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La forme exponentielle

La forme exponentielle. 2. 5. 3. 3. 5. 4. 5. 1. 10. 6. La forme exponentielle est une forme d’écriture permettant de représenter une multiplication répétée d’un même facteur. =. 5. =. 2 X 2 X 2. =. 3 X 3 X 3 X 3 X 3. =. 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10.

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  1. La forme exponentielle

  2. 2 5 3 3 5 4 5 1 10 6 La forme exponentielle est une forme d’écriture permettant de représenter une multiplication répétée d’un même facteur. = 5 = 2 X 2 X 2 = 3 X 3 X 3 X 3 X 3 = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 5 X 5 X 5 X 5 = À l’inverse, On ne multiplie pas les facteurs entre eux. On écrit le facteur et l’exposant qui indique combien de fois le facteur s’est multiplié par lui-même.

  3. 2 3 Vocabulaire Le nombre qui indique combien de fois un facteur (la base) se multiplie par lui-même s’appelle l’exposant. On l’écrit plus petit et on le place en haut et à droite du facteur. Le facteur qui se répète s’appelle la base. Le produit de cette multiplication répétée s’appelle la 3 =8 2 puissance. = 8 = 2 X 2 X 2 Loi 1 : Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même. C’est la loi la plus importante.

  4. 2 On met des parenthèses, car c’est toute la base qui est affectée de l’exposant 3. 2 2 2 5 = X X 3 2 5 5 5 5 On met des parenthèses, car c’est toute la base -7 qui est affectée de l’exposant 4. Formule les expressions suivantes sous la forme exponentielle. 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = 56 2 X 2 X 3 X 3 X 3 X 7 X 7 X 7 = 22 X 33 X 73 Remarque : On regroupe ensemble les bases semblables; on les réunit par le signe de multiplication puisque c’est une multiplication de facteurs. 2 X 3 X 2 X 5 X 2 X 3 X 7 X 5 = 23 X 32 X 52 X 7 23 X 32 X 52 X 7 2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 5 X 5 X 7 = Remarque : On peut permuter (changer de place) les facteurs, car ils sont tous unis par le signe de multiplication. 1,253 1,25 X 1,25 X 1,25 = -7 X -7 X -7 X -7 = ( -7 )4

  5. yx yx xy ^ = Détermine la puissance des expressions suivantes. 25 = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 32 avec la calculatrice, utiliser la touche : ou ou 2 5 Exemple : 25 = : 32 125 53 = 1,87388721 1,174 = 0,52 = 0,25 0,53 = 0,125 1 000 000 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 = 106 = 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 15 = = 1

  6. 2 3 2 2 4 = = 5 5 25 8 125 Qu’en déduis-tu ? 2 2 2 2 2 = X X X = 5 5 5 5 5 Selon la loi sur la multiplication de fractions. Base négative: (-2)2 = -2 X -2 = 4 (-2)3 = -2 X -2 X -2 = - 8 (-2)4 = -2 X -2 X -2 X -2 = 16 - 32 (-2)5 = -2 X -2 X -2 X -2 X -2 = Règle : Une base négative affectée d’un exposant pair donne toujours une puissance positive. Une base négative affectée d’un exposant impair donne toujours une puissance négative.

  7. Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants. 21 X 21 = 21 X 21 X 21 Loi 2 : am X an = am + n Loi 2 : Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants. peut s’écrire Exemple : 23 = 21 X 21 X 21 23 = 2 X 2 X 2 Un nombre, sans exposant écrit, signifie que l’exposant est 1 : 2 = 21 Une lettre , sans exposant écrit, signifie que l’exposant est 1 : x = x1 soit 21+1+1 21 X 21 X 21 = 23 = 23 23 X 22 = 23+2 = 25 25 X x . x . x = x3

