Gauss’ divergensteorem Alternative former Archimedes lov

1. Gauss’ divergensteoremAlternative formerArchimedes lov

2. Gauss’DivergensteoremAlternative former - Oppsummering

3. Pascals lovHydrodynamikkTrykk som funksjon av dybden Trykk som funksjon av dybden: y p2 y2 h = y2 – y1 p1 y1 0

4. Pascals lovHydrodynamikkTrykk som funksjon av dybden Trykk som funksjon av dybden: z y p0 z0 p2 y2 h = y2 – y1 p1 p y1 z 0 0

5. OppdriftArchimedes lov Når et legeme senkes ned i en væske, vil væsken trykke nedover på oversiden av legemet og oppover på undersiden av legemet. Trykket oppover på undersiden er større enn trykket nedover på oversiden. Differensen B mellom kraften oppover på undersiden og kraften nedover på oversiden kalles for oppdriften. Erstatter legemet med et væske-element med samme volum som legemet Legeme nedsenket i en væske F1 = p1A F1 = p1A Oppdriften uavhengig av legemets tetthet h h G = mVg = VVg G = mg F2 = p2A F2 = p2A Archimedes lov: Oppdriften er lik tyngden av fortrengt væskemengde

6. Del-operatorHydrodynamikk - Archimedes’ lov Archimedes’ lov: Når et legeme senkes ned i en væske, vil oppdriften som virker på legemet (kraften fra væsken på legemet) være lik tyngden av fortrengt væskemengde. Vi tenker oss et kar med væske. Vi plasserer en z-akse vertikalt oppover med origo i bunnen av karet. La p0 være trykket på toppen av væsken, dvs p0 er lik lufttrykket over væsken. og la z0 være posisjonen (høyden til toppen av væsken), dvs høyden opp til væskeoverflaten. Trykket p i en høyde z i væsken er da gitt ved: z p0 z0 hvor  er tettheten av væsken ( betraktes som konstant i hele væsken) og g er tyngdeakselerasjonen. a) Bestem gradienten til den skalare funksjonen p. b) Benytt Gauss’ divergensteorem til å bestemme Archimedes’ lov. p z 0

7. Del-operatorHydrodynamikk - Archimedes’ lov a) Gradienten til trykket p:

8. Del-operatorHydrodynamikk - Archimedes’ lov b) Archimedes’ lov: Vi lar n1-vektor være enhetsnormalvektor inn mot en infinitesimal flate dS av legemet. Kraften fra væsken inn mot denne infinitesimale flaten vil da ha en størrelse pdS og ha retning langs n1-vektor. La n-vektor være enhetsnormalvektoren på den infinitesimale flaten dS med retning ut fra flaten dS. n-vektor er da den vektoren som inngår i Gauss’ teorem (både original og alternativ form). Oppdriften B-vektor vil nå være lik vektorsummen av alle slike infinitesimale krefter (med størrelse pdS og retning normalt inn mot legemet), dvs dobbeltintegrlatet over hele overflaten av legemet av pdS multiplisert med n1-vektor. Til beregning av dette dobbeltintegralet benytter vi den den nevnte alternative formen av Gauss’ teorem. B n

9. END