Statistique et probabilité Série n° 1

1. Statistique et probabilitéSérie n° 1 Mr : OUIA AZIZ 2008/2009

2. Exercice 1 : Calculer : C25 C35 C45 En déduire : C46 En déduire : (a + b)5 C25 = 5!/(2!*3!)=10 C35 = 5!/(3!*2!)=10 C45 = 5  C46 = C35+ C45 = 10+5 = 15 (a+b)5=C55a5+C45a4b+C35a3b²+C²5a²b3+C15ab4+C05b5 = a5+5a4b+10a3b²+10a²b3+5ab4+b5

3. Exercice 2 : Soit une classe de 20 étudiants. Combien d’équipes de 4 étudiants peut-on former à partir de cette classe. A420 =20*19*17*16=116280

4. Exercice 3 : On dispose d’une urne qui contient 10 boules dont 6 sont rouges et 4 sont blanches. • Combien peut-on former de groupes différents de 4 boules ? • Combien parmi ces groupes, contiennent 4 boules blanches ? • Combien parmi ces groupes, contiennent au moins 1 boule blanches ?

5. 1. C410 = 210 2. C44 = 1 3. C14*C36+ C²4*C²6+ C34C16+C44 =19 Il y a C46=15 échantillons qui contiennent des boules rouges donc, le nombre d’échantillons est égal à C410- C46 =210-15=195

6. Exercice : On dispose d’une urne qui contient 10 boules dont 6 sont blanches et 4 sont rouges. • Combien peut-on former de groupes différents de 4 boules ? • Combien parmi ces groupes, contiennent 4 boules rouges ? • Combien parmi ces groupes, contiennent au moins 1 boule blanches ?

7. 1. C410 = 210 2. C44 = 1 3. C16*C34+ C²6*C²4+ C36C14+C46 =209. Il y a C44 =1 échantillon qui contient des boules rouges donc, le nombre d’échantillons est égal à C410-C44 =210-1=209

8. Exercice 4 : combien de signaux différents peut-on former, chaque signal étant constitué de 10 fanions alignés verticalement, dont 5 sont rouges, 3 sont jaunes et deux sont vertes ?

9. Exercice 5 : dans une étude d’évaluation d’acquis par les étudiants, il est requis par l’étudiant de répondre à un examen de 8 questions. Les étudiants doivent répondre par « Vrai » ou « Faux ». Toutes les réponses d’un étudiant quelconque sont considérées comme une possibilité. Combien de possibilités différentes sont possibles ?

10. Exercice 6 : dans une banque, on veut former une équipe de 2 cadres supérieurs et 4 cadres moyens pour s’occuper d’une nouvelle agence bancaire. L’équipe sera constituée à partir d’un effectif de banquiers de 10 cadres supérieur et 14 cadres moyens. De combien de façons différentes peut-on constituer cette équipe ?

11. Exercice 7 : Dans une boite il y a 12 pièces qui sont bonnes et 8 qui sont défectueuses. De combien de manières peut-on former un échantillon comprenant 4 pièces bonnes et 3 pièces défectueuses ? C412*C38=27720

12. Exercice 8 : 9 élèves sont nouvellement inscrits dans un collège. Comment peut-on les répartir dans les cas suivants : S’ils doivent être placés chacun dans une classe différente? S’ils sont classés 3 à 3 dans 3 classes différentes? S’il y a 4 classes, deux recevant 3 élèves, 1 recevant 2 élèves et une classe recevant 1 seul élève? 1) 9!=362880 2) 9!/(3!*3!*3!) =1680 3) 9!/(3!*3!*2!*1!)=5040

13. Exercice 9 : Dans une entreprise, une machine non réglée produit 14 pièces par jour dont 8 sont bonnes et 6 sont défectueuses. A partir d’une production journalière de cette machine, on choisit au hasard des échantillons de 4 pièces. Combien d’échantillons différents peut-on former ? Combien d’échantillons constitués de 3 pièces bonnes et 3 pièces bonnes seulement peut-on former ?

