IGUALDAD

1. IGUALDAD Dos figuras son iguales cuando tienen sus lados y ángulos iguales y dispuestos en el mismo orden. • Igualdad por copia de ángulos Dado el polígono ABCDE 1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ = AB 2. Con centro en B’ se traza un ángulo igual al B 3. Se transporta el segmento B’C’ = BC 4. Se repite la operación con todos los vértices

2. Igualdad por coordenadas Dado el polígono ABCDE 1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y 2. Se proyectan los vértices sobre el eje X 3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y 4. Se trazan perpendiculares a X’ e Y’ 5. Se unen los vértices hallados

3. Igualdad por radiación Dado el polígono ABCDE 1. Se elige un punto O y se une con los vértices del polígono 2. Con centros en O y O’ se trazan dos circunferencias del mismo radio 3. Por copia de ángulos se trazan las rectas que parten de O’ 4. Sobre cada recta se llevan las distancias O’A’, O’B’, etc

4. Igualdad por triangulación Dado el polígono ABCDE 1. Se une un vértice con todos los demás 2. Por copia de triángulos se construyen todos los que se han formado

5. Teorema de Tales. División de un segmento en partes iguales 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales, de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento 3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado 4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3, ... de la recta s.

6. División de un segmento en partes proporcionales 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se van llevando cada uno de los segmentos CD, EF, GH e IJ 3. Se une el último punto J con el otro extremo B mediante la recta t. 4. Se trazan paralelas a t por los puntos E, G e I

7. B A s C D D r C 1 B E A A B C A s D 1 C r E B A • Producto y división entre dos segmentos 1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A Producto entre dos segmentos 2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento unidad AC y a continuación el segmento CD 3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E 4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados 1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A División entre segmentos 2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento AC y a continuación el segmento unidad CD 3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E 4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados

8. B A E 1 C A D B • Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada Dado el segmento AB 1. Sobre una recta se toma el segmento AB y a continuación el segmento unidad BC 2. Hallamos D, punto medio del segmento AC y trazamos semicircunferencia de diámetro AC 3. La perpendicular al diámetro por el punto B corta a la semicircunferencia en el punto E 4. El segmento BE es la raíz cuadrada del segmento AB

9. Media proporcional 1. Sobre una recta se trasladan los segmentos dados 2. Se traza el punto medio E del segmento AD y la semicircunferencia de radio EA 3. La perpendicular trazada por B a la recta r corta a la circunferencia en el punto F 4. El segmento BF es la media proporcional a los segmentos dados.

10. Tercera proporcional 1. Se trazan dos rectas r y s que se corten 2. A partir del punto A se lleva AB sobre r y CD sobre s 3. Con centro en A y radio AD se describe un arco 4. Por el punto E se traza la paralela a BD 5. El segmento AF es la tercera proporcional

11. Cuarta proporcional 1. Se trazan dos rectas r y s cualesquiera que se corten 2. A partir del punto A se lleva AB sobre la recta r y CD sobre la recta s 3. Sobre la recta r y a continuación del segmento AB se traslada EF 4. Por el punto F se traza la recta paralela a BD 5. El segmento DG es al cuarta proporcional

12. Potencia de un punto Potencia de un punto Eje radical Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas p = PA x PB p = MA x MB = MC x MD

13. Eje radical de dos circunferencias (I) Circunferencias secantes Se determina uniendo los dos puntos A y B de intersección de ambas circunferencias

14. Eje radical de dos circunferencias (II) Circunferencias tangentes Se determina trazando la recta tangente común a ambas circunferencias

15. Eje radical de dos circunferencias (III) Circunferencias exteriores 1. Se dibuja una circunferencia auxiliar secante con las anteriores 2. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O1 3. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O2 4. Por el punto E se traza la perpendicular al segmento O1O2

16. O 1 e O O 2 e' O 3 • Centro radical de tres circunferencias Dadas tres circunferencias 1. Se halla el eje radical e de las circunferencias de centro O1 y O2 2. Se halla el eje radical e’ de las circunferencias de centro O2 y O3 3. El centro radical O se localiza en la intersección de los ejes radicales hallados

