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09. 最短路

09. 最短路. 五島. 深さ優先以外の探索. 当然こちらを先に選ぶことも可能. 深さ優先以外の探索. 深さ優先探索： 「 visit した先にある」頂点を次に visit 一般 に は， 訪問済み 頂点に隣接したどの頂点も次に 訪問可能. 深さ優先探索が選ぶ頂点 :. 様々な探索戦略. 一般の優先度探索： 目的に応じた判断基準で優先度を決める 深さ優先探索 (depth first search) 開始点から遠い頂点を先に 幅優先探索 (breadth first search) 開始点に近い頂点を先に. 0. 1. 2. 3.

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09. 最短路

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  1. 09. 最短路 五島

  2. 深さ優先以外の探索

  3. 当然こちらを先に選ぶことも可能 深さ優先以外の探索 • 深さ優先探索： • 「visit した先にある」頂点を次に visit • 一般には， • 訪問済み頂点に隣接したどの頂点も次に訪問可能 深さ優先探索が選ぶ頂点:

  4. 様々な探索戦略 • 一般の優先度探索： • 目的に応じた判断基準で優先度を決める • 深さ優先探索 (depth first search) • 開始点から遠い頂点を先に • 幅優先探索 (breadth first search) • 開始点に近い頂点を先に 0 1 2 3 深さ優先 4 0 1-1 1-2 5 2-1 2-2 2-3 2-4 幅優先

  5. visited[v] = 1  or 探索の一般形 最前線: 訪問済みから1 hop visit(s, G, visited) {F = { s }; /* Frontier */visited[s] = 1; while (F {}) {u = F.delete_one(); for v adjacents(u) { if (visited[v] == 0) {visited[v] = 1;F.add(v); } } }} 訪問済み ここでどのノードを選ぶか（だけ）で探索順序が決まる 訪問済みから>1 hop

  6. 様々な探索戦略の実現 • 深さ優先探索 • Fの中で最後に Fに入ったものを選ぶ • Fをスタック (Last-In-First-Out; LIFO) にする • コードでは，再帰呼び出しのコール・スタックで実現 • 幅優先探索 • Fの中で，開始点からの深さが最小のものを選ぶ • Fをキュー (First-In-First-Out: FIFO) にする • 一般の優先度探索 • 目的に応じた判断基準で優先度を決定 • Fを優先度付きキュー (priority queue) とする

  7. 反復深化探索 • 深さ制限つき深さ優先探索 • 深さ優先探索を，開始点からの距離(再帰呼び出しを使うならその呼び出しの深さ)に制限をつけて行う • 反復深化 • その深さ制限を徐々に増やしながら深さ優先探索を繰り返す • 利益: • 深さ優先と同じメモリ量 • visited配列を記憶しなくても，無限ループはしない • 幅優先に似た広く浅い探索 • 浅い探索の結果を，「解の有望度」として，深い探索の順序制御に用いることができる

  8. 幅優先探索の性質 • 幅優先探索によってたどられた辺(visited[v] = 1の実行を引きおこしたu  v)の集合は，sから各頂点への最短路（最小の辺数で到達する道）を与える「重みなしグラフ(重み一律)の最短路の問題」 bfs_visit(s, G, visited) {F = queue(s); /* C++ deque/list, Java : LinkedList */visited[s] = 1; while (not F.is_empty()) {u = F.deq(); /* 前から出す */ for v adjacents(u) { if (visited[v] == 0) {visited[v] = 1;F.enq(v); /* 後ろに入れる */ }}}} 1 4 7 9 3 8 6 0 5 2

  9. 最短路

  10. 最短路の問題 • 2点間を結ぶ最短の道を求める • 道の長さ: • 重みなしグラフ： 含まれる辺の数，ホップ数 • 重みつきグラフ： 含まれる辺についた重みの和 1 4 3 2 3 4 3 7 1 3

  11. わかりやすい応用例 (1/2) • 渋滞考慮無しのカーナビ • 頂点：交差点 • 辺： 2交差点を結ぶ一本道 • 辺の重み：その一本道を抜けるのにかかる時間 • 渋滞無し  重みが時刻によらず一定 • 2頂点間の最短路： 2つの交差点間を最も早く移動するドライブ・ルート • クイズ： • 一方通行，Uターン禁止，右折禁止などをどうモデル化する？

