Varia

2. Varia • Lectures obligatoires dans manuel du cours: Chapitre 5 • Probabilité en gestion et en économie, Martel et Nadeau, Sections 3.1, 3.2, 5.1, 5.2, 5.3.1. et 5.3.2

3. Plan de la séance • On poursuit l’étude des probabilités en introduisant les concepts de variable aléatoire et de distribution (ou loi) de probabilité • Distributions de probabilités discrètes • Loi Binomiale • Loi de Poisson • loi Hypergéométrique

4. Notion de variable aléatoire • Dans le chapitre précédent, pour étudier une expérience aléatoire, on a construit un modèle mathématique sur la base de trois éléments: • S (ou W): l’ensemble fondamental des résultats • Une famille d’événements associés à S • Une fonction de probabilité P • Cependant, souvent, on ne s’intéresse pas aux résultats eux-mêmes mais plutôt à une ou des caractéristiques particulières de ces résultats • Une variable aléatoire fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats d’une expérience

5. Notion de variable aléatoire • Lorsqu’on lance une pièce de monnaie 3 fois, les résultats ont la forme: (F,P,F), (F,P,P), etc. • Ce qui nous intéresse, ce n’est pas tellement un triplet particulier mais plutôt une caractéristique de ce triplet • Par exemple le nombre de faces • De plus, il arrive souvent que les résultats ne soient pas définis sous forme numérique

6. Notion de variable aléatoire • Il est pratiquement impossible d’effectuer des opérations mathématiques sur des résultats comme des triplets (P,F,P) • Il est donc utile de faire correspondre à chacun des résultats non numériques un résultat de type numérique • Ainsi à chaque triplet on fera correspondre, par exemple, le nombre réel défini comme le nombre de faces dans le triplet

7. Exemple • Dans l’espoir d’être mieux informé sur des intentions de vote lors de prochaines élections au Québec, on décide d’effectuer un sondage éclair. On choisit trois étudiants au hasard dans la classe, et on décide de les interroger sur leurs intentions de vote. On suppose qu’il y a simplement 2 partis: le parti vert (V) et le parti mauve (M). En assignant à chacun des trois étudiants la lettre V s’il se déclare pour le parti Vert et la lettre M s’il se déclare pour le parti Mauve, on obtient l’ensemble fondamental comme suit: • W= {(M,M,M), (M,V,M), (M,M,V), (V,V,V), (V,M,V),(V,V,M), (M,V,V) (V, M,M)}.

8. Exemple • Cependant, on ne s’intéresse pas à un résultat particulier, par exemple, si le premier étudiant vote pour le parti Mauve, mais plutôt disons, au nombre d’étudiants qui voteront pour le parti Mauve. Dans cette perspective, il est utile de définir une variable aléatoire qui permet d’associer à chaque résultat un nombre réel x, ce nombre étant le nombre de “Verts” dans l’échantillon de 3 étudiants. L'ensemble des nombres réels

9. X: W w (M,M,M) (M,V,M) (M,M,V) (V,M,M) (V,M,V) (V,V,M) (M,V,V) (V,V,V) 0 1 2 3 Exemple Le nombre de votants pour le parti vert

10. Variable aléatoire - Définition • Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque résultat d’une expérience aléatoire un nombre réel • Elle nous fournit un moyen de décrire de façon numérique les résultats d’une expérience • Elle associe une valeur numérique à chaque résultat possible

11. Notation • Une variable alétoire est identifiée par une lettre majuscule: • Soit X le nombre de faces obtenues en lançant 3 pièces de monnaies • Les résultats, les valeurs que X peut prendre sont représentés par une lettre minuscule x: • x= 0, 1, 2 ou 3 faces

12. Variable aléatoire discrète • Variable aléatoire discrète (V.A.D.) : • Lorsque l’ensemble des résultats est un ensemble fini ou infini dénombrable • La variable aléatoire discrète peut prendre soit un nombre fini de valeurs, soit un nombre infini dénombrable de valeurs telles 0, 1, 2, 3...

13. Variable aléatoire discrète - Exemples

14. Variable aléatoire continue • Variable aléatoire continue (V.A.C.) : • Lorsque l’ensemble des résultats est un intervalle de nombres réels ou une suite d’intervalles. • Poids, température, temps, distance, etc.

