MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

1. MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours

2. Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants • Valeur actuelle d’un capital

3. Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants • Valeur actuelle d’un capital • Fonction d’actualisation

4. Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants • Valeur actuelle d’un capital • Fonction d’actualisation • Taux effectif d’escompte

5. Rappel du dernier cours:Nous avons vu les concepts suivants • Valeur actuelle d’un capital • Fonction d’actualisation • Taux effectif d’escompte • Équivalence de taux

6. Sur ce dernier point, nous avons vu que lorsque le taux effectif d’intérêt et le taux effectif d’escompte sont équivalents.

7. Exemple 1:Alex fait l’achat d’appareils électroménagers au montant total de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deux offres:1) soit qu’il paie 2400$ dans un an2) soit qu’il paie immédiatement et a un escompte de 10%.

8. Exemple 1 (suite):Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?

9. Exemple 1 (suite):Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?À quel taux d’escompte les deux options sont équivalentes?

10. Solution pour la première question:Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est

11. Solution pour la première question:Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est Dans la seconde option, la valeur après l’escompte est

12. Solution de la première question (suite):Nous pouvons conclure que la 2e optionest la plus avantageuse pour Alex.

13. Solution pour la deuxième question:Notons par le taux d’escompte pour lequel les deux options sont équivalentes. Nous avons alors

14. Donc d = 9.9099099%.Ceci est tout simplement la formule d’équivalence.

15. Autres formules d’équivalence:Nous avons vu que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

16. Explication de la formule: Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

17. Explication de la formule (suite) : Capital investi au début de la période: Nous avons

18. Explication de la formule (suite) : Capital investi au début de la période: Nous avons Capital accumulé à la fin de la période:

19. Explication de la formule (suite) : Capital investi au début de la période: Nous avons Capital accumulé à la fin de la période: Intérêt:

20. Autres formules d’équivalence:Nous avons que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

21. Explication de la formule: Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

22. Autres formules d’équivalence:Nous avons aussi que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

23. Explication de la formule: Considérons deux prêts. Le premier prêt est de 1$ et sera remboursé par le versement de dans un an.

24. Explication de la formule: (suite) Le second prêt sera remboursé par le versement de 1$ dans un an et l’emprunteur recoit initialement

25. Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est

26. Explication de la formule: (suite) L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est La différence des montants prêtés est

27. Explication de la formule: (suite) L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est La différence des montants prêtés est Mais ceci est aussi la différence entre l’intérêt des deux prêts

28. Il y a donc 4 formules à retenir:

29. Il y a donc 4 formules à retenir:

30. Il y a donc 4 formules à retenir:

31. Il y a donc 4 formules à retenir:

32. Escompte composé: (Description) Dans cette situation, nous supposons que le taux effectif d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte composé par alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation

33. Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1$ à la fin de la 1ère période:

34. Principal investi au début de la 1ère période pour avoir 1$ à la fin de la 1ère période: Principal investi au début de la 1ère période pour avoir avoir 1$ à la fin de la 2e période: En effet, pour obtenir 1$ à la fin de la 2e période, il faut

35. à la fin de la 1ère période et au début de la 1ère période.

36. Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte composé:

37. et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation: L’escompte composé est équivalent à l’intérêt composé. L’équivalence est obtenue par la formule:

38. Escompte simple: (Description) Dans cette situation, nous supposons que le montant d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte simple par alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation

39. à la fin de la 1ère période et

40. à la fin de la 1ère période et au début de la 1ère période.

41. Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte simple: Noter que nous devons supposer

42. et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:

43. et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation: L’escompte simple n’est pas équivalent à l’intérêt simple!

44. En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux d’intérêt tel que

45. Exemple 2:Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera 4000$ dans 5 ans. Le taux d’escompte composé de ce prêt est 4.75% par année. Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des 5 ans?

46. Exemple 2: (suite)Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’escompte composé de 4.75%. Nous obtenons

47. Exemple 2: (Suite)Nous aurions aussi pu calculer le taux d’intérêt composé équivalent au taux d’escompte 4.75% par année c’est-à-dire que le taux équivalent est 4.9868766%. Nous obtenons

48. Exemple 2: (Suite)Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’intérêt4.9868766% par année. Nous obtenons que Alex reçoit

49. Exemple 3:Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Elle recoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt en versant L dollars dans 5 mois. Le taux d’escompte simple de ce prêt est 5% par année. Quel est le montant remboursé L?

50. Exemple 3: (suite)Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5 mois au taux d’escompte simple 5% par année. Cette valeur est