Contoh : U merupakan himpunan semesta. Jika didefinisikan : maka f adalah operator uner pada (U)

  14. f(a) b a f-1(b) Fungsi Inversi • Notasi : f-1 • Jika f adalah berkoresponden satu-satu dari A ke B maka dapat menemukan balikan atau inversi (invers) dari f • Fungsi yang berkoresponden satu-satu sering dinamakan fungsi yang invertible (dapat dibalikkan) karena dapat mendefinsikan fungsi balikkannya • Fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu karena fungsi balikkannya tidak ada

  15. Contoh • Tentukan invers fungsi f(x) = x – 1 Jawaban : f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-satu jadi balikkan fungsinya ada f(x) = y  y = x -1 Sehingga : x = y + 1 Invers fungsi balikkannya adalah : f-1(y) = y + 1 • Tentukan invers fungsi f(x) = x2 + 1 Jawaban : f(x) = x2 + 1  bukan fungsi yang berkoresponden satu-satu sehingga fungsi inversinya tidak ada Sehingga f(x) = x2 + 1 adalah fungsi yang not invertible

  16. A C B f(g(a)) g(a) a g(a) f(g(a)) Komposisi (Composition) • Misalkan g adalah sebuah fungsi dari X ke Y dan f fungsi dari Y ke Z. Jika diberikan x  X • g untuk menentukan anggota unik y = g(x)  Y • f untuk menentukan anggota unik z = f(y) = f(g(x))  Z • Notasi : (f o g)(a) = f(g(a))  fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f (f o g)(a)

  17. Contoh • Fungsi g = {(1,a),(2,a),(3,c)} memetakan X = {1,2,3} ke Y = {a,b,c} dan fungsi f = {(a,y), (b,x), (c,z)} memetakan Y = { a,b,c} ke Z = { x,y,z} maka komposisi dari X ke Z adalah : f o g = {(1,y),(2,y),(3,z)}

  18. Fungsi Khusus • Fungsi Floor dan Ceiling • Fungsi Modulo • Fungsi Faktorial • Fungsi Eksponen dan Logaritmik

  19. Fungsi Floor (Batas bawah) • Batas bawah dari x adalah bilangan bulat terbesar yang kecil dari atau sama dengan x • Notasi :   • Contoh : 8.3 = 8 -8.7 = -9

  20. Fungsi Ceiling (Batas Atas) • Batas atas dari x adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x • Notasi :   • Contoh : 6 = 6 -11.3 = -11 9.1 = 10 -8 = -8

  21. Fungsi Modulu • Jika x adalah bilangan bulat tak negatif dan y adalah bilangan bulat positif, didefinisikan x mod y sebagai sisa jika x dibagi y • Contoh : • 6 mod 2 = 0 • 5 mod 1 = 0 • 8 mod 12 = 8 • 199673 mod 2 = 1

  22. Contoh 1 : 365 Hari • Hari apakah 365 hari setelah hari Rabu? • 7 hari setelah Rabu adalah Rabu lagi; 14 hari setelah Rabu adalah Rabu lagi • Secara umum jika n adalah bilangan bulat positif, setelah 7n hari adalah Rabu lagi • Jadi : 365 mod 7 = 1 • Sehingga 365 hari dari Rabu adalah 1 hari kemudian, yaitu Kamis • Ketentuan : tidak berlaku untuk tahun kabisat

  23. Contoh 2 : International Standard Book Number (ISBN) • Terdiri dari 10 karakter yang dipisahkan oleh garis • Terdiri dari 4 bagian : • Kode kelompok • Kode penerbit • Kode menerangkan secara unik buku yang diterbitkan oleh penerbit tertentu • Karakter uji • Contoh : • s = 0 + 2*8+3*0+4*6+5*5+6*0+7*9+8*5+9*9 =249 • Karakter uji = s mod 11 = 249 mod 11 = 7

