Einführung in die Netzplantechnik

1. Projektmanagement 4.Klasse HTL 2007/2008 Einführung in die Netzplantechnik Sebastian Hiller - Stefan Kugler – Erwin Rybin Seminar „Anwendungen der Mathematik für LAK“ von Prof. Dorninger, TU Wien

2. Inhalt • Mathematische Grundlagen • Modelle der Netzplantechnik • Lösungsverfahren • Projektarbeit • Recherche zu vorhandenen Programmen & zu Algorithmen • Programmierung von Oberfläche & Lösungsalgorithmen • Verbreitung & Vermarktung

3. Mathematische Grundlagen • Modelle der Netzplantechnik • Netzwerkmodelle • Zeit & Terminplanung • Kostenplanung • Kapazitätsplanung • Lösungsverfahren • Zeit & Terminplanung • Kostenplanung • Kapazitätsplanung

4. Netzwerkmodelle • Ziele der Netzplantechnik: • Projektplanung • Projektsteuerung • Projektüberwachung • Ev. Projektoptimierung • Ein Projekt setzt sich zusammen aus: • Arbeitsvorgänge • Anordnungsbeziehungen • Ev. Kosten, Ressourcen

5. Netzwerkmodelle • Beschreibung der Beziehungen durch „gerichtete Graphen“ • Vorgangspfeilnetzplan • Ereignisknotennetzplan • Vorgangsknotennetzplan • Entscheidungsnetzplan • Experten-Rallye: • Ausarbeitung und Wissensweitergabe der Arbeitsblätter NPT1a - NPT1d • 4 Gruppen zu 5 Schülern, 2-3h

6. Zusammenfassung Experten-Rallye Netzwerkmodelle I • Vorgangspfeilnetze • Den Vorgängen werden Pfeile eines Graphen zugeordnet • Anfangs- und Endpunkte stehen für alle möglichen Ereignisse im Projekt • Festlegen von Beziehungen • Vorgänger-Nachfolger • Ende-Start / Start-Start / Ende-Ende / Start/Ende • Ev. Scheinvorgänge (fiktiv)

7. Zusammenfassung Experten-Rallye Netzwerkmodelle II • Ereignisknotennetzplan • Schwerpunkt auf zeitbezogenen Ereignisse • veranschaulicht keine Vorgänge sondern Meilensteine • Z.B. Anfangs- oder Endzeitpunkte • zeitlichen Abhängigkeiten der Ereignisse werden durch Pfeile berücksichtigt • Voraussetzung für PERT • nichtdeterministische Modellierung.

8. Zusammenfassung Experten-Rallye Netzwerkmodelle III • Vorgangsknotennetzplan • Ereignisse werden als (meist rechteckige) Vorgangsknoten dargestellt • Wichtige Zeitangaben finden sich in den Knoten • Logische Abhängigkeiten durch Verbindungspfeile • Die Pfeile werden bewertet, z.B. durch Mindestabstände von Ereignissen

9. Zusammenfassung Experten-Rallye Netzwerkmodelle IV • Entscheidungsnetzplan • Anwendung bei Projekten, bei denen während der Ausführung zwischen mehreren Möglichkeiten entschieden werden kann • Entscheidungsknoten im Netzplan • Entscheidungsbäume • sind die Wahrscheinlichkeiten für den Eintritt bekannt, können komplexe Wahrscheinlichkeiten für den Projektverlauf berechnet werden.

10. Zusammenfassung Experten-Rallye Netzwerkmodelle V • Entscheidungsnetzplan • Nachteile • sehr komplexen Erstellung • noch komplexere Berechnungsmethoden • Vorteile: • Berücksichtigung von Alternativen • hohe Flexibilität • konsistente Projektplanungen mit allen Abhängigkeiten • hohe Transparenz.

11. Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle • Projektablauf & Zeitvorgaben der Vorgänge festgelegt • Gesucht sind: • Kürzeste Gesamtprojektdauer • Frühest- & spätestmögliche Anfangs- & Endzeitpunkte • Pufferzeiten • Kritische Vorgänge • Methoden: CPM, MPM

12. Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle II • Critical Path Method (CPM) • Ausgangspunkt: Vorgangspfeilnetz • Mit Ende-Start-Beziehung! • Bewertung der Pfeile mit Zeitdauer • Scheinvorgänge mit Dauer Null • Z.B. bei Start-Start-Vorgängen • Nachteil: keine zeitlichen Maximalabstände zwischen aufeinanderfolgenden Vorgängen • Skizze auf Tafel!

13. Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle III • Matra-Potential-Methode (MPM) • Ausgangspunkt: Vorgangsknotennetz • Basierend auf Start-Start-Beziehungen • Die Verbindungen können • Positiv & negativ bewertet werden • Zyklen (Schleifen) enthalten • Skizze auf Tafel! • Übung: Skizziert die letzte Stunde erstellten Sprachreisenetze als CPM und MPM-Modell

14. Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle IV • CPM: Vorgang zwischen Knoten i,j: • FAZij : Frühester Anfangszeitpunkt eines Vorgangs Vij = FZi • FEZij: Frühester Endzeitpunkt eines Vorgangs Vij = FAZij + Dij (Dauer Vij) • SEZij: Spätester Endzeitpunkt eines Vorgangs Vij = SZj(unter Einhaltung des Projektendtermins) • SAZij: Spätester Anfangszeitpunkt eines Vorgangs Vij = SEZij − Dij(unter Einhaltung des Projektendtermins)

15. Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle V • MPM: Vorgang i: (warum?) • Frühestmögliche Anfangszeitpunkte • FAZi • Frühestmögliche Endzeitpunkte • FEZi =FAZi + Di • Spätestmögliche Anfangszeitpunkte • SAZi • Spätestmögliche Endzeitpunkte • SEZi =FAZi + Di

16. Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle VI • Länge des längsten Weges von 1 nach i (Voraussetzung FAZ1x=0) • CPM: FAZix • MPM: FAZi • Länge des längsten Weges von j nach n • CPM: SAZxn- SAZxj • MPM: SAZi - SAZi

17. Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle VII • Pufferzeiten • zeitlicher Spielraum für Vorgang • kann durch Verschiebung und/oder durch Verlängerung der Vorgangsdauer genutzt werden • Gesamtpuffer • um wie viel sich der Vorgang verschieben lässt ohne das Projektende zu gefährden • CPM: GPij= SAZij − FAZi - Dij • MPM = SAZj − FAZi

18. Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle VIII • Freier Puffer • Zeit, die den frühest möglichen Beginn bzw. Ende des Nachfolgers nicht gefährdet. • Freier Rückwärtspuffer • maximale Zeitspanne, um die der Vorgang ausgehend von seinem frühest möglichen Anfangszeitpunkt verschoben werden kann • Unabhängiger Puffer • maximale Zeitspanne, die der Vorgang verschoben werden darf, wenn alle vorhergehenden Vorgänge zum spätestmöglichen Termin enden

19. Zeit & Terminplanung: Deterministische Modelle IX • Kritischer Vorgang: • Wenn der Gesamtpuffer eines Vorganges Null ist heißt der Vorgang kritisch • Der Vorgang kann daher nicht verschoben werden ohne das Projektende zu verschieben! • Kritischer Pfad • Verkettung der Vorgänge, bei deren zeitlicher Änderung sich der Endtermin verschiebt • Er wird in einem Netzplan durch die Kette von Vorgängen bestimmt, welche in der Summe die längste Dauer aufweist.

20. Zeit & Terminplanung: Nicht-Deterministische Modelle I • Projektablauf steht fest, die Dauer der Vorgänge nicht genau! • Planungdurch PERT • ProgramEvaluation and ReviewTechnique • Ereignisknotennetz • Fertigstellungszeitpunkte • 3 SchätzwertefürjedenPfeil • OptimistischeZeitdauer (OD) • Realistische (wahrscheinlichste) Dauer (RD) • PessimistischeZeitdauer (PD)

21. Zeit & Terminplanung: Nicht-Deterministische Modelle II • Erwartungswert • MD = (OD + 4*RD + PD)/6 • ErgibtsichausAnnahmedieZeitenseienß-verteilt • Varianz • VD = (PD-OD)2 / 36 • Danach wie bei CPM (MD statt D) vorgehen • Weglängen: Summe der Erwartungs-werte MD bzw. der Varianzen VD

22. Zeit & Terminplanung: Nicht-Deterministische Modelle III • Annahme bei PERT: • FAZ, FEZ, SAZ, SEZ sind normalverteilt mit den Erwartungswerten und den Varianzen • Errechnen von Wahrscheinlichkeiten für Terminüber- & Unterschreitungen • Mathematisch nur korrekt, falls zentraler Grenzverteilungssatz erfüllt (selten!) • PERT daher nur als Abschätzung verwendbar • Erweiterung: GERT • Bei Entscheidungsnetzplänen

