Argomento : Spettro di un segnale Obiettivo: comprensione del concetto di spettro;

1. Convertitori A/D • Argomento: Spettro di un segnale • Obiettivo: comprensione del concetto di spettro; • Prerequisiti culturali: funzioni, funzioni trigonometriche • Ausili didattici allo svolgimento della lezione: SW per il tracciamento di grafici e per il calcolo dello spettro(Matlab!).

2. Convertitori A/D • Spesso la grandezza oggetto di misura, e il segnale corrispondente sono funzioni del tempo e in accordo con la particolare funzione in esame sarà necessario ricorrere a strumenti diversi. • La prima classificazione possibile è tra: • grandezze deterministiche; • grandezze aleatorie.

3. Convertitori A/D Una grandezza deterministicasarà descrivibile mediante una funzione analitica (e sono prevedibili)… Quali esempi???? Il tracciato viene stampato su carta millimetrata. Il quadratino piccolo della carta ha 1 mm lato, equivale sul  lato verticale a 0,1 mV, sul lato orizzontale a 0,04 s. in poche parole, verticalmente si misurano l’ampiezza delle onde in millivolt, mentre orizzontalmente si misura la lunghezza dei tratti e delle onde espressa in secondi. Questi parametri sono importanti dal punto di vista diagnostico.

4. Convertitori A/D Una grandezza aleatorianon gode di tale proprietà (e possono essere descritti soltanto in termini statistici) Esempio?????

5. Convertitori A/D • Le grandezze deterministiche possono essere a loro volta classifiate in: • periodiche. • transitorie. • Una grandezza periodica assume lo stesso valore dopo un intervallo di tempo costante T (periodo). La forma più semplice di grandezza periodica è una grandezza sinusoidale Come possiamo accertarci che i nostri ragazzi conoscano il significato di ampiezza e frequenza?

6. Convertitori A/D Anche un ECG è una grandezza periodica (non sinusoidale)… …e qualsiasi grandezza periodica può essere scomposta in serie di funzioni sinusoidali, generando la serie di Fourier (o spettro del segnale)… In Matlab esiste un comando ecg…..

7. Convertitori A/D In realtà l’ECG è una grandezza approssimativamente periodica a causa di singolarità del paziente e del contributo del sistema di misura…. Le oscillazioni indicate sono degli artefatti prodotti dalla corrente elettrica del tuo elettrocardiografo (scarsa o pessima presa a terra) o ancora da fini tremori muscolari, o ancora, l'elettrocardiografo o meglio i cavi degli elettrodi non funzionano bene.

8. Convertitori A/D Ma anche in questo caso è possibile stimare uno spettro ….

9. Convertitori A/D Le grandezze che non sono periodiche nè costanti vengono dette transitori e i rispettivi spettri

10. Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) • Argomento: Alias e quantizzazione • Obiettivo: comprensione del concetto di alias e stima della frequenza di campionamento, stima dell’errore di quantizzazione • Prerequisiti culturali: banda si un segnale (cfr spettro), sistemi di numerazione, calcolo binario • Ausili didattici allo svolgimento della lezione: SW per il tracciamento di grafici e per il calcolo dello spettro(Matlab!).

11. Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) • La trasformazione di un segnale continuo nel dominio del tempo e dell’ampiezza in una sequenza di parole, formate da un numero finito di cifre, richiede una discretizzazione, sia nel dominio del tempo, sia nel dominio dell’ampiezza, noti rispettivamente come: • campionamento • quantizzazione. • L’intero processo è noto col nome di conversione analogico-digitale (A/D conversion). • I dispositivi che effettuano la conversione sono noti come Convertitori Analogico Digitale (A/D Converters). • Esempio! • La discretizzazionedei segnali

12. T {f(nT)} f(t) T Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) L’uscita di un campionatore può essere rappresentata come una serie di parole, i cui elementi coincidono con i valori assunti dal segnale tempo-continuo in istanti multipli del tempo di campionamento • Ladiscretizzazionedei segnali ???????

13. Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) • Ladiscretizzazionedei segnali Il teorema del campionamento ci assicura che se sono soddisfatte alcune ipotesi, il processo di discretizzazione nel dominio del tempo, non produce alcuna perdita d’informazione: Sia f(t) un segnale con trasformata di Fourier F(w), tale che F(w)=0 per |w|>= wc. Si ha, allora:

14. Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) Attenzione!!!! Se la condizione ws> 2wc non viene rispettata le ripetizioni dello spettro del segnale originario si sovrappongono e si incappa nel fenomeno dell’alias. In tali condizioni non è più possibile ricostruire il segnale originario attraverso un’operazione di filtraggio. • Ladiscretizzazione dei segnali Ci soddisfa questo grafico? Come possiamo migliorarlo?

15. Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) • Ladiscretizzazione dei segnali Il Teorema del Campionamento è tutto qui, ma dobbiamo farlo capire alla classe usando la sola formula che conoscono….

16. Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) La formula introdotta nel teorema del campionamento è nota come serie cardinale e la funzione: • Ladiscretizzazionedei segnali è detta mantenitore cardinale e la pulsazionewc=ws/2 è nota in letteratura come frequenza di Nyquist.. • Un mantenitore cardinale è un filtro non fisicamente realizzabile. Esso può essere soltanto approssimato. Per questo motivo: • Si utilizza una frequenza di campionamento superiore a quella prevista dal teorema di Shannon (tipicamente 10 volte); • Si utilizzano dei filtri ricostruttori o mantenitori.

17. Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) Il ricostruttore di ordine zero E’ il filtro ricostruttore più comune ed è noto anche come sample-and-hold o mantenitore di ordine zero. • La discretizzazionedei segnali

18. Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) Quantizzazione dell’ampiezza è un processo associato sempre ad una perdita d’informazione. • La discretizzazionedei segnali

19. Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) La quantizzazione è l’operazione di rappresentazione di una grandezza, i cui valori sono contenuti in un dato intervallo, utilizzando un numero finito di simboli, organizzati in parole (mediante un opportuno codice). Adottando una codifica binaria uniforme con B bit, possono essere generate solamente 2Bvalori, equispaziati del passo di quantizzazione Q. • La discretizzazionedei segnali

20. Convertitori A/D Parte I (Conversione D/A e A/D) E nasce un errore di quantizzazione….possiamo capire con la classe com’è fatto tale errore • La discretizzazionedei segnali E l’errore di quantizzazione?

21. a1,…an DAC Vo VREF Parte I (Conversione D/A e A/D) I convertitori D/A (Digital to Analog Converters) rappresentano un’interfaccia tra i segnali digitali del mondo dei computer e il mondo analogico. Un D/A accatta come ingresso un segnale digitale e fornisce un’uscita (in tensione o in corrente a seconda della tecnologia utilizzata e dell’applicazione prevista) dipendente dall’ingresso fornito, secondo la relazione: • La conversione D/A • Essendo: • Vo la tensione d’uscita; • K il guadagno (tipicamente è K=1); • a1,…,an la parola digitale da convertire; • Vos la tensione di offset (tipicamente è Vos=0) • VFS la tensione di fondo-scala (legata a VREF, valori tipici sono 2.500, 5.000, 10.00, 5.120, 10.24 V o i corrispondenti valori bipolari e 2.0mA).

22. Parte I (Conversione D/A e A/D) • La conversione D/A • I convertitori D/A sono caratterizzati mediante caratteristiche statiche e caratteristiche dinamiche. • Le caratteristiche statiche più importanti sono: • La risoluzione ; • La curva caratteristica ; • L’errore di linerità; • L’errore di monotonicità; • L’accuratezza; • La stabilità. • Le caratteristiche dinamiche più importanti sono: • Il settling time; • Il fenomeno del glitching.