  24. Contoh 3 : Fungsi Hash • Mengambil butir data untuk disimpan atau diselamatkan serta menghitung pilihan pertama untuk lokasi butir ini • Contoh : Data : 15, 558, 32, 132, 102, 5 dan 257 diletakkan ke dalam 11 sel H(n) = n mod 11 H(15) = 15 mod 11 = 4 H(32) = 32 mod 11 = 10 H(132) = 132 mod 11 = 0 H(102) = 102 mod 11 = 3 H(5) = 5 mod 11 = 5 H(257) = 257 mod 11 = 4  6  terjadi bentrokan (collision)

  25. Fungsi Hash (Cont.) • Solusi terjadi bentrokan (collision) diperlukan kebijaksanaan resolusi bentrokan (collision resolution policy) : • Mencari sel tak terpakai tertinggi berikutnya • Dalam contoh tersebut, sel 4 sudah terpakai oleh data 15 maka data 257 diletakkan di sel berikutnya yaitu 6 (karena sel 5 juga telah terpakai oleh data 5)

  26. Fungsi Faktorial • Untuk sembarang bilangan bulat tidak negatif n • Dilambangkan dengan : n! • Didefinisikan sebagai : • Contoh : 0! = 1 1! = 1 2! = 1x2 = 2x1 = 2 3! = 1x2x3 = 3x2x1 = 6 5! = 1x2x3x4x5 = 5x4x3x2x1 = 120

  27. Fungsi Eksponensial • Fungsi eksponensial berbentuk : 1 , n = 0 an = a x a x … x a, n > 0 n • Untuk kasus perpangkatan negatif : • Contoh : • 43 = 4 x 4 x 4 = 64 • 4-3 = 1/64

  28. Fungsi Logaritmik • Fungsi logaritmik berbentuk : • Contoh : • 4log 64 = 3 karena 64 = 43 •  2log 1000 = 9 karena 29 = 512 tetapi 210 = 1024

  29. Fungsi Rekursif • Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri • Fungsi rekursif disusun oleh 2 bagian : • Basis • Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. • Bagian ini menghentikan definisi rekursif (dan memberikan sebuah nilai yang terdefinisi pada fungsi rekursif) • Rekurens • Bagian yang mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri • Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis) • Misalkan f(n) = n! maka fungsi faktorial dapat dituliskan sebagai :

  30. Fungsi Rekursif (Cont.) • Perhitungan n! secara rekursif : • Basis n! = 1 jika n = 0 • Rekurens n! = n x (n-1)! Jika n > 0 • Contoh : 5! = 5 x 4! (rekurens) 4! = 4 x 3! 3! = 3 x 2! 2! = 2 x 1! 1! = 1 x 0! 0! = 1 Sehingga : 0! = 1 1! = 1 x 0! = 1 x 1 = 1 2! = 2 x 1! = 2 x 1 = 2 3! = 3 x 2! = 3 x 2 = 6 4! = 4 x 3! = 4 x 6 = 24 5! = 5 x 4! = 5 x 24 = 120 Jadi 5! = 120

  31. Contoh • Misalkan n menyatakan bilangan bulat positif dan fungsi f didefinisikan secara rekursif : Tentukan : • f(25) • f(10) Penyelesaian : • f(25) = f(25/2)+1 = f(12) + 1 = [f(12/2)+1] + 1 = f(6) + 1 + 1 = f(6) + 2 = [f(6/2)+1 ] + 2 = f(3) + 1 + 2 = f(3) + 3 = [f(3/2)+1 ] + 3 = f(1) + 1 + 3 = f(1) + 4 = 0 + 4 = 4 • f(10) = f(10/2)+1 = f(5) + 1 = [f(5/2)+1] + 1 = f(2) + 1 + 1 = f(2) + 2 = [f(2/2)+1 ] + 2 = f(1) + 1 + 2 = f(1) + 3 = 0 + 3 = 3

More Related