17. SEMEJANZA Dos figuras son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. A la relación entre los segmentos proporcionales se le llama razón de semejanza. • Semejanza directa por radiación Dado el polígono ABCDE Sea la razón de semejanza 2/3 1. Se elige un punto O y se une con todos los vértices 2. La recta OA se divide en tantas partes como indique el denominador de la razón de semejanza (3) y a partir de O se toman tantas partes como indique el numerador (2) 3. A partir del punto A’ se trazan paralelas

18. Semejanza por coordenadas Dado el polígono ABCDE 1. Se dibujan dos ejes coordenados X e Y 2. Se proyectan los vértices sobre el eje X 3. Se proyectan los vértices sobre el eje Y 4. Sobre dos nuevos ejes se llevan las distancias O’C’x = 2/3(OCx), O’C’y = 2/3(OCY), ... 5. Se trazan perpendiculares a X e Y 6. Se unen los vértices hallados

19. Semejanza inversa por radiación Dado el polígono ABCDE Sea la razón de semejanza -2/3 1. Se elige un punto O y se une con todos los vértices 2. La recta OA se divide en tantas partes como indique el denominador de la razón de semejanza (3) y a partir de O se toman, en sentido contrario, tantas partes como indique el numerador (2) 3. A partir del punto A’ se trazan paralelas

20. Escala gráfica 1. Sobre una cartulina se trazan dos rectas paralelas El objeto real se mide siempre con la regla natural (E.1:1) 2. Se trasladan tantas unidades reducidas como quepan En el dibujo se mide con la escala gráfica Se hace coincidir el extremo derecho del segmento con una división entera 3. La primera división se divide en diez partes iguales (contraescala) Los decimales se observan en la contraescala gráfica 4. Se numeran todas las divisiones

21. Escala transversal 1. Sobre una recta r se construye una escala gráfica 2. Se trazan 10 rectas paralelas a r con distancias iguales entre sí 3. Se trazan perpendiculares a r por los puntos de división de la escala gráfica 4. En las contraescalas de la primera y última paralelas se unen los puntos 1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, etc Para medir, las unidades se observan en la escala gráfica, las décimas en la contraescala inferior y las centésimas en el número de la paralela

22. Triángulo universal de escalas 1. Se construye un triángulo de manera que uno de los lados quede dividido en 10 cm 2. Se une cada uno de los puntos de división con el vértice opuesto A 3. Otro de los lados se divide en diez partes y se trazan paralelas al primer lado, donde van formándose las diversas escalas 4. Por debajo de la escala natural se forman las escalas de ampliación

23. Triángulos: clasificación Clasificación según sus lados Clasificación según sus ángulos Triángulo equilátero Triángulo rectángulo Triángulo isósceles Triángulo acutángulo Triángulo escaleno Triángulo obtusángulo

24. Triángulos: rectas y puntos notables (I) Altura Mediana Es la perpendicular trazada a un lado desde el vértice opuesto Es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto Ortocentro Baricentro Punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo Punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo

25. Triángulos: rectas y puntos notables (II) Bisectriz Mediatriz Es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales Es la perpendicular trazada a un lado por su punto medio Incentro Circuncentro Punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo Punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo

26. Triángulos: rectas y puntos notables (III) Bisectrices exteriores Son las bisectrices de los ángulos exteriores El punto de intersección de las tres bisectrices interiores de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita Los puntos de intersección de las tres bisectrices exteriores de un triángulo son los centros de las circunferencias exinscritas

27. Construcción de triángulos Construir un triángulo conociendo sus tres lados Construir un triángulo equilátero conociendo la altura 1. Sobre una recta se toma uno de los lados 1. Se divide la altura en tres partes iguales 2. Con centro en C y radio CB se traza una circunferencia 2. Con centro en A y radio igual al segundo lado, se traza un arco 3. Por el punto A se traza la perpendicular a la altura AB 3. Con centro en B y radio igual al tercer lado se traza otro arco

28. Construcción de triángulos isósceles (I) Construir un triángulo isósceles conociendo los lados iguales y la altura Construir un triángulo isósceles conociendo la base y la altura 1. Sobre una recta se toma un punto A y se traza la perpendicular 1. Sobre una recta se toma la base 2. Se traza la mediatriz del segmento AB 2. A partir de A se traslada la altura 3. A partir de C se lleva la altura 3. Haciendo centro en B y radio igual al lado se traza un arco

