Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu szkolnictwo.pl

1. Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2. SYMBOL NEWTONA PERMUTACJE

3. SILNIA Dla n>1 symbol n! (czyt: n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. n!=1·2·3·4·……·n Przyjmujemy, że: 0!=1 1!=1 2!=2 3!=1·2·3=6 4!=1·2·3·4=24 5!=1·2·3·4·5=120 6!=1·2·3·4·5·6=720 7!=1·2·3·4·5·6·7=5040 8!=1·2·3·4·5·6·7·8=40320 9!=1·2·3·4·5·6·7·8·9=362880 10!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10=3628800

4. 4!=1·2·3·4=24 4!=3! ·4=24 5!=1·2·3·4·5=120 5!=3!·4·5=120 5!=4!·5=120 6!=5!·6=720 6!=4!·5·6=720 6!=3!·4·5·6=720 8!=4!·5·6·7·8=40320 8!=5!·6·7·8=40320 8!=6!·7·8=40320 8!=7!·8=40320

5. PRZYKŁADY:

7. SYMBOL NEWTONA Jeżeli k≤n to wyrażenie (czytamy: n nad k) nazywamy symbolem Newtona. PRZYKŁADY:

9. PERMUTACJE Permutacją n-elementową zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Permutacje n-elementowe oznaczamy: Pn Pn=n! Ćw.1. Na ile sposobów można ustawić 6 osób w kolejce? P6=6!=1·2·3·4·5·6=720 Odp.: Sześć osób można ustawić na 720 sposoby.

10. Ćw.2. Na ile sposobów można ustawić liczby: 1,2,3,4, aby stworzyć liczby czterocyfrowe? P4=4!=1·2·3·4=24 Odp.: Można utworzyć 24 liczby czterocyfrowe. Ćw.3. W gonitwie bierze udział 11 koni. Ile jest wyników zakończenia gonitwy? (zakładamy, że każdy koń dobiegnie do mety i żadne dwa nie przebiegną razem). P11=11!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11= 39916800 Odp.: Jest 39916800 wyników zakończenia gonitwy.

11. Ćw.4. Na ile sposobów może usiąść 5 osób na ławce tak, aby • KASIA i BASIA będące w tej grupie siedziały obok siebie: • w dowolnej kolejności • w kolejności BASIA-KASIA • Ad.a) • Pięć osób może usiąść na ławce w kolejności: • K B _ _ _ • _ K B _ _ • _ _ K B _ • _ _ _ K B • 4·2! ·3!=4·2·6=48 • Ad.b) • Pięć osób może usiąść na ławce w kolejności: • B K _ _ _ • _ B K _ _ • _ _ B K _ • _ _ _ B K • 4·3!=4·6=24 • Odp.: Pięć osób może usiąść na 48 w pierwszym i 24 sposoby • w drugim przypadku. Kasia i Basia mogą się między sobą zmieniać na 2! sposoby; pozostałe 3 osoby zmienią się na 3! sposoby. Schemat obok przedstawia 4 możliwe ustawienia 5 osób. Basia i Kasia nie mogą się zmieniać między sobą, pozostałe 3 osoby zmienią się na 3! sposoby. Schemat obok przedstawia 4 możliwe ustawienia 5 osób.

12. Ćw.5. Cyfry 5,6,7,8 ustawiamy w ciąg. Oblicz ilość możliwych ustawień cyfr w liczbie jeżeli: • liczby stoją na dowolnym miejscu • P4=4!=1·2·3·4=24 • b) na pierwszym miejscu stoi cyfra 8 • P3=3!=1∙2∙3=6 • c) na pierwszym miejscu stoi cyfra 6, a na ostatnim cyfra 5 • P2=2!=2 • d) na początku są liczby parzyste • 2!∙2!=4

13. Ćw.6. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 2,3,4,5,6 w których otrzymana liczba jest: • dowolna pięciocyfrowa • P5=5!=1∙2∙3∙4∙5=120 • parzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 2 lub 4 lub 6) • 3∙4!=3∙24=72 • nieparzysta (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 3 lub 5) • 2∙4!=2∙24=48 • podzielna przez 5 (na miejscu ostatnim musi stać cyfra 5) • P4=4!=1∙2∙3∙4=24