  8. On ne multiplie pas les bases entre elles; on additionne les exposants. X = 2 3 5 3 3 3 4 4 4 Réduis les expressions suivantes. 33 X 32 = 35 1,252 X 1,25 = 1,252 X 1,251 = 1,253 x2X x2 = x4 (-8)2 X (-8) = ( -8 )3 22x2 = 4 x2 2x X 2x = 2 X x X 2 X x = (ab)4 (ab)2 X (ab)2 = (x + 3) X (x + 3)2 = (x + 3)3

  9. Réduis les expressions suivantes. 25 X 33 X 53 22 X 3 X 23 X 5 X 32 X 52 = 32 X 52 X 2 X 33 X 23 X 52 = 24 X 35 X 54 Écris les multiplications suivantes sous la forme exponentielle en utilisant des facteurs premiers. 2 X 3 X 6 X 9 X 4 = 2 X 3 X 2 X 3 X 32 X 22 = 24 X 34 25 X 32 24 X 12 = 23 X 3 X 22 X 3 =

  10. 25 25 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = 22 22 2 X 2 Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants. Loi 3 : am ÷ an = am - n Loi 3 : Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants. Exemple : 23 25 ÷ 22 = 25 – 2 = Démonstration Écrivons 25 ÷ 22 sous la forme d’une fraction : Une division est une fraction. Développons : = 23 Simplifions les facteurs communs au numérateur et au dénominateur : x 4 – 3 = x4 ÷ x3 = x

  11. 6x3 = x2 ( a + 3 )3 ÷ ( a + 3 )2 = Réduis les expressions suivantes. 35 ÷ 32 = 33 24 27 ÷ 23 = x2÷ x= x x x3÷ x2 = 4x3 ÷2x2 = 22x3 ÷ 2 x2 = 2x 6x ( a + 3 )1 = ( a + 3 )

  12. Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants. ? 1 2 27 – 3 = 24 27 ÷ 23 = 1 22 ÷ 22 = 22 – 2 = 20 = 2-1 = 22 ÷ 23 =

  13. -1 -1 -1 -1 -1 23 22 21 20 2-1 2-2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 2 2 2 2 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 Diminuer de 1 l’exposant, c’est diviser le puissance par la base. Loi 5 : Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse. -1 1 -2 2 2 2 = = = = 1 1 X 1 a-1 = Loi 5 : a Démonstration 8 4 2 1 Loi 4 : Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1. Loi 4 : a0 = 1 2-1 = 2-2 = = On doit rendre l’exposant positif en inversant la base.

  14. 2 -2 3 2 -3 -3 3 -2 1 1 1 1 X X = = = = = = = = = 5 5 5 125 1 1 2 5 b 2 a 3 2 5 1 2 1 a b 3 2 3 2 3 X X = = 2 1 2 1 9 = 4 b b b3 b X X = a a a3 a -2 -2 2 5 1 2 = = = 10 2 1 Calcule les expressions suivantes. 5-3 = 4 2,25 4

  15. , 31 22 1 a2 Le numérateur est alors 1. a-2 = 2-2 2-2 2 2-2 = = = = 1 = 3-1 3-1 3-1 3-1 4 X 3 2-2 1 1 = = 2-2 1 1 31 3 3 X = X 22 X 3 12 = = 3 X 7 21 22 1 3-1 22 1 = = 50 2 X 52 3 3 2-2 X 2 X 3-2 2 X 3 1 2 X 3 1 4 4 = = = = 30 5 X 3-1 22 X 5 X 32 2X 2 X 5 X 3 X 3 2 X 5 X 3 car Règle : Dans une expression fractionnaire, si un facteur au numérateur est affecté d’un exposant négatif, on le place au dénominateur pour le rendre positif et vice-versa. 2 X 31 = 6 2-1 X 3 X 5-2 X 7 = 0,42

  16. Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même. m fois Loi 1 : am = a X a X a X a X … Lorsqu’on multiple des bases semblables, on additionne les exposants. Loi 2 : am X an = am + n Lorsqu’on divise des bases semblables, on soustrait les exposants. Une base affectée de l’exposant 0 est toujours égale à 1. Loi 3 : am ÷ an = am - n Loi 4 : a0 = 1 Un exposant négatif signifie que l’on travaille avec une base inverse. 1 a-1 = Loi 5 : a On doit rendre l’exposant positif en inversant la base. Loi 1 : Loi 2 : Loi 3 : Loi 4 : Loi 5 :