23. Parte I (Conversione D/A e A/D) • La risoluzione • La risoluzione di un convertitore è pari alla minima variazione del segnale d’uscita che il dispositivo può generare. Essa è pari a 1 LSB (Least Significant Bit) ed è legata alla tensione di fondo scala e al numero di bit (parallelismo del convertitore) dalla relazione: • VLSB=VFS/2n • 1 LSB= 1/2n • se si tratta di un dispositivo unipolare • VLSB=VFS/2n-1 • 1 LSB= 1/2n-1 • Nel caso di un dispositivo bipolare • Valori tipici di risoluzione vanno da 8 a 16 bit. • La conversione D/A

24. Parte I (Conversione D/A e A/D) • La risoluzione • ESEMPIO: Un convertitore AD ad 8 bit ha una tensione di riferimento pari a 5V. • La tensione corrispondente alla parola 10110100 è: • Vref*(2-1+2-3+2-4+2-6)=Vref*(1/2+1/8+1/32+1/64)=3.5156V • Il LSB vale: • 1LSB=1/2-8=1/256 • VLSB=5/256=19.5 mV • NB: espressioni equivalenti per l’espressione della risoluzione sono: • 8 bit di risoluzione, • 0.4% del fondo scala, • 1 parte su 256. • La conversione D/A

25. Parte I (Conversione D/A e A/D) La curva caratteristica La curva caratteristica di un DA rappresenta il legame esistente tra i codici in ingresso e i valori forniti in uscita (tensione o corrente in accordo con la tecnologia utilizzata) • La conversione D/A

26. Parte I (Conversione D/A e A/D) • La curva caratteristica • Vengono definiti gli errori (in LSB) di: • Offset • Guadagno • La conversione D/A NB: Le case costruttrici suggeriscono i circuiti da utilizzare per eliminare tali cause di errore!

27. Parte I (Conversione D/A e A/D) La curva caratteristica Finora si è fatta l’ipotesi che nel passaggio da una parola alla successiva la variazione della tensione in uscita sia sempre costante e pari a 1 LSB e che quindi la curva caratteristica sia una retta. Nei dispositivi reali, a causa di imperfezioni circuitali, i valori di tensione in uscita non si trovano su una retta. • La conversione D/A

28. Parte I (Conversione D/A e A/D) • La curva caratteristica • Dopo aver corretto l’errore di guadagno e di offset la curva (retta) caratteristica viene determinata attraverso un processo di approssimazione. • Least-square fit • Utilizza il metodo dei minimi quadrati per determinare la retta che approssima le uscite del DAC; • Zero-base method • Determina la curva caratteristica imponendo il passaggio per il primo punto e determinando il guadagno minimizzando il valore assoluto dell’errore massimo. • Terminal-point method • Approssima la curva caratteristica con la retta che passa per il primo e l’ultimo valore in uscita dal DAC. • La conversione D/A

29. Parte I (Conversione D/A e A/D) • La linearità • L’errore di linearità indica lo scarto tra l’uscita reale di un DAC e il corrispondete valore stimato utilizzando la curva caratteristica. Vengono definite: • L’integral nonlinearity error (INL) • è dato dal massimo scostamento dalla curva interpolante (ottenuta con uno qualsiasi dei metodi precedentemente introdotti); • La conversione D/A • Il’differential nonlinearity error (DNL) • è dato, per ogni codice, dalla differenza tra la variazione effettiva del segnale e la variazione prevista di 1LSB;

30. Parte I (Conversione D/A e A/D) La linearità L’errore di linearità viene espresso in frazioni del LSB o in percentuale del valore di fondo scala. • La conversione D/A • La monotonicità • Quando si incrementa di uno l’ingresso di un DAC ci si aspetta che anche l’uscita cresca. Se ciò non accade si ha un errore di monotonicità. Un DAC non monotono ha un errore DNL superiore a 1LSB. NB: Un buon DAC dovrebbe avere un errore di linearità inferiore a 0.5 LSB e non presentare errore di monotonicità.

31. Parte I (Conversione D/A e A/D) • L’accuratezza • Vengono spesso indicate: • L’absolute accuracy • E’ lo scarto massimo tra l’uscita ideale prevista e l’uscita reale del DAC (incluso l’errore di guadagno e di offset) • Relative accuracy • E’ lo scarto massimo tra l’uscita ideale prevista e l’uscita reale del DAC (dopo la correzione dell’errore di guadagno e di offset e quindi coincide con l’INL). • NB: L’accuratezza non va confusa con la risoluzione. Un DAC può avere, ad esempio, una risoluzione di 12 bit e un’accuratezza di soli 10 bit. Un buon DAC dovrebbe garantire un’accuratezza migliore della risoluzione. • La conversione D/A