15. Variable aléatoire continue - Exemples

16. Quel type de variable aléatoire? • Représenter les valeurs de la variable aléatoire par des points sur une droite • Choisissez deux points représentant des valeurs de la variable aléatoire • Si n’importe quel point du segment formé par ces deux points représente aussi une valeur possible, alors cette variable aléatoire est continue

17. Généralités • Les notions de variables aléatoires ne nous sont pas totalement inconnues • On les a abordées sous l’angle des statistiques descriptives pour des échantillons • L’étude des lois de probabilités permet de caractériser d’une manière conceptuelle une population hypothétique et possiblement infinie • Le calcul des probabilités est l’aspect théorique des notions pratiques déjà traitées en statistiques descriptives

18. Généralités • Les notions probabilistes sont associées à une population hypothétique (ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire) • Les notions statistiques sont associées à un nombre restreint d’observations (échantillon) • La loi des grands nombres nous permet d’établir un pont entre les notions probabilistes et les notions statistiques • Elle précise que la fréquence relative d’un événement tend vers sa probabilité lorsque le nombre de répétitions de l’expérience aléatoire augmente

19. Généralités

20. Fonction de probabilité ou fonction masse de probabilité d’une variable aléatoire discrète (v.a.d.) • La distibution de probabilité d’une variable aléatoire décrit comment sont distribuées les probabilités des valeurs que peut prendre la v.a. • Définir la fonction (distribution, loi) de probabilité d’une v.a. discrète c’est associer à X, chacune des valeurs possibles de la v.a., la probabilité qui lui correspond • Pour une variable aléatoire discrète X, la distribution de probabilité est définie par une fonction de probabilité notée f(x). Celle-ci donne la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur x

21. Exemple • Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer deux dés, on considère la v.a. X = la somme des résultats des deux dés. Construire un tableau de distribution de probabilité • L’ensemble des réalisations de X est : • x = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} • Il faut maintenant calculer la fonction de probabilité associée à chacun de ces résultats: f(x)

22. Exemple • Tableau de distribution de probabilités (fonction de masse de probabilité): Pour une variable aléatoire discrète

23. X: W w (M,M,M) (M,V,M) (M,M,V) (V,M,M) (V,M,V) (V,V,M) (M,V,V) (V,V,V) 0 1 2 3 Exemple Le nombre de votants pour le parti vert f(0)=1/8 f(1)=3/8 f(2)=3/8 f(3)=1/8

24. Représentation graphique

25. Propriétés d’une fonction de probabilité • f(x)  0  x  •  f(xi) = 1

26. Exemple • Considérons les ventes d’automobiles chez le concessionnaire Automax. Les données de ventes journalières sur une durée de 300 jours sont les suivantes: au cours de 117 jours, une auto a été vendue chaque jour; au cours de 72 jours, 2 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 42 jours, 3 autos ont été vendues chaque jour, au cours de 12 jours, 4 autos ont été vendues chaque jour; au cours de 3 jours, 5 autos ont été vendues chaque jour. L’expérience consiste à sélectionner un jour parmi les 300 jours de l’opération.

27. Exemple - suite • Définissons une variable aléatoire qui représente le nombre d’autos vendues par jour: • Soit X le nombre d’autos vendues par jour • X est une variable aléatoire discrète • Les valeurs que X peut prendre sont x= 0,1,2,3,4,5 • f(x) donne la probabilité qu’on vende x autos un jour donné. • La distribution (fonction) de probabilité de x est: f(0)= 54/300=0,18 ;f(1)= 117/300=0,39 ; f(2)= 42/300=0,24 ;f(3)= 0,14 ;f(4)=0,04 ; f(5)= 0,01;

28. Exemple - suite • L’avantage de décrire une variable aléatoire et sa distribution de probabilité est qu’une fois cette distribution connue, il est relativement facile de déterminer la probabilité d’occurrences des différents événements qui peuvent présenter un intérêt • La probabilité de vendre au moins 3 automobiles au cours d’une journée est: • f(3)+f(4)+f(5)= 0,14+0,04+0,01=0,19

29. Fonction de répartition • La fonction de répartition est la somme des probabilités des valeurs xj de X (inférieures à x) jusqu’à x: • F(x) = P( X  x ) = f(x1) + f(x2) +…+ f(xj) • tel que x1, ..xj,  x - C’est la fonction de probabilités cumuléesdes valeurs de X jusqu’à xj - C’est aussi la surface sous la courbe f(x) jusqu’à la valeur xj

30. Exemple somme de 2 dés - suite

31. Représentation graphique

32. Propriétés de la fonction de répartition • Une fonction de répartition F(xi) prends ses valeurs dans l’intervalle (0, 1) • F(-) = lim F(x) lorsque x tend vers -  = 0 • F(+) = lim F(x) lorsque x tends vers +  = 1 • F(x) est non-décroissante, i.e. si x1<x2 alors F(x1) F(x2)

