CORSO DI CRITTOGRAFIA

1. CORSO DI CRITTOGRAFIA PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE ITGS PASCAL-UNIV. PARMA (è stato usato vario materiale di Alessandro Zaccagnini, Alessandro Languasco) Docenti: BAROZZI -SIMEONE Terzo incontro

2. CRITTOGRAFIA ASIMMETRICA Uno dei DOGMI indiscussi della crittografia classica è: LE CHIAVI DI CIFRATURA E DECIFRATURA DEVONO ESSERE TENUTE SEGRETE cioè devono essere note solo alle persone che comunicano tra loro.

3. CRITTOGRAFIA ASIMMETRICA Con l’avvento di Internet, del commercio elettronico, della home banking etc… si pongono nuovi problemi: • Com’è possibile che due persone che non si conoscono e non si fidano una dell’altra si mettano d’accordo sulla chiave di un sistema simmetrico utilizzando Internet? • Com’è possibile dialogare in modo sicuro su Internet? • Com’è possibile certificare l’identità?

4. PROTOCOLLO DEL DOPPIO LUCCHETTO Diffie ed Hellman 1975 A mette il suo messaggio per B in una scatola che chiude con un lucchetto e invia a B. B mette il suo lucchetto alla scatola e la rispedisce ad A. A toglie il suo lucchetto e rispedisce la scatola a B. B toglie il suo lucchetto e legge il messaggio.

5. PROTOCOLLO DEL DOPPIO LUCCHETTO Si noti che: • la scatola non viaggia mai senza lucchetto • né A né B ha dovuto inviare all’altro la chiave del proprio lucchetto.

6. COME REALIZZARE IL PROTOCOLLO DEL DOPPIO LUCCHETTO? PRIMA IDEA: • Dividere il messaggio in blocchi di lunghezza fissata (k) e trasformarli in un numero intero, usando per esempio il codice ASCII • Prendere un numero primo p>nk, ove n è il numero dei caratteri distinti del nostro alfabeto (26 lettere + 10 cifre numeriche + spazio + punteggiatura….), se usiamo il codice ASCII n=256 • A prende ogni singolo blocco MZp, sceglie un altro elemento aZp-{0} (il suo lucchetto) e calcola M1=a*M (mod p) • B sceglie un elemento bZp-{0} (il suo lucchetto), calcola M2=b*M1 (mod p) e trasmette M2 ad A • A toglie il suo lucchetto moltiplicando M2 per a-1, ovvero calcola M3=a-1*M2 (mod p) • B toglie il suo lucchetto moltiplicando M3 per b-1 e riottiene M QUESTO METODO NON E’ SICURO INFATTI SE UN INTRUSO RIESCE A LEGGERE I TRE MESSAGGI M1, M2, M3 OTTIENE FACILMENTE M=(M1*M3)*M2-1 (mod p). Infatti: (M1*M3)*M2-1=(a*M*a-1*M2) *M2-1=M*M2*M2-1=M

7. COME REALIZZARE IL PROTOCOLLO DEL DOPPIO LUCCHETTO? UN PROTOCOLLO FUNZIONANTE (MASSEY-OMURA): • Tutti gli utenti scelgono di comune accordo un numero primo grande p (CHIAVE PUBBLICA). • Ciascun utente sceglie due interi d,eZp-1 con la proprietà che d*e=1 (mod p-1). Chiameremo d(A), e(A) i numeri d ed e scelti da A e d(B), e(B) i numeri d ed e scelti da B. • A prende il messaggio (o una sua parte) MZp, e calcola M1=Md(A) (mod p) (applica il suo lucchetto) • B calcola M2=M1d(B) (mod p) e trasmette M2 ad A (applica il suo lucchetto) • A toglie il suo lucchetto calcolando M3=M2e(A) (mod p) • B toglie il suo lucchetto calcolando M=M4=M3e(B) (mod p) PUO’ SEMBRARE MIRACOLOSO CHE L’OPERAZIONE DI RIMOZIONE DEL LUCCHETTO COINCIDA CON QUELLA DI CHIUSURA DEL LUCCHETTO STESSO, CIOE’ SIA IL CALCOLO DI UNA POTENZA: I MATEMATICI CHIAMANO QUESTI MIRACOLI COL NOME DITEOREMI

