Hands on Mathematik Stetigkeit & Differenzierbarkeit

1. Hands on MathematikStetigkeit & Differenzierbarkeit Björn Gehl & Hideo Sato

2. Übersicht • Stetigkeit • Differenzierbarkeit • Zusammenhang: Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit • Zusammenhang: Stetigkeit impliziert nicht Differenzierbarkeit • Verständnisprobleme

3. Definition Stetigkeit Intuition: Graph zeichen, ohne abzusetzen Sei I  IR ein Intervall und f : I  IR eine Funktion. Dann heißt f stetig im Punkt xn I, wenn für jede konvergente Folge (xn) n IN mit xn I für alle n und lim xn = xn gilt: lim f(xn) = f(x0) Ist die Funktion f in jedem Punkt von I stetig, so heißt die Funktion f stetig auf I.

4. Differenzierbarkeit • Intuition: Graph enthält keine “Knicke” • f(x)= x2 :

5. Definition Differenzierbarkeit • Sei J die Menge aller Punkte des Intervalls (x-a, x+a) ungleich x mit x,a  IR. • f heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn es c  IR mit folgender Eigenschaft gibt: Für jede Folge (x1, x2, ...) reeller Zahlen x  J, die gegen x konvergiert:

6. Beispiel: Differenzierbar (1) x2 sin(1/x) wenn x0 0 wenn x=0 f= f oszilliert nahe der 0 stark jedoch f ist differenzierbar. -0,5 < x < 0.5 -0,02 < x < 0.02

7. Beispiel Differenzierbar (2) Bew.: x 0, f '(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x). (Produkt- und der Kettenregel) x = 0 Sei (xn) eine Folge reeller Zahlen xn 0, die gegen 0 konvergiert. Dann ist (f (xn) - f (0))/(xn - 0) = xn sin(1/xn). Da der Sinus-Anteil immer zwischen -1 und 1 beschränkt bleibt, konvergiert bei dieser Folge der Differenzenquotienten gegen 0, bei bel. gewählter Folge (xn) f überall differenzierbar.

8. Beweis: Diffbarkeit impliziert Stetigkeit Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit: Satz: Wenn f in a differenzierbar ist, so ist f auch in a stetig. Beweis: = f’(a) * 0 = 0 man sieht:  f ist in a stetig.

9. Stetigkeit impliziert nicht Differenzierbarkeit • Intuition: Graph zeichnen, ohne abzusetzen, Graph enthält jedoch “Knicke”.

10. Beispiel: stetig und nicht differenzierbar (1) g(x) = Sägezahnfunktion Im Intervall -1 < x < 1 wird g definiert durch f(x)  =  1 - |x| Außerhalb wird fperiodisch fortgesetzt. f ist überall stetig. Der Graph besitzt an allen ganzzahligen Vielfachen die “Knicke“. An diesen Stellen ist g nicht differenzierbar.

11. Beispiel: stetig und nicht differenzierbar (2) f=

12. Beweis: stetig und nicht differenzierbar f= ist in 0 stetig. Sie ist aber nicht differenzierbar, denn es gilt für n  0 hat in 0 keinen Grenzwert.  f ist nicht differenzierbar Obwohl nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist, ist jede differenzierbare Funktion stetig.

13. Verständnisprobleme (1) • Bis ins 19. Jahrhundert glaubte man: Stetigkeit impliziert Differenzierbarkeit. • Anschauung: eine stetige Funktion besitzt überall eine Tangente • Auflösung des Problems: “scharfe” Definition von Stetigkeit und Differenzierbarkeit ermöglicht Beweis

14. Verständnisprobleme (2) • Intuitive Vorstellung von Stetigkeit reicht nicht um den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit zu verstehen • => Verstehen der jeweiligen Definitionen und deren Zusammenhang mit Beispielen und Gegenbeispielen, Beweisen und Gegenbeweisen