23. Kostenplanung I • CPM-Netzplan mit variablen Vorgangsdauern Dij • Jeder Vorgang (i,j) hat eine (konvexe) Kostenfunktion Kij • Kij = Kij (Dij) • Definitionsbereich: [Mind ij ,NDij ] • Mindestdauer : Mind ij • Normalvorgangsdauer: NDij • Kij = - bij Dij + cij (bij ,cij >=0)

24. Kostenplanung II • Direkte Projektkosten • Summe aller Vorgangskosten • Indirekte Projektkosten • Für gesamte Projektdauer, z.B. Verwaltungskosten oder Pönale • Kostenplanung: • Minimale direkte Kosten bei vorgegebener Projektzeit • Minimale Projektdauer bei vorgegebenen Projektkosten

25. Kostenplanung III • Lineares Optimierungsmodell • Sowohl bei Optimierung bei vorgegebener Laufzeit als auch bei vorgegebenen Kosten • Mit jeweiligen Nebenbedingungen • Lösbar durch bekannte Techniken und Algorithmen • Übung: Kostenzuweisung an den bestehenden Netzplan, intuitives Suchen des Optimums

26. Kapazitätsplanung I • Ressourcen stehen nur beschränkt zur Verfügung • Gleichmäßige (bzw. optimale) Verteilung auf die Vorgänge • Minimierung der Kosten bzw. der Projektdauer • Ist NICHT eine einfache Summierung der notwendigen Ressourcen bei bestehender optimaler Zeitplanung! (warum?)

27. Kapazitätsplanung II • CPM-Netzplan • Diskrete Zeitachse (z.B. Stunden, Tage) • Ressourcenkapazität / Zeiteinheit • Ressourcenbedarf pro Vorgang pro Zeiteinheit • Gesucht sind die neuen Anfangszeitpunkte der Vorgänge zur Minimierung der Projektkosten

28. Kapazitätsplanung III • Suche Optimum • Kosten der Ressourcenaufteilung • Direkten Projektkosten • Ev. zusätzlich notwendigen Ressourcen • Nicht mathematisch lösbar (i.A.), Lösung durch heuristische Lösungsalgorithmen • Siehe ev. Projektphase III

29. Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung I • Hintergrundmathematik: Graphentheorie • Knotenmenge V • Kantenmenge E • Kantenbewertung b: E R • Knoten 1 bzw. n: Quelle bzw. Senke • Gesucht sind die Wege von 1 nach i (bzw. von i nach n) mit größter Länge

30. Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung II • Lösungsalgorithmen für MPM • Verfahren von FORD • Tripel-Algorithmus von Floyd/Warshall • Lösungsalgorithmen für CPM • Dijkstra Algorithmus • Bellman Algorithmus • Die ersten 3 Algorithmen werden in Projektphase II gesucht und angewandt

31. Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung III • Bellman Algorithmus • Knotensortierung des Graphen G: • Die Knotenmenge V={1,2,…n} wird so umsortiert, dass nur Pfeile (i,j) vorkommen mit i<j • Streiche in G die Quelle (Nr.1) und alle Pfeile, die davon ausgehen G2 • G2 hat mindestens eine Quelle. Diese bekommt die Nummer 2, dann werden wieder alle davon ausgehenden Pfeile gestrichen  G3 • Fortsetzung des Algorithmus bis zu „n“

32. Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung IV • Bellman Algorithmus • Iterative Berechnung des längsten Weges (= kürzestmögliche Projektdauer bei CPM!) von 1 nach n • di : Länge des längsten Weges von 1 nach i • Pi : Menge aller Knoten v von G mit Pfeil (v,i) • Dann gilt: • di : = max (dv+ Dvi ) • Maximum aller v von Pi • Die Menge aller v bei denen das Maximum angenommen wird sei dann Mi

33. Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung V • Bellman Algorithmus • Iterative Berechnung des längsten Weges von i nach n zur Berechnung der spätesten Zeitpunkte SZi • dj: Länge des längsten Weges von j nach n • Si : Menge aller Knoten w von G mit Pfeil (j,w) • Dann gilt: • dj : = max (dw+ Djw ) • Maximum aller w von Si • Die Menge aller w bei denen das Maximum angenommen wird sei dann Mj

34. Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung VI • Durch zweimalige Anwendung der Bellman-Algorithmus • Zuerst beginnend bei der Quelle (erster Vorgang) in Richtung des letzten Vorganges • dann beginnend bei der Senke (letzter Vorgang) in Richtung des ersten Vorgangs • können die frühesten & spätesten Eintrittszeitpunkte errechnet werden