  17. am = a X a … m fois 1 1 - - = X 2 5 5 1 - = 5 am X an = am + n 2 X 1 1 2 4 = 5 5 a a 4 X am ÷ an = am - n = 1 3 1 3 X 1 = 2 = 3 3 X X = = 25 x x x x a0 = 1 2 -2 2 -2 1 5-2 2 = 2 X 52 = 5-2 1 a-1 = a Simplifie les expressions suivantes. a2b0 = a2 X b0 = a2 X 1 = a2 (- 5)-2 = 3a X 3a X a = 32a3 = 9a3 2 X 5-1 = 4a-1 = 4 X a-1 = car 50, 50 2 X 5 X 5 =

  18. 1 -1 -1 = = = am = a X a … m fois 5 4 4 5 4 5 am X an = am + n 2 1 1 = = 10 100 am ÷ an = am - n 55 55 X 1 = = 52 52 a0 = 1 1 a-1 = a Calcule les expressions suivantes. 72 ÷ 7-2 = 2 401, car 72 - -2 = 72+2 = 74 = 2 401 (2x)3 = 8x3, (2x)3 = 2x X 2x X 2x = 23x3 = 8x3 car car 1,25, 1,25 10-2 = 0,01, car 10-2 = 0,01 125 55 X 5-2 = 125 soit 55 + -2 = 55 -2 = 53 = soit 55 X 5-2 = 125 53 = 70 X 72 = 49, car 70 X 72 = 1 X 72 = 72 = 49 ( 5 X 3 X 2 X 4 X 6 X 52 X 33 X 7 )0 = 1

  19. c = b-3 a-2 b b = On écrit les coefficients (les nombres) en premier. 3 3a2 a2 b-3 a2 c4 = c-4 d2 b3 d2 a2 b2 = a2 b2 ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( x + 1 )2 = x ( x + 1 ) 1 Que vaut l’exposant dans cette expression ? 4 = 16 cb3 a-2 b2 a2 b-2 = 1 soit a-2 b2 a2 b-2 = a-2 a2 b2 b-2 = a-2+2 b2+-2 = a0 b0 = 1 X 1 = 1 soit a-2 b2 a2 b-2 = 1 1 ( x + 1 ) x = -2

  20. 3 - 1 1 - = 125 5 2 1 - 1 + = 5 25 Attention ( - 5 ) -3 = Inverser la base change le signe de l’exposant. Inverser la base ne change pas le signe de la base. Cependant, Un exposant pair donne toujours une puissance positive. ( - 5 ) -2 = Il faut bien connaître ses lois.

  21. 24 = 24 = 22 22 22 24 2 X 2 X 2 X 2 = = 1 1 1 1 2 X 2 22 1 1 1 1 22 = 24 22 1 = 2 X 2 22 = 24 2 X 2 X 2 X 2 22 1 1 = 24 22 22 Précision soit 24 ÷ 22 = 24 – 2 = 22 soit 22 soit 22 ÷ 24 = 22 – 4 = 2-2 = soit

  22. Loi 6 : ( am )n = am X n On met des parenthèses, car c’est toute la base -5 qui est affectée par les exposants. Loi 6 : Lorsqu’une puissance se retrouve à l’intérieur d’une parenthèse et que celle-ci est affectée d’un exposant, on multiplie cet exposant avec l’exposant de la base à l’intérieur. Démonstration : (32)3 = 32 X 32 X 32 = 36 (32)3 = 36 32X3 = Donc, Exemples : (22)3 = 22 X 3= 26 a15 (a5)3 = a5 X 3 = ( (-5)3 )4 = (-5)3 X 4 = (-5)12