  12. わかりやすい応用例 (2/2) • インターネットのルーティング • 頂点：ネットワーク・ルータ • 辺：ケーブル • インターネットより下のレイヤ(2)で直接通信できるルータの対 • 辺の重み：パケットがそこを通ることに対するコスト • ex) バンド幅の関数（バンド幅が大きければ小さい） • 2頂点間の最短路： パケットを配送する適切な道

  13. 少し自明でない応用例 (1/2) • 時刻表を考慮した路線検索 • 頂点 (t, A) ： 時刻 t に駅 A にいるという「状態」 • 辺： • (t, A)  (u, B)：時刻 tに A駅を発車して時刻 uに B駅につく列車がある • (t, A)  (u, A)：時刻 t から u まで A駅にとどまる • 辺の重み： かかる時間（上の例では u – t） • (t, A) から (*, B)への最短路：時刻 tに A駅にいる人が最早で B駅にたどり着く経路 • 一見グラフではないものが，しばしばグラフとして表現できる

  14. 少し自明でない応用例 (2/2) • 編集距離 • 例 • 数字間の類似度は，その絶対差 • 3 と 4の類似度は，|3−4|=1 • ギャップ-と数字の類似度は3 • 数字列の類似度は，対応する数字，ギャップ間の類似度の総和 • 1234と124-の類似度は，0+0+1+3=4． • 右の例の答え： • 01-49 と • 0263-

  15. アルゴリズム • 幅優先探索 • 重みなしグラフのみ • Dijkstra （ダイクストラ）法 （必修） • 幅優先探索とほぼ同じ考え方 • 指定した一頂点から他の全頂点までの最短路を求める （一対全） • Floyd のアルゴリズム • 全ての頂点対間の最短路を求める （全体全）

  16. 幅優先探索と最短路 • 幅優先探索によって visit された頂点は，開始点からの最短路「重みなしグラフ（重み一律）の最短路の問題」 bfs_visit(s, G, visited) {F = queue(s); /* C++ deque/list, Java : LinkedList */visited[s] = 1; while (not F.is_empty()) {u = F.deq(); /* 前から出す */ for v adjacents(u) { if (visited[v] == 0) {visited[v] = 1;F.enq(v); /* 後ろに入れる */ }}}} 1 4 7 9 3 8 6 0 5 2

  17. Dijkstra 法

  18. Dijkstra 法 の 概要 • 優先度つきグラフ探索の一種： • これまでに見つかっている s* u の距離が最短の u を優先して visit • あとはほぼ「一般的な探索方法」に従うだけ • 入力： 重みつきグラフ G = A, Eとその一頂点 s (A) • 辺の重みは非負 • アルゴリズムは無向でも同様 • 出力： D[i] (iA) が，sから iへの最短距離を与えるような配列 • 最短路を与えるように変更するのは容易

  19. Dijkstra 法の概要 F ∞ 2 12 10 ∞ 1 0 9 10 V U 1 ∞ p 10 11 1 V : visited q ∞ U : unvisited F : frontier

  20. 4 8 3 1 6 2 1 start goal 4 5 dijkstra(s, G) {V= {};D = new int[n]; for (i = 0; i < n; i++) { if (i == s) D[i] = 0; else D[i] = ; } while (V  A) { pick uVthat minimizes D;V= V+ { u }; for v adjacents(u) {d = D[u] + Wu,v ; if (d < D[v]) D[v] = d; } }} Dijkstra 法：擬似コード Wu,v：辺u vの重み（距離）

  21. 1 1 1 1 4 4 5 4 1 6 0 0 0 0 3 3 3 3 7 8 9 7 0 4 Dijkstra法の動き • 赤：S （意図：最短距離確定） • 緑：暫定最短距離(startから赤だけを使う道の中での最短距離） 4 8 3 1 6 2 1 start goal 4 5

  22. 証明 F ∞ 2 12 10 ∞ 1 0 9 10 V U 1 ∞ p 10 11 1 V : visited q ∞ U : unvisited F : frontier