35. Lösungsverfahren: Zeit & Terminplanung VII • Beispiel an der Tafel • Ordnen der Knoten • Berechnung der längsten Wege aller Pfeile in beginnend von 1 • Berechnung der längsten Wege aller Pfeile, beginnend von n • Berechnung von FAZ, FEZ, SAZ, SEZ für jeden Pfeil • Eintrag der Werte in eine Tabelle • Darstellung als GANTT-Chart

36. Lösungsverfahren:Kostenplanung • Verfahren von Kelly • Lösung für parametrische & nichtparametrische lineare Optimierungsprobleme • Für bestimmte Werte kann der Simplexalgorithmus eingesetzt werden • Phase II: Suchen und Programmieren der entsprechenden Algorithmen

37. Lösungsverfahren:Kapazitätsplanung • Rückführungsmöglichkeit auf binäre Optimierungsaufgabe • Definition von Variablen xij,t : • xij,t = 1 falls (i,j) zwischen t-1 und t ausgeführt wird, ansonsten =0 • Umschreiben aller Parameter, Nebenbedingungen und Zielfunktionen auf die xij,t : • Recherche und Lösungsversuche in ev. Phase III

38. Projektphase II: Projektarbeit • 2.1 Recherche & Anwendung bestehender Programme • 2.2 Recherche & Entwicklung von Algorithmen • 2.3 Entwicklung von Text- & grafischen Benutzeroberflächen • 2.4 Verwaltung, Berichtswesen & Marketing

39. Recherche & Anwendung Bestehender Programme • 2.1.1 Anwendung von bekannten professionellen Programmen • Die in der mathematischen Einführung kennengelernten Techniken sollen nun in einigen, Euch bereits bekannten Programmen zur Unterstützung in Projektmanagement entdeckt werden. Dabei kann sowohl MS Project als auch entsprechende Share- oder Freeware eingesetzt werden. • Teilnehmer: Klasse

40. Recherche & Anwendung Bestehender Programme • 2.1.2 Recherche zusätzlicher Programme zum Themenkreis • Internetrecherche zu kommerziellen und Freewareprogrammen zum Themenkreis Netzwerktechnik, • Erstellen einer Nutzwertanalyse der einzelnen Programme mit einem SWAT-Profil. • Teilnehmer: Marketingtalente

41. Recherche & Entwicklung Von Algorithmen • 2.2.1 Recherche von Algorithmen zu Bellman etc., • Internetrecherche zu den nicht im theoretischen Teil behandelten Algorithmen • Diese sollen • erhoben, • die einzelnen Referenzen miteinander verglichen und • verständlich aufbereitet werden. • Teilnehmer: Mathematiktalente

42. Recherche & Entwicklung Von Algorithmen • 2.2.2 Entwicklung von Algorithmen zu Bellman etc. • Programmtechnische Umsetzung gefundener Informationen • eigenständige Ausarbeitung von „missing links“ • große, wenn möglich interdisziplinärer Unterstützung durch die Lehrerschaft • Teilnehmer: Mathematiktalente

43. Entwicklung Von Text- & Grafischen Oberflächen • 2.3.1 Entwicklung einer tabellarischen Eingabe (Datenbankverknüpfung) • Entwicklung einer einfachen, textzentrierten Eingabe • Datenbankanbindung • Grundlage für die Tests der gefundenen Algorithmen zu bekommen. • Teilnehmer: EDV-Talente

44. Entwicklung Von Text- & Grafischen Oberflächen • 2.3.2 Entwicklung einer grafischen Benutzeroberfläche • Kernmodule für ein eigenständiges Programm • grafische Eingabe- und Analyseoberfläche • Teilnehmer: EDV-Talente

45. Verwaltung, Berichtswesen & Marketing • 2.4.1 Erstellung eines Marketingkonzeptes • Entwicklung einer Marketingkampagne • Prospekterstellung • Internetpräsenz • Aufbau einer Usergruppe • Presseaussendungen • Guerillamarketing • Suche nach Vermarktungsmöglichkeiten • Teilnehmer: Marketingtalente

46. Optionale Phase III • Ausbau der Entwicklungen zu einem modular aufgebauten, vermarktbaren Produkt • Teilnehmer: talentierte Mathematik-, EDV- und Marketingexperten • Dauer: ½ bis 1 ½ Jahre • Massive Lehrerunterstützung