  23. (ab)m = ambm Loi 7 : Loi 7 : Pour élever un produit de facteurs à une puissance quelconque, il suffit d’élever chaque facteur à cette puissance. Exemple : ( 2 X 5 )3 = 23 X 53 8 X 125 ( 10 )3 = 1 000 = 1 000 La première loi dit : Sous la forme exponentielle, l’exposant signifie le nombre de fois que l’on doit multiplier la base par elle-même. ( 2 X 5 )3 = 23 X 53 Donc, (2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) = 2 X 5 X 2 X 5 X 2 X 5 = Exemples : ( 22 X 3 )2 = ( 22 X 3 ) X ( 22 X 3 ), donc 22 X 22 X 3 X 3 = 24 X 32 ( 74 X 52 )3 = 74 X 3 X 52 X 3 = 712 X 56

  24. Faux ! Cette loi n’est vraie que s’il n’y a que des facteurs dans la parenthèse. 5 184 26X 34 = Exemples : ( 23X 32 )2 = 64 X 81 = 5 184 En calculant l’intérieur de la parenthèse en premier : ( 23X 32 )2 = ( 8 X 9 )2 = 722 = 5 184 145 26+ 34 = ( 23+ 32 )2 = 64 + 81 = 145 En calculant l’intérieur de la parenthèse en premier : ( 23+ 32 )2 = ( 8 + 9 )2 = 172 = 289 22 X 23 = 22+3 = 25 Attention : Loi 2 : ( 22 )3 = 22 X 3 = 26 Loi 6 :

  25. 1 1 , 53 53 1 x2y2 1 1 y2 x2 1 = X , x2y2 a6 a6 , b18 b18 Problèmes (63)2 = 66 (5-1)3 = car (5-1)3 = 5-3 = (22 X 53)2 = 24 X 56 car (3x2)2 = 9x4, (3x2)2 = (31 . x2)2 = 32 . x4 = 9 . x4 = 9x4 (-2y)2 = 4y2 (-2y)3 = -8y3 (-5xy)3 = -125x3y3 x-2 y-2 = (xy)-2 = car (xy)-2 = a-3 b-6 a9 b-12 = a6 b-18 = (ab2a-3b4)-3 = car (ab2a-3b4)-3 =

  26. Ici, on laisse l’exposant négatif, car on doit écrire l’expression en base 2. Pour écrire l’exposant positif, on doit inverser la base; la base devient 1 et non 2. 2 Si on peut insérer un exposant à l’intérieur, on peut aussi le sortir ! ÷ ÷ = = 2 4 4 2 (a+b)(n-3) (a+b)(2n-6) (a+b)(n-3) (a+b)(2n-6) Une quantité divisée par elle-même donne 1. Écris les expressions suivantes selon la base exigée. car 83 en base 2 : 29 , 83 = (23)3 = 29 car 94 en base 3 : 38 , 94 = (32)4 = 38 24 X 2-9 = 2-5 42 X 8-3 en base 2 : car 42 X 8-3 = (22)2 X (23)-3 = 2-5 , car 42 X 2-3 = (22)2 X 2-3 = 24 X 2-3 = 2 42 X 2-3 en base 2 : 2 , car (36)3 en base 6 : 66 , (36)3 = (62)3 = 66 33 X 73 en base 21 : 213 , car 33 X 73 = 213 (3 X 7)3 = (22 X 3)3 = (4 X 3)3 = 26 X 33 123 en base 2 et 3 : car 123 = 26 X 33 , (a(n+2))2 = a2n+4 , car (a(n+2))2 = a2(n+2) = a2n+4 Petit défi (a+b)2(2n-6) ÷ (a+b)4(n-3) = car 1, 1 (a+b)(4n-12) ÷ (a+b)(4n-12) =

  27. m a m Loi 8 : = b m a b 2 3 3 2 2 2 2 2 2 23 23 X = = = X = 53 53 5 5 5 3 5 5 3 3 X a 22 4 = = 4 X b2 32 9 3 Attention : l’exposant multiplie chacun des facteurs. 3a 33 a3 27 a3 = = 4b2 43 b6 64 b6 Loi 8 : Lorsqu’un quotient de puissance (une fraction) se retrouve à l’intérieur d’une parenthèse et que celle-ci est affectée d’un exposant, on multiplie cet exposant avec les exposants du numérateur et du dénominateur. Démonstration : Donc, Calcule les expressions suivantes.