  23. 証明 • 前半 • V 内の最短路は確定していると仮定 • U 内の仮距離は，V 内の頂点のみを経由して到達できる最短の長さ • 仮距離が最小の頂点 p(F) を選んだとき，p までの最短路が V 内の頂点のみからなることを言えば，p までの最短路を確定できる． • pまでの最短路が V 内の頂点のみからなる： • U 内の頂点を経由して p に至る最短路があると仮定， • その経路上，F 内の頂点を q とする． • distance(s, p)> distance(s, q) + distance(p, q), distance(p, q) ≥ 0 • distance(s, p)>distance(s, q) となり，矛盾．

  24. dijkstra(s, G) {V= {}; D = new int[n]; for (i = 0; i < n; i++) { if (i == s) D[i] = 0; else D[i] = ; } while (V A) { pick uVthat minimizes D; V= V+ { u }; for v adjacents(u) {d = D[u] + Wu,v ; if (d < D[v]) D[v] = d; } }} 計算量 • 基本 • while ループは常に n（頂点数）回繰り返す • ポイント • 集合 D の表現と操作（2行） • 単純アプローチ • S：配列 V[i] = 1 iffi V; • ：線形探索 O(n) • 全体の計算量 O(n2) • 密なグラフならこれ以上は難しそう

  25. dijkstra(s, G) {S = {};D = new int[n]; for (i = 0; i < n; i++) { if (i == s) D[i] = 0; else D[i] = ; } while (S V) { pick uV – S that minimizes D; S = S + { u }; for v adjacents(u) {d = D[u] + Wu,v ; if (d < D[v]) D[v] = d; } }} dijkstra(s, G) {T = priority_queue(V);D = new int[n]; for (i = 0; i < n; i++) { if (i == s) D[i] = 0; else D[i] = ; } while (F {}) { delete uF that minimizes D; for v adjacents(u) {d = D[u] + Wu,v ; if (d < D[v]) {D[v] = d; change priority of v in Fto d; } } }} 疎なグラフ用の Dijkstra 法 • 集合 Fをヒープで表現 • 最小値の除去： O(log n) • 優先度の変更： O(log n) • 合計計算量 • O((n + m) log n) • m O(n) ならば O(n log n) • 現実の道路・鉄道・ネットワークetc.は?

  26. ヒープ • 二進木 • 親 < 子（または，親 > 子） • 挿入，削除： O(log n) 1 0 1 2 3 2 0 0 1 1 1 1 2 3 2 2 3 2

  27. 全対全 最短距離 • 方法 1： Dijkstra 法を各頂点を開始点として行う • O(n3) または O(n (n + m) log n) • 方法 2： Floydのアルゴリズム • O(n3)

  28. Floyd のアルゴリズム

  29. Floyd のアルゴリズム • 概要： • 全対全 最短距離 • O(n3) • 入出力： • 入力： 辺重みつき有向グラフ G = V, E • 出力：D[i][j] が iから jへの最短距離を与えるような 2次元配列 D • 仮定： • Dijkstra 法と異なり，負の重みがあってもよい • 重みの和が負となる閉路がない

  30. Floyd のアルゴリズム • (*) のループの不変条件： • D[k][i][j] は， • iから jへの道で， • 0, 1, …, kのみを経由する • 最短路の長さ int D[−1:n−1][0:n−1][0:n−1]; floyd(graph G) { for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) D[−1][i][j] = G.weight(i,j); for (k = 1; k < n+ 1; k++) // (*) for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) D[k][i][j] = min(D[k − 1][i][j] , D[k − 1][i][k] + D[k − 1][k][j]; }

  31. 考え方 • 考え方： • D[k − 1][i][j]：0, 1, …, k − 1 のみを経由する i, j間の最短距離 から • D[k][i][j]： 0, 1, …, k − 1, k のみを経由する i, j間の最短距離 を求める • 言い替え： • D[k − 1][i][j]： 0, 1, …, k − 1 のみを経由する i, j間の最短距離 が正しく分かっているとして，さらに k も経由していいとしたら，どうすればいいか？