14. 1) C414=1001 2) Les échantillons doivent être constitués de 3 pièces bonnes et 1 pièce défectueuse. C38*C16=56*6=336

15. Exercice 10 : On dispose de 6 photocopies d’un même baccalauréats et 8 chemises d’une même couleur où elles peuvent être placées. Calculer : Le nombre de manières de placer les 6 photocopies dans les 8 chemises. Le nombre de manières de placer les 6 photocopies dans les 8 chemises sans qu’il y en ait 2 dans la même chemise.

16. 1)On peut remplacer les chemises par des papiers cartonnées simples. Il y aura 7 papiers cartonnés simples. Les deux derniers papiers cartonnés ne sont pas comptés. Le nombre de permutations possible des 6 et des 7 papiers cartonnés est une permutation avec répétition 13!/(6!*7!)=1716 2) La première photo à 8 places possibles et la deuxième on a 7 possibilités et les photocopies sont les mêmes donc il n y aura pas d’ordre ( l’ordre est indifférent). on va avoir A68/6!=C68=28

17. Exercice 11 : Dans une course de voiture, 20 marques de voitures se disputent les 3 premières places. Combien y a-t-il de possibilités : Au total ? Dans lesquelles les 3 voitures soient dans l’ordre ? Dans lesquelles, elles sont soit dans l’ordre soit dans le désordre ? Dans lesquelles, elles sont dans le désordre ?

18. 1) Il y a l’ordre car une voiture gagnante ne peut pas être en même temps dans les 3 classements. A320=20*19*18=6840 2) On va avoir l’ordre et donc un seul classement =1 3) On va avoir l’ordre et le désordre donc : 3!=3*2*1=6 On va avoir uniquement le désordre donc : 6-1=5

19. Exercice 12 : Soient les chiffres suivants : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. Combien peut-on former de nombres de deux chiffres. A29= 9*8=72

20. Exercice 13 : Sur 26 personnes interrogées, 12 personnes ont une petite voiture, 10 personnes ont une grande voiture et 4 personnes ont les deux tailles de voitures. De combien de façons peu-on choisir 6 personnes parmi les 26 si : Chacune des 6 personnes a au moins une voiture ? 4 d’entre elles ont une petite voiture et les deux autres ont une grande voiture. Chacune d’entre elle n’a qu’une seule voiture ? 4 d’entre elles ont au moins une petite voiture ?

21. 1- (4 personnes ont deux voitures) donc, il reste (12+10-4)=18 personnes qui ont au moins une voiture donc : C618=18!/6!*12!= 18564 2- Les 4 premières personnes sont prises à partir de 8 personnes qui n’ont qu’une petite voiture. Le reste (2 personnes) sont prises à partir des 6 personnes qui n’ont qu’une grande voiture. Donc on aura C48*C²6=70*15 =1050

22. 3- On peut avoir : 4 personnes qui ont une petite voiture ou 5 personnes qui ont une petite voiture ou 6 personnes qui ont une petite voiture donc on aura : C412*C²14+C512*C114+C612=991485

23. Exercice 14 : Dans une entreprise travaille 30 personnes dont 20 hommes et 10 femmes. Le directeur technique veut former des équipes de 6 personnes avec au moins deux hommes et deux femmes. Déterminer le nombre de groupes que l’on peut choisir dans les cas suivants : Chaque personne peut être membre de cette équipe. 4 hommes et deux femmes n’acceptent pas d’être membre de cette équipe.

24. 1- Nous pouvons avoir les scénarios suivants : {(2H et 4F) ; (3H et 3F) ; (4H et 2 F)} C²20*C410+C320*C310+C420C²10= = 39900+136800+ 218025 =394725 2- Il ne reste que (20-4)=16 hommes et (10-2)= 8 femmes C²16*C48+C316*C38+C416C²8 =8400+ 31360+50960 =90720.

25. Exercice 15 : Soient A et B deux événements associés à une certaine expérience aléatoire tel que P(A)=0,3, P(AB)=0,7 et P(B)=p. • Déterminer p si A et B sont incompatibles. • Déterminer p si A et B sont indépendants. • Déterminer p si A et B ne sont pas incompatible, ni indépendants. De plus p(AB’)=0,2.