Análise Discriminante

1. ANÁLISE MULTIVARIADA APLICADA AS CIÊNCIAS AGRÁRIAS PÓS-GRADUAÇÃO EM AGRONOMIA CIÊNCIA DO SOLO: CPGA-CS Análise Discriminante Carlos A. A. Varella

2. Análise Discriminante Segundo KHATTREE & NAIK (2000) é uma técnica da estatística multivariada que estuda a separação de objetos de uma população em duas ou mais classes.

3. Discriminação • A discriminação ou separação é a primeira etapa, sendo a parte exploratória da análise e consiste em se procurar características capazes de serem utilizadas para alocar objetos em diferentes grupos previamente definidos.

4. Classificação • A classificação ou alocação pode ser definida como um conjunto de regras que serão usadas para alocar novos objetos (JOHNSON & WICHERN, 1999).

5. Confusão • A função que separa objetos pode também servir para alocar, e, o inverso, regras que alocam objetos podem ser usadas para separar. • Normalmente, discriminação e classificação se sobrepõem na análise, e a distinção entre separação e alocação é confusa.

6. Fisher, 1936 • Segundo REGAZZI (2000), o problema da discriminação entre dois ou mais grupos, visando posterior classificação, foi inicialmente abordado por Fisher (1936). • Funções matemáticas capazes de classificar um indivíduo X em uma de várias populações i; • Com base em medidas de um número p de características, buscando minimizar a probabilidade de má classificação, isto é, minimizar a probabilidade de classificar erroneamente um indivíduo em uma população i, quando realmente pertence a população j.

7. Regiões de alocação • Regiões de alocação são conjunto de valores separados por uma fronteira definida por uma função discriminante qualquer. Função Quadrática Função Linear

8. Funções discriminantes • Funções discriminantes podem ser modelos estatísticos, de redes neurais ou lógica fuzzy. • Os parâmetros são ajustados a partir de amostras de treinamento. • O modelo de Fisher é estatístico.

9. Regras de classificação • Uma boa regra de classificação deve resultar em pequenos erros; • Deve haver pouca probabilidade de má classificação; • Segundo JOHNSON & WICHERN (1999) para que isso ocorra a regra de classificação deve considerar as probabilidades a priori e os custos de má classificação.

10. Regras de classificação • As regras de classificação devem considerar se as variâncias das populações são iguais ou não; • Quando as variâncias são iguais as funções discriminantes são lineares; • Quando são diferentes as funções discriminantes são quadráticas; • Redes neurais e lógica fuzzy geram planos não-lineares de separação.

11. Função discriminante linear de Fisher • É uma combinação linear de características originais que se caracteriza por produzir separação máxima entre duas populações

12. Função discriminante linear de Fisher • Demonstra-se que a função linear do vetor aleatório X que produz separação máxima entre duas populações é dada por:

13. Função discriminante linear de Fisher • O valor da função discriminante de Fisher para uma dada observação é: • O ponto médio entre as duas médias populacionais univariadas µ1 e µ1 é:

14. [ ] ' ( ) = m - m × S × ³ x D x - 1 x m p Alocar em se 1 1 2 o o o ( ) [ ] ' = m - m × S × < x D x - 1 x m p Alocar em se 2 1 2 o o o Função discriminante linear de Fisher • A regra de classificação baseada na função discriminante de Fisher é:

15. Matriz comum de covariâncias Sc • Assumimos que as populações 1 e 2 têm a mesma matriz de covariâncias .

16. A função discriminante linear amostral de Fisher • É obtida substituindo-se os parâmetros µ1, µ2 e  pelas respectivas quantidades amostrais:

17. Exemplo de aplicação • Vamos considerar os dados de duas raças de insetos (Quadro 1), apresentados por HOEL (1966) e citado por REGAZZI (2000).

18. Exemplo de aplicação Número médio de cerdas primordiais (X1) e número médio de cerdas distais (X2) em duas raças de insetos

19. Estimativa das médias das raças A e B • Raça A, características 1 e 2 • Raça B, características 1 e 2

20. Estimativa das variâncias das raças A e B • Raça A • Raça B

21. Matriz comum de covariâncias Sc • Assumindo-se que:

22. A inversa de Sc • A matriz inversa é calculada com MATLAB • Função: inv(sc)

23. Vetor discriminante • O vetor discriminante é dado por:

24. Vetor discriminante

25. Função discriminante

26. Classificação de novos indivíduos • Ponto médio da Raça A

27. Classificação de novos indivíduos • Ponto médio da Raça B

28. Classificação de novos indivíduos • Ponto médio das populações

29. Regra de classificação • Tendo-se um novo indivíduo Xo. • Alocar em Raça A se • Alocar em Raça B se

30. Opção pool=no|test|yesProcedimento PROCDISCRIM • Determina se será usada a matriz comum ou não na análise discriminante. Se for pool=yes, o SAS usa a matriz comum para calcular as distâncias entre grupos e o resultado é uma função discriminante linear. Se pool=no, o SAS usa as matrizes de covariância de cada grupo individualmente para o cálculo das distâncias. Neste caso obtemos funções discriminantes quadráticas. O padrão do SAS é POOL=YES.

31. Prática: resolver o exercício anterior usando o SAShttp://v8doc.sas.com/sashtml/