  28. 3 x2 x6 = y y3 2 2 3 y , = -2 2 -2 3y 2x 2x 9y2 9y2 2 2 2 x = = = 3y 3y 2x 4x2 4x2 y 2 , = 2 2 2 x-2 x-2 y y2 y2 3 x 2 2 = = = 3y-1 3y-1 3x2 9x4 9x4 , 27 (3 X 5)3 33 X 53 153 = = = 53 53 12 53 , = 52 a2 2 2 1 1 1 1 = = 5a 5a 25a2 25a2 3 3 = 5 27 125 Calcule les expressions suivantes. car car 153 ÷ 53 = car 153 ÷ 53 = 27 33 = car

  29. 2 2 2 7 42 2 X 3 X 7 49 = = = 18 3 9 2 X 3 X 3 2 2 2 216 216 23 X 33 = = = 36 36 22 X 32 , 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 1 22 3 26 33 1 1 x x = = X = X = = 32 22 36 26 9 9 4 4 27 33 27 2 2 2 2 2 2 9 000 9 000 2 500 2 500 32 X 103 52 X 102 X X X = = = 50 50 300 300 5 X 10 3 X 102 32 X 52 X 104 34 X 54 X 1010 = 34 X 106 54 X 104 = X = 32 X 52 X 106 52 X 102 32 X 104 Les lois sur les exposants sont particulièrement intéressantes pour simplifier des expressions complexes. Simplifie les expressions suivantes. 36, car (2 x 3)2 = 62 = 36 car 2 250 000, car 2 250 000

  30. yx yx 9 9 = = 1 2 Avec ta calculatrice, calcule 9 : Avec ta calculatrice, calcule 9 Avec ta calculatrice, calcule 8 ( 1 ÷ 2) ( 1 ÷ 3) 3 Avec ta calculatrice, calcule 8 : Les exposants fractionnaires 3 = = Un exposant fractionnaire signifie que l’on doit calculer une racine. 3 3 2 2

  31. 8 L’indice. 3 2 = La racine. Le radical. Le radicande. 3 La forme radicale Il indique la grandeur de l’extraction. Vocabulaire C’est la réponse. 2 est donc la racine cubique de 8. C’est le symbole qui indique que l’on doit extraire une racine. C’est le nombre que l’on doit extraire. Remarque : se prononce la racine cubique. 2 se prononce la racine carrée. L’indice est alors 2. Par convention, on ne l’écrit pas, mais il faut se souvenir qu’il est là.

  32. 8 8 8 1 1 3 3 3 2 2. 5. L’expression est donc égale à L’expression est donc égale à . 25 25 25 . La forme radicale Sens quel est le nombre qui multiplié 3 fois par lui-même donne 8 ? signifie : Ce nombre est 2, car 2 X 2 X 2 = 8. peut donc s’écrire quel est le nombre qui multiplié 2 fois par lui-même donne 25 ? signifie : Ce nombre est 5 car 5 X 5 = 25. peut donc s’écrire

  33. - 4 ce sont deux nombres différents. 3 - 8 Remarque La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les réels. Exemple : signifie : Quel est le nombre qui multiplié deux fois par lui-même donne – 4 ? Ce nombre n’existe pas, car 2 X 2 = 4 -2 X -2 = 4 - 4 provient de 2 X -2 ; La racine cubique d’un nombre négatif existe dans les réels. Exemple : signifie : Quel est le nombre qui multiplié trois fois par lui-même donne – 8 ? Ce nombre est -2, car -2 X -2 X -2 = -8

