Lei de Gauss

1. Ewaldo Luiz de Mattos Mehl Universidade Federal do Paraná Departamento de Engenharia Elétrica mehl@ufpr.br Lei de Gauss

2. Lei de Gauss • Agenda • Revisão: Produto escalar • Quem foi Gauss? • Lei de Gauss – Analogia • Linhas de campo elétrico • Fluxo do campo elétrico • Simetria • Uso da Lei de Gauss para geometrias simétricas • Fio infinito

3. Revisão: Produto Escalar de dois vetores sen cos Em coordenadas cartesianas:

4. Revisão: Vetorx Escalar Emcoordenadascartesianas:

5. Carl Friedrich Gauss • Braunschweig, 30 de Abril de 1777Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855) • Príncipe dos matemáticos • Eletricidade: Lei de Gauss • Estatística: Curva de Gauss • Cálculo Numérico: Método de Gauss-Seidel • Astronomia: Lei de Gauss da gravitação • Matemática: Algoritmo de Gauss-Newton • Cálculo do : Algoritmo de Gauss–Legendre • ...

6. Lei de Gauss: Analogia Desejamos medir a “intensidade da chuva” em um dia chuvoso • Método 1: obter o volume de água de um pingo de chuva e contar o número de pingos que caírem sobre uma superfície em um determinado intervalo de tempo • Procedimento análogo à aplicação da Lei de Coulomb • Método 2: Estender um tecido seco com uma certa área e, após algum tempo na chuva, remove-lo e torcê-lo, medindo o volume de água resultante • Procedimento análogo à aplicação da Lei de Gauss • O método 1 é um procedimento “trabalhoso” ou “microscópico” • O método 2 é um procedimento “mais elegante” ou “macroscópico” • Ambos os métodos devem conduzir à MESMA RESPOSTA!

7. 1C 1C 1C Linhas de Campo Elétrico • Todas estas representações estão “corretas”, pois os vetores são apenas uma forma de representação gráfica de um fenômeno físico. • Nos desenhos seguintes vamos convencionar que uma carga elétrica de 1C dá origem a um vetor de campo elétrico.

8. 8C 16C 32C Linhas de Campo Elétrico Quantas linhas saem da esfera? 8C Þ 8 linhas 16C Þ 16 linhas 32C Þ 32 linhas Conclusão: O fluxo é proporcional à carga no interior da esfera

9. Linhas de Campo Elétrico 8C 16C 32C Quantaslinhassaemdasuperfície? 8C Þ 8 linhas 16C Þ 16 linhas 32C Þ 32 linhas Conclusão: A forma da superfície é indiferente, desde que seja FECHADA

10. 8C 16C 32C Linhas de Campo Elétrico Linhas que saem = +Linhas que entram = - 8C Þ 0 linhas 16C Þ 0 linhas 32C Þ 0 linhas Conclusão: Quando a carga envolvida pela superfície fechada é zero, o número efetivo de linhas de campo que cortam a superfície é zero!

11. Superfícies gaussianas Não!

12. Superfícies gaussianas Atenção! As superfícies gaussianas são imaginárias! Não é necessário que exista um corpo sólido com o formato da superfície!

13. Lei de Gauss: Analogia gráfica N Coulombs ÞaN linhas de campo elétrico O número de linhas do campo elétrico que saem de uma superfície fechada (gaussiana) é proporcional à carga elétrica envolvida por esta superfície S(linhas de campo E) a Carga envolvida pela superfície fechada

14. Fluxo do Campo Elétrico 1C 1C 1C • Como visto anteriormente, o número de linhas de campo é um conceito arbitrário e dependente da convenção gráfica utilizada. • É melhor portanto definir uma forma mais precisa que expresse a “quantidade” de linhas de campo elétrico que atravessa uma determinada superfície. • Esta “quantidade” é chamada de Fluxo do Campo Elétrico • Unidade: N.m2/C

15. Lei de Gauss e Fluxo do Campo Elétrico () (Fluxo do campo elétrico) proporcional a(Carga envolvida) proporcional a qenvolvida o= 8,85 x 10-12 C/N.m2 Constante de permissividade do vácuo

16. Questão no 1 Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico. Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é: +q Superfície Gaussiana #1 Superfície Gaussiana #2 maior. o mesmo. C. menor, mas não zero. D. zero. E. Não se tem informações suficientes para responder.

17. Questão no 1 Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico. Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é: +q Superfície Gaussiana #1 Superfície Gaussiana #2 maior. o mesmo. C. menor, mas não zero. D. zero. E. Não se tem informações suficientes para responder.

18. Revisão: Integral de Área Esta área ficará mais molhada!

19. Chuva Chuva dA dA Integral de Área Esta área ficará mais molhada!

20. Chuva Chuva dA dA Integral de Área Como as áreas são iguais, fica evidente que a quantidade de chuva que “molha” cada área retangular depende do ângulo entre a área e a direção de caída da chuva!