8. FERMAT: IL PRINCIPE DEI DILETTANTI Pierre de Fermat nacque a Beaumont-de-Lomagne, vicino a Tolosa. Figlio di un mercante, studiò legge e divenne avvocato al Parlamento di Tolosa, dove si trasferì nel 1631. Nello stesso anno sposò la cugina materna Luisa de Long, dalla quale ebbe cinque figli. Lavorava duramente e scrupolosamente, ma nonostante ciò nel tempo libero si occupava di letteratura e, soprattutto, di matematica. Per questo è chiamato "il principe dei dilettanti", poiché, pur dedicandosi alla matematica solo nel tempo libero, la sua influenza sulla storia della disciplina fu notevolissima. Pubblicava le sue idee molto raramente e per lo più sappiamo delle sue scoperte grazie alla corrispondenza scambiata con altri matematici, come Mersenne o Pascal. La conoscenza di altre sue intuizioni, ci viene da suoi commenti in margine a libri che stava leggendo. Per questo motivo spesso il suo lavoro fu imputato ad altri. Morì all'età di 63 anni a Castres. Da Wikipedia

9. IL PICCOLO TEOREMA DI FERMAT PROBLEMA: trovare l’inverso di un numero in Zp. TEOREMA: Sia p un numero primo qualsiasi ed a un intero, non divisibile per p, allora ap-1=1 (mod p) CONSEGUENZA: ap-2 è l’inverso di a. DIMOSTRAZIONE: Dimostreremo una proposizione equivalente, ovvero che QUALUNQUE SIA L’INTERO a, SE p E’ UN NUMERO PRIMO, ALLORA ap=a (mod p) OVVERO p DIVIDE ap-a

10. IL PICCOLO TEOREMA DI FERMAT Dimostrazione nel caso di p=3e a=4. Consideriamo tutte le possibili collane che si possono costruire con 3 (p) perline di 4 (a) colori diversi. Queste sono 43, ovvero nel caso generico ap. A sinistra abbiamo le 4 collane monocrome con 3 perline, a destra le 43-4 collane policrome, suddivise in classi di collane equivalenti per rotazione. Ogni classe contiene esattamente 3 collane e quindi 3 deve dividete 43-4. Cioè p deve dividere ap-a.

11. OSSEY-OMURA FUNZIONA Dimostriamo ora che effettivamente M4=M. M4=Md(A)e(A)d(B)e(B) (mod p)=M(1+k(p-1))(1+h(p-1)) (mod p) = M(1+t(p-1)) (mod p)=M*(Mp-1)t (mod p)=M*1 (mod p)= M (mod p)

12. IL SISTEMA RSA (Rivest-Shamir-Adleman) Un protocollo che si utilizza molto in internet attualmente è il protocollo RSA che è stato ideato nel 1978 da Rivest, Shamir, Adleman. IDEA: diversa complessità computazionale PRIMALITA’ FATTORIZZAZIONE

13. PRIMALITA’ VS FATTORIZZAZIONE Il numero RSA-129 è un numero di 129 cifre decimali, fattorizzato nel 1994, creato secondo i criteri proposti da Rivest-Shamir-Adleman, richiede con un computer domestico parecchio tempo per essere fattorizzato (giorni), mentre in pochi secondi un qualunque PC riesce a dire che non è primo. RSA129=114381625757888867669235779976146612010218296721242362562561842935706935245733897830597123563958705058989075147599290026879543541

14. IL SISTEMA RSA • Ogni utente sceglie in modo casuale due numeri primi p e q distinti ed estremamente grandi (diciamo di circa 300 cifre decimali ciascuno) e pone n=pq • Calcola (n)=(p-1)(q-1) • Sceglie in modo casuale un intero e tale che 1<e<(n) e MCD(e,(n))=1 • Calcola d=e-1 (mod (n)) • Ogni utente quindi ha una chiave pubblica: i due valori n ed e;una chiave privata: d

15. IL SISTEMA RSA • Anna calcola M1=Me(B) (mod n(B)) • Bruno riceve M1 e calcola M=M1d(B), così Bruno può leggere il messaggio mandatogli da Anna. MESSAGGIO=M ANNA BRUNO