A. Krapež: Jednačine, grafovi i računari – jedan primer

1. A. Krapež:Jednačine, grafovi i računari – jedan primer Kolarac, 4.12.2008.

2. Šta su jednačine?

3. Primer: • Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica?

4. Primer: • Pre 2 godine Perica je bio 3 puta stariji od Milice. Zbir Pericinih i Milicinih godina je 4 puta veći od njihove razlike. Koliko su stari Perica i Milica? • P - 2 = 3 * (M - 3) • P + M = 4 * (P - M)

5. Rešenje: • P = 5 • M = 3 • Perica ima 5 a Milica 3 godine.

6. Problem: • Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Za 3 godine Dejan će biti 5 puta stariji od Jovana. Koliko su stari Dejan i Jovan?

7. Problem: • Dejan je 4 godine stariji od Jovana. Za 3 godine Dejan će biti 5 puta stariji od Jovana. Koliko su stari Dejan i Jovan? • D = J + 4 • D + 3 = 5 * (J + 3)

8. Rešenje? • D = 2 • J = -2 • Rešenje sistema jednačina nije rešenje problema zbog “nevidljive” pretpostavke J > -1 .

9. Rešenje: • Osobe Dejan i Jovan takvi da zadovoljavaju uslove postavljenog problema ne postoje.

10. Elementi koji određuju pojam jednačine: • Jezik na kome je jednačina formulisana • Oblast važenja • Skup rešenja

11. Šta su funkcionalne jednačine?

12. Primer: • Košijeva jednačina: f(x + y) = f(x) + f(y) f – neprekidna realna funkcija

13. Rešenje: • f(x) = p * x (p – realan parametar) • Formulom je dato opšte rešenje.

14. Primer: • Peksiderova jednačina: f(x + y) = g(x) + h(y) f, g, h – neprekidne realne funkcije

15. Formule opšteg rešenja: • f(x) = p * x + a + b • g(x) = p * x + b • h(x) = p * x + a p, a , b – realni parametri

16. Šta su grafovi?

17. Elementi koji određuju pojam grafa: • Čvorovi • Grane • Incidencije

18. Primeri: Dipol K3 Dipol K2 = D1 D3 “Dumbbell”

19. Primeri: K5 K4 K1 K3,3

20. Definicija Graf je planaran ako se može potopiti u euklidsku ravan tako da se grane seku samo u čvorovima. • Teorema Kuratovskog: Graf je planaran ako se u njega ne mogu upisati grafovi K5 i K3,3 .

21. Primene: • Problem kenigsberških mostova • Problem putujućeg trgovca • Tokovi • Vodovodna mreža • Internet • Tokovi novca • “Južni tok”

22. Šta su kvazigrupe?

23. Grupe • Grupe simetrija Rubikova kocka • Automorfizmi struktura • Rešivost linearnih jednačina: a * y = c , x * b = c y = a-1* c , x = c * b-1

24. Kvazigrupe • Jednoznačna rešivost linearnih jednačina: a * y = c , x * b = c y = a \ c , x = c / b levo deljenje desno deljenje

25. Kvazigrupe • Grupa = kvazigrupa + asocijativnost x * (y * z) = (x * y) * z • Komutativna grupa = grupa + komutativnost x * y = y * x

26. Važne kvazigrupe: kvazigrupe “linearne” nad grupama x . y = f-1(g(x) + h(y))

27. Teorema (Aczel, Belousov, Hoszu). Kvazigrupe A, B, C, D vezane uopštenom jednačinom asocijativnosti: A(B(x, y), z) = C(x, D(y, z)) su sve linearne nad istom grupom.

28. Kvazigrupe • Relativističko slaganje brzina • Kodovi koji otkrivaju (popravljaju) greške • Geometrijske rešetke • Latinski kvadrati • Dizajn eksperimenata

29. Geometrijske rešetke 2 1 0 1 2 0

30. Teorija Save Krstića • Veza uopštenuh kvadratnih funkcionalnih jednačina na kvazigrupama i konačnih povezanih kubnih grafova

31. 1. primer • Jednačina uopštene asocijativnosti: A(B(x, y), z) = C(x, D(y,z)) Krstićev graf jednačine: A B x y z D C

32. 1. primer • To je graf K4 A B D C

33. 2. primer • Jednačina uopštene tranzitivnosti: A(B(x, y), C(y, z)) = D(x, z) Krstićev graf jednačine: A B C x y z D

34. Teorema. Sličnim jednačinama odgovaraju slični grafovi.

35. Teorema. Operacije u jednačini su linearno povezane ako u Krstićevom grafu postoje 3 disjunktna puta između njih. Klasa povezanih operacija je linearna nad istom grupom akko ih ima >2 u klasi akko se K4uklapa u taj deo Krstićevog grafa. Klasa povezanih operacija je linearna nad istom komutativnom grupom akko taj deo grafa nije planaran akko se u njega uklapa graf K3,3 .

36. Svojstvima geometrijskih rešetaka odgovaraju konfiguracije. • Konfiguracijama odgovaraju jednačine nad koordinatnim kvazigrupama. • Ako su ove jednačine kvadratne, umemo da ih rešimo i sledi da skoro uvek imaju za posledicu linearnost nad grupom koja je često komutativna.

37. Tabela

38. Graf jednačine sa 1 promenljivom x = x

39. Grafovi jednačina sa 2 promenljive A(x, x) = B(y, y) A(x,y) = B(x,y) D3

40. Grafovi jednačina sa 3 promenljive

41. Grafovi jednačina sa 3 promenljive