21. Chuva [C] Chuva [C] Integral de Área dA dA • Casos extremos • Vetores C e dA em 180°: máximo “molhamento” • Vetores C e dA em 90°: a chuva não molha a superfície

22. Fluxo de chuvaatravés de umaáreadA C dA  • Fluxochuva= CdA (produtoescalar de doisvetores) • |C|´|dA|´cos(q) • C.dAcos(q) • Fluxochuva= 0 paraq=90° cos(q) = 0 • Fluxochuva= -C.dAparaq=180°  cos(q) = -1 • Generalizando:Fluxochuva= C.dAcos(q) • Para -1 < cos(q) < +1

23. Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral O Fluxo do Campo Elétrico pode ser calculado através do produto do campo elétrico pela área, considerando-os como vetores: • Caso 1: Os vetores EeA são paralelos • Caso 2: Se os vetores A e E não são paralelos, o fluxo é dado pelo produto escalar dos dois vetores:

24. Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral SuperfícieGaussiana 1. Dividir a superfície em pequenos “elementos” de área A 2. Para cada elemento de área A calcular o termo: 3. Somar todos os termos calculados anteriormente: 4. Tomar o limite quando cada elemento de área é infinitesimal: 5. A somatória dos elementos infinitesimais torna-se então a integral, que é o fluxo:

25. Questão no 2 Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura. Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero? Superfície Gaussiana A Superfície Gaussiana B C. Superfície Gaussiana C D. Superfície Gaussiana D E. Ambas as superfícies C e D F. Ambas as superfícies A e B

26. Questão no 2 Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura. Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero? Superfície Gaussiana A Superfície Gaussiana B C. Superfície Gaussiana C D. Superfície Gaussiana D E. Ambas as superfícies C e D F. Ambas as superfícies A e B

27. dA Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral: anote! SuperfícieGaussiana A superfície gaussiana deve ser decomposta por um conjunto de áreas, cada qual representada por um vetor perpendicular ao elemento de área. Nos cálculos envolvendo Lei de Gauss, o vetor elemento de área sempre aponta “para fora” da superfície gaussiana. O cálculo do fluxo do campo elétrico é feito através do produto escalar em cada elemento de área:EdA = E.dAcos(q) O ‘truque’ é escolher uma superfície gaussiana conveniente, de modo que a integral de área ( ) possa ser facilmente calculada.

28. Fluxo do Campo Elétrico ()na forma integral: anote! A escolha da superfície gaussiana geralmente é o maior problema para se aplicar a Lei de Gauss! O procedimento é buscar a SIMETRIA

29. Simetriarotacional Observador Esfera semdefeitossuperficiais Eixo deRotação Simetria:Diz-se que um objeto possui simetria em relação a uma determinada operação matemática (ex.: rotação, translação, … ) se um observador não verifica mudança no objeto após a aplicação da operação. Atenção:Simetria é uma noção intuitiva!

30. Simetriarotacional Observador Esfera semdefeitossuperficiais Cilindrosem defeitos superficiais Eixo deRotação

31. Simetria de Translação Observador Tapete mágico Plano infinitoe sem defeitos

32. Simbologia para cargas uniformemente distribuídas Linear Superficial Volumétrica ELETROMAGNETISMO - WILLIAM H. HAYT JÚNIOR

33. Simbologia para cargas uniformemente distribuídas Linear Superficial Volumétrica FÍSICA – HALLIDAY, RESNICK & WALKER

34. Exemplo de usoda Lei de Gauss:Campo Elétricoproduzidopor um fiolongo com cargauniformel [C/m] dA dA r L dA Escolhe-se uma superfície gaussiana que aproveite a simetria da estrutura; no caso, um cilindro: E E rlC/m

35. E dA r Cálculo do Fluxo: • Nas “tampas” do cilindroEedAsãoperpendiculares • Então: • Nãoexistefluxo do campo elétricoatravésdas “tampas” do cilindro!

36. E & dAsão paralelos EdA= |E|´|dA| = E.dA E dA rlC/m L dA Cálculo do Fluxo:

37. A superfície cilíndrica tem uma distância constante do fio. Portanto o Campo Elétrico é constante nesta superfície E rlC/m L Cálculo do Fluxo:

38. 2pr Cálculo do Fluxo: 2pr L rlC/m r L E = constante A integral de todos os dAé a superfície lateral do cilindro: Então:

39. 2pr Cálculo do Campo Elétrico: rlC/m r L A Lei de Gauss também pode ser escrita como: A carga dentro da superfície gaussiana é: Então:

40. Discussão do resultado obtido • |E| é proporcional a 1/r • A medida que nos afastamos do fio carregado o campo elétrico fica mais fraco. • Intuitivamente correto! • O vetor E aponta no sentido radial do fio carregado • Intuitivamente correto! • A intensidade do campo elétrico é proporcional à densidade de carga no fio (rl) • Fio com maior densidade de carga = campo elétrico mais intenso • Intuitivamente correto!