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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

↔ → ┐ ( ) ∀ ∃ V ^. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS. Lógica de Primeira Ordem Ou Lógica de Predicados. SUMÁRIO. SUMÁRIO. ORIGEM SINTAXE E E SEMÂNTICA ALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM REGRAS DE FORMAÇÃO AXIOMAS

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FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

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Presentation Transcript

  1. ↔ → ┐ ( ) • ∀ ∃ V ^ FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Lógica de Primeira Ordem Ou Lógica de Predicados

  2. SUMÁRIO SUMÁRIO • ORIGEM • SINTAXE E E SEMÂNTICA • ALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM • REGRAS DE FORMAÇÃO • AXIOMAS • QUANTIFICADORES • CÁLCULO DE PREDICADOS

  3. ORIGEM • Historicamente, lógica surgiu com o filósofo grego Aristóteles (384-322 A.C.)

  4. Lógica ProposicionalxLógica de Primeira Ordem

  5. SINTAXE e SEMÂNTICA

  6. ALFABETO DE PRIMEIRA ORDEM • Constantes:ReiJoao, 2, ... • Predicados: Irmaos, >,... • Funções: Raiz, PernaEsquerdaDe,... • Variáveis: x, y, a, b,... • Conectivas: ¬, ⇒, ∧, ∨, ⇔ • Igualdade : = • Quantificadores: ∀, ∃

  7. Explicação: Modelo (LPO) • Constantes: RicardoCoracaoLeao, ReiJoao, PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao, PernaEsqDeReiJoao, Coroa; • Predicados: • Aridade=2; • Irmãos: (RicardoCoracaoLeao, ReiJoao), (ReiJoao, RicardoCoracaoLeao); • NaCabeca: (Coroa, ReiJoao); • Aridade=1 (propriedades); • Pessoa: (RicardoCoracaoLeao), (ReiJoao); • Rei: (ReiJoao); • ECoroa: (Coroa); Na matemática a aridade de uma função ou operação é o número de argumentos ou operandos tomados.

  8. Explicação: Modelo (LPO) • Funções: • PernaEsqDe: (RicardoCoracaoLeao,PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao), (ReiJoao,PernaEsqDeReiJoao), (PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao,INV), (PernaEsqDeReiJoao,INV), (Coroa,INV); INV é uma perna “invisível”! Funções em LPO são totais, e estão definidas para todos os objetos:

  9. QUANTIFICADORES • Quantificador Universal (∀): “Para todo...” ∀x P, onde P é qualquer expressão lógica. Exemplo: ∀x Rei(x) ⇒ Pessoa(x) • Quantificador Existencial (∃): “Para algum...” ∃x P Exemplo: ∃x Rei(x)

  10. ALGUMAS REGRAS DE FORMAÇÃO • Qualquer constante é um termo (variáveis livres). • Qualquer variável é um termo (cuja única variável livre é ela mesma). • Toda expressão f (t1,…, tn) de n ≥ 1 argumentos (onde cada argumento ti é um termo e f é um símbolo de função de aridaden) é um termo. Suas variáveis livres são as variáveis livres de cada um dos termos ti.

  11. AXIOMAS • Os axiomas considerados aqui são os axiomas lógicos que fazem parte do cálculo de predicados. Além disso, os axiomas não-lógicos são adicionados em teorias de primeira ordem específicas: estes não são considerados como verdades da lógica, mas como verdades da teoria particular sob consideração.

  12. Três dos axiomas lógicos que caracterizam a lógica de primeira ordem: • (A1) • (A2) • (A3) • (A4)

  13. CÁLCULO DE PREDICADOS • O cálculo de predicado é uma extensão da lógica proposicional que define quais sentenças da lógica de primeira ordem são demonstráveis. É um sistema formal usado para descrever as teorias matemáticas.

  14. Exercícios 1 • Todos os As são Bs: • Nenhum A é B: • Alguns As são Bs: • Alguns As não são Bs: • Somente os As são Bs: • Nem todos os As são Bs • Todos os As não são Bs

  15. Exercícios 1 : Respostas • Todos os As são Bs: ∀x A(x) ⇒ B(x) • Nenhum A é B: ¬∃x A(x) ∧ B(x) • Alguns As são Bs: ∃x A(x) ∧ B(x) • Alguns As não são Bs: ∃x A(x) ∧ ¬B(x) • Somente os As são Bs: ∀x B(x) ⇒ A(x) • Nem todos os As são Bs • – Alguns As não são Bs: ∃x A(x) ∧ ¬B(x) • Todos os As não são Bs • – Nenhum A é B: ¬∃x A(x) ∧ B(x)

  16. Exercícios 2 • Todas as pessoas gostam de outra pessoa • Existe uma pessoa de quem todas as outras pessoas gostam • O João frequenta a cadeira de IA ou PE (pode frequentar as duas) • O Rui frequenta ou a cadeira de IA ou PE (somente uma das duas) • A Ana tem no máximo uma irmã • A Ana tem exatamente uma irmã • A Ana tem pelo menos duas irmãs

  17. Exercícios 2: Respostas • Todas as pessoas gostam de outra pessoa • – ∀x Pessoa(x) ⇒ ∃y Pessoa(y) ∧ Gosta(x,y) ∧ ¬(x=y) • Existe uma pessoa de quem todas as outras pessoas gostam • – ∃x Pessoa(x) ∧ ∀y Pessoa(y) ∧ ¬(x=y) ⇒ Gosta(y,x) • O João frequenta a cadeira de IA ou PE (pode frequentar as duas) • – Frequenta(João,IA) ∨ Frequenta(João,PE) • O Rui frequenta ou a cadeira de IA ou PE (somente uma das duas) • – Frequenta(Rui,IA) ⇔ ¬Frequenta(Rui,PE)

  18. COMPONENTES • JUCIELE SACRAMENTO FREITAS • VÍVIAN MARIA NUNES DOS SANTOS • JHONE SESTO DAMICO

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