FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD

1. Unidad 2 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD OBJETIVO DE LA UNIDAD 2El estudiante aplicará los fundamentos de la teoría de la Probabilidad en el cálculo de probabilidades de diferentes tipos de sucesos. EXPERIMENTO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS TEMA Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

2. TEMAS DE LA UNIDAD 2 • IMPORTANCIA DE LA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA • CONCEPTO DE PROBABILIDAD (TRES ENFOQUES) • EXPERIMENTO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS • TEORÍA DE CONJUNTOS • TÉCNICAS DE CONTEO • AXIOMAS Y TEOREMAS DE PROBABILIDAD • ESPACIO FINITO EQUIPROBABLE • PROBABILIDAD CONDICIONAL • INDEPENDENCIA • TEOREMA DE BAYES Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

3. EXPERIMENTO ES CUALQUIER PROCESO O ACTIVIDAD QUE GENERE RESULTADOS. EXPERIMENTO ALEATORIO ES AQUEL QUE PROPORCIONA DIFERENTES RESULTADOS AUN CUANDO SE REPITA DE LA MISMA MANERA. (Analice los 5 ejemplos posteriores) Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

4. EJEMPLOS DE EXPERIMENTO • Lanzar una moneda. • Lanzar un dado. • Lanzar tres monedas simultáneamente. • Registrar el sexo de la siguiente persona que nazca en la clínica de esta ciudad. • Lanzar una moneda. Si cae águila, se lanza un dado; en caso contrario, se lanza nuevamente la moneda. Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

5. EL ESPACIO MUESTRAL ES UN CONJUNTO FORMADO POR TODOS LOS POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO. • A cada elemento del espacio muestral se conoce como punto muestral (elemento o miembro del espacio muestral). • Notación. El espacio muestral de un experimento se denota por medio de la letra S. En algunas referencias se usa la letra griega mayúscula omega, , para representar el espacio muestral. Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

6. EJEMPLOS DE ESPACIO MUESTRAL • Cuando se lanza una moneda puede caer “águila”(a) o “sol”(s). Así, S = {a, s}. • Al lanzar un dado, puede caer cualquiera de sus seis caras con 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos. En este caso, S={1,2,3,4,5,6}. • Si se lanzan tres monedas al mismo tiempo puede ocurrir cualquiera de 8 resultados posibles. Así que, S={aaa, sss, ass, ssa, sas, saa, aas, asa}. • Al registrarse el sexo de la siguiente persona que nace puede ocurrir hombre (h) o mujer (m). El espacio muestral es S={h, m}. Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

7. EJEMPLOS DE ESPACIO MUESTRAL • En el Ejemplo 5 de experimento, si en el primer lanzamiento cae sol, entonces se lanza otra vez la moneda, dando lugar a las siguientes posibilidades, ss, sa; pero si en el primer lanzamiento ocurre águila, se lanza un dado, dando lugar a los puntos muestrales a1, a2, a3, a4, a5, a6. Entonces el espacio muestral es S={ss, sa, a1, a2, a3, a4, a5, a6} Observe que en este Ejemplo de espacio muestral, cada elemento es un par ordenado; en el Ejemplo 3, una terna ordenada. En general, un punto muestral puede consistir de un k-tuple ordenado. Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

8. A veces, los espacios muestrales tienen un número grande o infinito de elementos. En este caso es mejor usar una regla o descripción antes que enumerar(*) sus elementos. Si los resultados posibles de un experimento son el conjunto de individuos en el mundo con más de 1.60 m de estatura que asisten a una universidad, el espacio muestral se escribe así: S = {x|x es un terrícola con más de 1.60 m de estatura que asiste a una universidad} (*) Como ocurre con los conjuntos Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

9. Un evento es un subconjunto del espacio muestral • Al lanzar una moneda, vimos que S = {a, s}. Entonces el evento A de que caiga “sol” es el subconjunto A = {s}. Se cumple que A  S. • Al lanzar un dado, puede definirse el evento B de que ocurra una cara con número par. En este caso, B={2,4,6}. Observemos que B es un subconjunto de S, B  S. ACTIVIDAD PARA EL ESTUDIANTE. Para los Ejemplos 3, 4 y 5 de espacio muestral, defina algún evento, basándose en los dos anteriores. Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

10. IMPORTANTE • En casos extremos, un evento puede ser: • Un subconjunto que incluya todo el espacio muestral. • Un conjunto que no contenga elementos (llamado el evento nulo, que se representa con ). • Puesto que los eventos son subconjuntos, son aplicables a ellos todas las operaciones y resultados de la teoría de conjuntos. Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

11. ACTIVIDAD PARA EL ESTUDIANTE 1. Un experimento consiste en registrar la fecha de cumpleaños de la siguiente persona que pase por el pasillo* 1.a) Escriba el espacio muestral 1.b) Defina un posible evento. 1.c) Imagine un experimento y descríbalo, defina el espacio muestral así como posibles eventos respecto al mismo experimento. 2. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA. ¿Es posible definir más de un espacio muestral sobre un experimento?. Explique ampliamente o ejemplifique. *Este ejemplo es parecido al descrito en las notas de Técnicas de Conteo Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)

12. MÁS CONCEPTOS SOBRE EVENTOS • Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si uno de ellos y sólo uno puede tener lugar cuando se ejecuta (una vez) el experimento. • (En otros términos: “Dos eventos E1 y E2, tales que E1E2=, se dice que son mutuamente excluyentes”) • Se dice que una colección de eventos E1, E2, …, Ek, es mutuamente excluyente si Ei  Ej = , donde las ij toman valores desde 1 hasta k. • (Es decir todos los pares de eventos deben ser mutuamente excluyentes para que la colección entera también lo sea) • Se dice que una colección de eventosE1, E2, …, Ek, es exhaustiva si E1E2 …Ek=S. *ACLARACIÓN. Estas últimas tres definiciones serán de gran utilidad para enunciar el teorema de probabilidad total previo al teorema de Bayes que veremos posteriormente Unidad 2: Fundamentos de Probabilidad Arturo A. Alvarado Segura (ITSY 2006)