29. Construcción de triángulos isósceles (II) Construir un triángulo isósceles conociendo la base y un ángulo adyacente Construir un triángulo isósceles conociendo la base y el ángulo opuesto 1. Sobre una recta se toma la base 1. Sobre una recta se toma la base 2. En A se transporta el ángulo dado 2. Se traza la mediatriz de AB 3. En B se transporta el ángulo dado 3. Sobre un punto C cualquiera se construye el ángulo dado 4. Por A y B se trazan paralelas al ángulo

30. Construcción de triángulos rectángulos Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un cateto Construir un triángulo rectángulo conociendo un cateto y el ángulo opuesto 1. Sobre una recta r se coloca el cateto 1. Sobre una recta r se coloca el cateto 2. Por A se traza la perpendicular a AB 2. Por A se traza la perpendicular a AB 3. Con centro en B y radio la hipotenusa se traza un arco 3. Por un punto arbitrario C se traslada el ángulo dado 4. Por B se traza la paralela al lado del ángulo

31. Cuadriláteros: clasificación Paralelogramos Trapecios Cuadrado Isósceles Rectángulo Rectángulo Rombo Escaleno Romboide Trapezoide

32. Construcción de cuadrados Construir un cuadrado conociendo el lado Construir un cuadrado conociendo la diagonal 1. Sobre una recta se dibuja el lado 1. Se dibuja la diagonal 2. Por A se dibuja la perpendicular 2. Se traza la mediatriz de AC 3. Con centro en A y radio AB se dibuja un arco 3. Se dibuja la circunferencia de diámetro AC 4. El cuarto vértice se halla trazando arcos de radio AB

33. Construcción de rectángulos Construir un rectángulo conociendo la suma de los lados y la diagonal 1. Se dibuja el segmento AE igual a la suma Construir un rectángulo conociendo un lado y la diagonal 2. Por un extremo se traza una recta a 45º 1. Se dibuja la diagonal AC 3. Con centro en A y radio la diagonal, se traza un arco 2. Se dibuja la circunferencia de diámetro AC 4. Por C se traza la perpendicular a AE 3. Con centros en A y C y radio el lado se trazan dos arcos 5. El cuarto vértice se halla trazando arcos

34. Construcción de rombos Construir un rombo conociendo el lado y una diagonal Construir un rombo conociendo un ángulo y su diagonal 1. Se construye el ángulo dado 1. Se dibuja la diagonal AC 2. Se traza la bisectriz del ángulo 2. Con centro en A y radio el lado se dibuja un arco 3. Sobre la bisectriz se traslada la diagonal 3. Con centro en C y radio el lado se dibuja otro arco 4. Por C se trazan paralelas a los lados del ángulo

35. Construcción de romboides Construir un romboide conociendo sus lados y un ángulo Construir un romboide conociendo sus lados y la altura 1. Se dibuja el ángulo dado 1. Se dibuja el lado AB 2. Sobre los lados del ángulo se transportan las dimensiones de los lados 2. Se traza la perpendicular al lado AB 3. Sobre la perpendicular se traslada la altura 3. El cuarto vértice se halla trazando dos arcos de radio igual a los lados 4. Por E se traza la paralela a AB 5. Con centros en A y B y radio el otro lado se trazan dos arcos

36. Construcción de trapecios Construir un trapecio escaleno conociendo los cuatro lados Construir un trapecio escaleno conociendo sus bases y sus diagonales 1. Se dibuja el primero de los lados AB 1. Se dibuja una de las bases AB 2. Sobre AB se traslada el lado opuesto AE 2. Al lado AB se le suma el lado opuesto 3. Con centro en E y radio igual al tercer lado se dibuja un arco 3. Con centro en A y radio una diagonal, y centro en E y radio la otra diagonal se dibujan dos arcos 4. Con centro en B y radio igual al cuarto lado se dibuja un arco 4. Por C se traza una paralela a la base AB 5. Con centro en A y C y radios EC y AE respectivamente se dibujan dos arcos 5. Con centro en B y radio EC se dibuja un arco

37. Definición y clasificación Clasificación Triángulo equilátero: 3 lados Cuadrado: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados Eneágono: 9 lados Decágono: 10 lados Definición Undecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Es el espacio limitado por una línea quebrada, cerrada y plana Pentadecágono: 15 lados Líneas notables AB: Lado h: Altura R: Radio d’: Diagonal a: Apotema p: Perímetro