  32. k回目のイタレーション 0, 1, …, k − 1 のみを経由する i, j間の最短距離 D[k − 1][i][j] i j D[k − 1][i][k] D[k − 1][k][j] 0, 1, …, k − 1 のみを経由する i, k間の最短距離 0, 1, …, k − 1 のみを経由する k, j間の最短距離 k D[k][i][j] = min(D[k − 1][i][j], D[k − 1][i][k]+ D[k − 1][k][j]) 0, 1, …, kのみを経由する i, j間の最短距離

  33. k = 0回目のイタレーション どこも経由しない i, j間の最短距離 D[−1][i][j] i j D[−1][i][0] D[−1][0][j] どこも経由しない i, 0 間の最短距離 どこも経由しない 0, j間の最短距離 0 D[0][i][j] = min(D[−1][i][j], D[−1][i][0]+ D[−1][0][j]) 0 のみを経由する i, j間の最短距離

  34. k = 1 回目のイタレーション 0 のみを経由する i, j間の最短距離 D[0][i][j] i j D[0][i][1] D[0][1][j] 0 のみを経由する i, 1 間の最短距離 0 のみを経由する 1, j間の最短距離 1 D[1][i][j] = min(D[0][i][j], D[0][i][1]+ D[0][1][j]) 0, 1 のみを経由する i, j間の最短距離

  35. 動作例 0 3 1 1 1 3 1 2 1 D[k = 0]：0 を経由 D[k = 2]：0, 1, 2 を経由 D[k = −1]：初期化後 D[k = 1]：0, 1 を経由 D[k = 3]：0, 1, 2, 3 を経由

  36. Floyd のアルゴリズム • D は2次元でよい • 単に3次元目を省略 → • 記憶量は O(n2) でよい int D[n][n]; floyd(graph G) { for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) D[i][j] = G.weight(i,j); for (k = 0; k < n; k++) // (*) for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) D[i][j] = min(D[i][j] , D[i][k] + D[k][j]; }

  37. 一対一 最短距離

  38. 一対一 最短距離？ • 一対一 最短距離： 与えられた2点間の最短距離を求める • Dijkstra 法（一対全）を使って全頂点までの距離をまず求め，目的地までの最短距離を取り出す • 一対一だけを（一対全よりも）高速に計算する方法は知られていない

  39. 探索問題

  40. 抽象的（暗黙的）なグラフ • データ構造として表せないようなグラフ • ex) 巨大 • 抽象的（暗黙的）なグラフ： • 隣接点の集合 adjacents(u) が計算できれば，「グラフ」と見ることが可能 • ex) ゲームのグラフ • 頂点：ゲームの状態（盤面） • u v：状態 uから状態 vへ「一手で」移ることが可能

  41. 探索問題 • これまで述べた探索アルゴリズムは，抽象的なグラフに対しても適用可能 • 巨大な状態空間の中からある性質を持った「ゴール・解」の「探索」 •  このような問題をしばしば「探索問題」と呼ぶ

  42. 練習問題 • グラフ探索の考え方を使って，「8パズル」を解くプログラムを書いてみよ グラフのノード数(の上界)は? 連結(どこからでもゴールできる)か? 最短(最小手数)でゴールするには? 2 3 4 7 1 5 8 6 2 3 4 7 1 5 8 6 1 2 3 4 5 6 7 8 ゴール

  43. 探索問題の困難と戦略 • 困難：探索空間が巨大（頂点数 nが大きい） • すべてを探索するには時間がかかりすぎる • メモリに収まりきらない （visited配列すべてを記憶できない） • 目的： • 特定の頂点（ゴール，解）を見つけることで， • 全頂点を見る必要はない • ゴールに早くたどり着く戦略（経験則，heuristics）が必要

  44. いくつかの経験則・戦略 • 隣接頂点 adjacents(u) の順序付け • 答えに到達する可能性が高い頂点を先に探索 • 頂点の「有望度」（例：解への近さ）を測る経験則が必要 • メモリの節約 • 深さ優先探索で訪問済み頂点 (visited) を記憶しない • 同じ頂点を 2度訪問してしまう危険性？ • グラフが木で，あり得ない場合 • 許容される場合 • 浅く広いグラフの場合になお有用（必要メモリ量 O(深さ)）

  45. 挑戦しがいのある課題 • 15パズル，ルービックキューブなど，状態空間が大きいパズルの解法 • ルービックキューブくらいなら課題2として良いかも

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