33. Propriétés de la fonction de répartition • Pour une variable aléatoire discrète: • P(a < X  b) = F(b) – F(a) • P(a < X < b) = F(b-) – F(a) • P(a  X < b) = F(b-) – F(a-) • P(a  X  b) = F(b) – F(a-) où : F(x-) = P(X <x)

34. Paramètres d’une v.a.d • Paramètre de tendance centrale • Espérance mathématique • Paramètres de dispersion • Variance • Écart type

35. L’espérance mathématique L’espérance mathématique d’une v.a. X permet de caractériser la tendance centrale ou la position de l’ensemble des valeurs possibles d’une v.a. Notation : E[X] ou  Si X est une v.a. discrète : E[X] =  xi f(xi)

36. Exemple 1 - suite E[X] =  xi f(xi) = 0 + 2 + …+ 12 = 252 = 7 36 36 36 36

37. La variance La variance sert d’indicateur pour l’étalement des valeurs de la variable aléatoire par rapport à  (l’espérance mathématique) Var(X) = 2 = E[(X-)2] =

38. La variance Var(X) = E[X2] – (E[X])2

39. Écart type L’écart type (déviation standard) de la variable aléatoire X, noté (X) ou simplement , est défini comme la racine carrée positive de Var(X) (X) =

40. Exercice La demande journalière Q d’un produit obéit à la loi de probabilité suivante : a) Calculer l’espérance et l’écart type de Q. b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on n’ait une rupture de stock que le dernier jour de la semaine. c) Le prix de vente d’un article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût d’une rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance. Note : Une rupture de stock survient lorsque la demande excède la quantité en main d’un article donné.

41. Rappel • Définition d’une population : • On appelle population tout ensemble sur lequel porte une étude statistique • Les éléments d’un tel ensemble s’appellent «individus» ou «unités statistiques» • Taille de la population = N

42. Rappel • Définition d’un échantillon : • On appelle échantillon tout sous-ensemble d’une population. • Taille de l’échantillon = n

43. Expérience binomiale • C’est une expérience aléatoire constituée d’une suite d’épreuves indépendantes où chaque épreuve ne peut conduire qu’aux 2 mêmes résultats possibles (succès, échec) et où chacun de ces résultats a la même probabilité de réalisation d’une épreuve à l’autre

44. Processus Bernoulli et expérience binomiale • Propriétés: • L’expérience est une série de n tirages identiques • Deux événements sont possibles à chaque tirage: succès et échec • La probabilité de succès, notée p, ne se modifie pas d’un tirage à l’autre. La probabilité d’échec q=1-p ne se modifie pas non plus • Les tirages sont indépendants • Lorsque les propriétés 1, 2, 3, et 4 sont satisfaites, il s’agit d’une expérience binomiale

45. Distribution binomiale • Si une variable aléatoire X représente le nombre de succès lorsqu’on effectue n épreuves de Bernoulli, alors X obéit à une distribution binomiale. • X  Bi (n, p) • Ce qui se lit «X obéit à une loi binomiale de paramètres n, p» • L’intérêt est de connaître le nombre de succès après n tirages

46. Distribution binomiale • n = le nombre d’épreuves de Bernoulli • p = la probabilité de succès • Définition mathématique d’une v.a. binomiale : • Une v.a. X qui prend les valeurs entières x telles que x = 0,1,2,…n pour n entier positif, 0  p  1, q=1-p, avec les probabilités : s’appelle une v.a. binomiale de paramètres n et p.

47. Distribution binomiale • Si X est une v.a. binomiale alors :

48. Exemple • Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer 2 dés où un succès consiste à obtenir une somme égale à 7. Si on répète 4 fois cette expérience aléatoire, quelle est la probabilité d’obtenir 2 succès ? • p= q= n= x= • Utilisation des tables p. 702: probabilité d’obtenir x succès en n tirages lors que p est la probabilité de succès • Quelle est la probabilité d’obtenir moins de 3 succès?

49. Exemple • Dans une population, il y a 49% de filles et 51% de garçons. Quelle est la probabilité que dans une famille de 6 enfants, il y ait au moins 3 garçons?

50. Distribution binomiale • Exemple : X~Bi (50, 0,30) • Procédure dans Excel : Insertion; fonction, Statistiques, loi binomiale. • LOI.BINOMIALE(nombre_succès;tirages;probabilité_succès;cumulative) • P( X = 19) = LOI.BINOMIALE(19;50;0,3;FAUX) = 0,0557 • P( X  19) = LOI.BINOMIALE(19;50;0,3;VRAI)= 0,915