32. Parte I (Conversione D/A e A/D) La Stabilità Misura la dipendenza dei parametri caratteristici del dispositivo dalla temperatura, dal tempo etc. • La conversione D/A

33. Parte I (Conversione D/A e A/D) Il Settling time E’ il tempo impiegato dall’uscita di un DAC a portarsi in prossimità del valore finale (in genere 0.5 LSB), dopo un cambiamento di codice. • La conversione D/A Il glitching Quando il DAC riceve un nuovo codice, è necessario che alcuni interruttori si chiudano e altri si aprano. Se i tempi richiesti da queste operazioni sono diversi si generano in uscita dei transitori di entità molto elevata.

34. Parte I (Conversione D/A e A/D) • La conversione D/A • Esistono due principali famiglie di convertitori DA: • Convertitori in tecnologia MOS • Sfruttano le eccellenti proprietà dei MOS come interruttori di tensione; • Convertitori in tecnologia bipolare • Utilizzano transistor BJT per la realizzazione di specchi di corrente.

35. R 4R 2nR 2R - + -Vr Parte I (Conversione D/A e A/D) Il convertitore a resistenze pesate utilizza una rete di resistenze, i cui valori crescono come potenze successive di due, per realizzare i diversi bit della parola da convertire. • La conversione D/A Il convertitore a resistenze pesate è un dispositivo molto semplice. Esso tuttavia non è adatto alla realizzazione di sistemi in tecnologia IC per il consumo eccessivo di area di silicio dovuto alla realizzazione della rete di resistenze. Questo schema viene utilizzato soltanto per realizzare convertitori discreti e a bassa risoluzione.

36. Parte I (Conversione D/A e A/D) Il convertitore a rete R/2R utilizza, per realizzare i diversi bit della parola da convertire, una rete di resistenze caratterizzati soltanto da due diversi valori. • La conversione D/A - + -Vr Tipicamente il valore di R varia nell’intervallo 2.5kW-10kW. Con questa tecnologia vengono spesso realizzati dispositivi monolitici a a levata risoluzione.

37. Parte I (Conversione D/A e A/D) Entrambi i convertitori descritti producono un errore dovuto alla corrente che attraversa la resistenza equivalente del generatore di riferimento. • La conversione D/A Ad esempio nella figura riportata il riferimento di tensione presenta una resistenza interna pari a 200W. Ciò causa un errore del DAC che dipende dal codice in ingresso.

38. Parte I (Conversione D/A e A/D) Il problema dell’errore indotto dai fenomeni di riscaldamento e di variazione della tensionedi riferimento viene risolto utilizzando la struttura a rete R-2R invertita: • La conversione D/A • In questo caso: • La corrente che attraversa la rete di resistenze è costante; • I dati in ingresso deviano la corrente a massa, o all’ingresso del convertitore corrente tensione (anch’esso al potenziale di massa grazie al principio della massa virtuale). • NB: ai due terminali dell’op-amp sono disponibili valori complementari di corrente. • Questa è la struttura più comunemente utilizzata per la realizzazione di DAC in IC, specialmente in tecnologia CMOS

39. Parte I (Conversione D/A e A/D) I convertitori DA in tecnologia bipolare sfruttano la possibilità di realizzare i BJT per realizzare pozzi di corrente opportunamente commutati. • La conversione D/A La pesatura delle correnti può essere ottenuta, in linea di principio utilizzando transistor matched.

40. Parte I (Conversione D/A e A/D) L’intero DAC assume allora la forma: • La conversione D/A …ed esistono strutture per limitare il range di variazione delle aree dei transistor e/o dei valori di resistenza richiesti.

41. Parte I (Conversione D/A e A/D) Sono stati realizzati anche DAC che utilizzando dei capacitori, sia secondo la struttura a capacità pesate, sia a rete C-2C: • La conversione D/A Realizzando strutture con consumi estremamente ridotti.

42. Parte I (Conversione D/A e A/D) Una rete di resistenze tutte uguali e una rete di decodifica permette di realizzare un DAC rigorosamente monotono: • La conversione D/A