  34. 8 8 8 3 3 3 3 1 3 = 2 = 2 = 2 = 3 m n Loi 9 : am a = n Écrire une forme radicale en forme exponentielle. 3 1 1 = Il faut se souvenir que l’exposant de 8 est 1. Cet exposant est le numérateur de la fraction. L’indice du radical est le dénominateur de la fraction. Cette forme d’écriture est intéressante pour calculer rapidement certains radicandes. Exemple : 2

  35. 4 6 2 x2 x4 x x4 x = = = 2 3 , 4 , 3 3 3 2 2 64 64 26 2 = = = = = 16 3 , 8 X 8 X 8 X 8 = 4 3 3 3 2 = 8 X 8 X 8 X 8 23 X 23 X 23 X 23 = = 212 12 = 2 = 3 4 4 4 2 2 2 2 4 2 16 16 (2 ) = = 4 = = , 3 3 3 3 3 4 8 1 3 3 1 2 8 x x 2 = = = = X x 4 x x 3 1 3 3 = = = x , Simplifie les expressions suivantes. car 4 car car 16 4 car x car

  36. Loi 10 : a b a b a b = X a Loi 11 : = b Loi des radicaux La forme radicale peut s’écrire en forme exponentielle, donc les lois sur les radicaux sont les mêmes que les lois sur les exposants. Nous allons nous attarder à deux lois en particulier :

  37. 36 36 = = X X Loi 10 : 4 9 b 9 a 4 a b = X 3 3 3 9 ≈ 1,442… X X ≈ 2,08… 3 3 3 3 3 3 3 3 27 27 33 = = 3 3 3 9 9 9 = = X X X Démonstration : = 6 2 X 3 = 6 Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi. Exemple : ≈ 2,9993… 3 Mais, Attention : La loi n’est vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes. La loi ne s’applique pas.

  38. 16 16 20 = = = = = 4 5 4 5 4 5 b 4 4 a 16 20 20 = = ≈ a Loi 11 : = b Démonstration : 2 4 2 = 2 Il est parfois plus précis d’utiliser cette loi. ≈ 4,47… Exemple : ≈ 2,004… ≈ 2,23… Mais, 2 Attention : La loi n’est vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes.

  39. 3 3 3 3 3 3 25 5 52 5 52 X 5 53 = = = = X X 64 32 = = X 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2 5 3 3 3 2 2 = = = = 5 5 5 5 16 16 4 = = 25 5 25 3 3 27 3 27 = = 3 4 64 64 Calcule les expressions suivantes. 5 8

  40. 4x2 4x2 = = b2 x2 = = X X a2 4 3 3 8 x3 = X 3 3 8x3 8x3 = = = La loi ne s’applique pas, car ce ne sont pas des facteurs. a2 + b2 a2 X b2 Calcule les expressions suivantes. 2 . x = 2x ou simplement 2x 2 . x = 2x ou simplement 2x ab a X b =

  41. 2 4 2 1 1 3 1 - - a a a a a 6 3 6 3 2 6 2 ÷ = = = = 3 = 64 = 4 6 a 3 3 3 3 6 6 6 (x4 y-1) (x4 y-1) (x4 y-1) = = x24 y-6 = - 6 x y 24 3 x8 x8 = 3 y2 y2 2 (x4 y-1) (x4 y-1) = = 6 3 Quelques défis. Donne la réponse en forme radicale. Calcule la valeur de cette expression. 2 Simplifie l’expression : Soit x8 y-2 = Soit x8 y-2 =

  42. 2n + 1 2n + 1 64 64 3n + 4 4 = = 3n - 1 3n - 1 4 4 (2n + 1) 6n + 3 (2n + 1) (2n + 1) 3 3 64 4 4 4 = = = = (3n – 1) (3n – 1) (3n – 1) (3n – 1) 4 4 4 4 6n + 3 (3n – 1) 6n + 3 - (3n – 1) 4 4 ÷ 4 = = 6n + 3 - 3n + 1 4 = 3n + 4 3n + 4 4 4 6n + 8 2 = 3n + 4 2(3n + 4) 6n + 8 (22) 2 2 = = Réduis au maximum cette expression; donne la réponse en base 4 et en base 2. et

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