Pravilni mnogokuti

1. Pravilni mnogokuti • Pravilni mnogokuti • Crtanje i konstrukcija pravilnih mnogokuta

2. Pravilni mnogokuti Pravilni mnogokuti Koje mnogokute uočavaš na ovoj slici? Kakve im sve pravilnosti uočavaš? Među svim mnogokutima svojim seskladom posebno ističu pravilni mnogokuti. Kako bismo definirali pravilan četverokut? To bi trebao biti kvadrat. Je li to četverokut s jednakim duljinama stranica? Ne, to nije dovoljno, jer takav je i romb. Je li to četverokut s jednakim unutarnjim kutovima? Ne, jer takav je i pravokutnik. Moramo zahtijevati da ima i jednake duljine stranica i jednake veličine kutova. Ponekad se izgovara jednostavnije (iako neprecizno), da su im jednake stranice i jednaki kutovi.

3. Pravilan mnogokut jest konveksni mnogokut kojemu su sve stranice jednakih duljina i svi kutovi jednakih veličina. Pravilni mnogokuti Koliki je unutarnji, a koliki vanjski kut pravilnog peterokuta? Znamo da je zbroj veličina svih unutarnjih kutova peterokuta K5 = (5 – 2) ∙ 180° = 540°. Kako su u pravilnom peterokutu svi kutovi jednakih veličina, tako je svaki od njih jednak Znamo i da je zbroj veličina vanjskih kutova uvijek 360°, pa je u pravilnom peterokutu svaki od njih veličine Vidimo da je zbroj veličina unutarnjeg i vanjskog kuta 180° što i mora biti jer su oni susjedni kutovi (sukuti).

4. Veličinu unutarnjeg kuta pravilnog n-terokuta računamo prema formuli Pravilni mnogokuti Veličinu vanjskog kuta pravilnog n-terokuta računamo prema formuli Postoji li točka koja je jednako udaljena od svih stranica i svih vrhova šesterokuta? Za pravilan šesterokut takva točka postoji.

5. Pravilan mnogokut ima centar simetrije, točku koja je jednako udaljena od svih stranica i svih vrhova mnogokuta pa je i središte mnogokutu upisane i mnogokutu opisane kružnice. Pravilni mnogokuti Nacrtajmo centar simetrije te opišimo i upišimo kružnicu pravilnom peterokutu. Kako centar mora biti jednako udaljen od svih vrhova peterokuta, tako on sa susjednim vrhovima čini jednakokračni trokut. Zbog simetrije svi takvi trokuti moraju biti sukladni. To znači da im je kut uz osnovicu jednak polovici unutarnjegkuta, a kut između krakova petini punog kuta. Tako je Središte možemo naći kao presjecište simetrala unutarnjih kutova ili kao presjecište simetrala stranica. Uzevši u otvor šestara udaljenost do vrha, odnosno do stranice, možemo nacrtati opisanu i upisanu kružnicu. r – duljina polumjera upisane kružnice R – duljina polumjera opisane kružnice

6. Centar simetrije pravilnog n terokuta sa susjednim vrhovima tvori n sukladnih jednakokračnih trokuta, koje nazivamo karakterističnim trokutima pravilnog mnogokuta. Pravilni mnogokuti Kutovi uz osnovicu takvog trokuta upola su manji od unutarnjeg kuta mnogokuta, a kut određenkrakovima n-ti je dio punog kuta i nazivamo ga središnjim kutom pravilnog mnogokuta. Krak trokuta jest polumjer mnogokutu opisane kružnice, a visina trokuta polumjer je mnogokutu upisane kružnice.

7. Crtanje i konstrukcija pravilnih mnogokuta Crtanje i konstrukcija pravilnog mnogokuta svode se na crtanje i konstrukciju njegova karakterističnog trokuta. Podsjeti se, pri konstrukciji možeš koristiti samo ravnalo i šestar. Pravilni mnogokuti Nacrtajmo pravilan peterokut koji je upisan kružnici polumjera duljine R = 2.5 cm. Središnji kut pravilnog peterokuta veličine je α5 = 360° : 5 = 72°. Konstruiramo kružnicu polumjera duljine 2.5 cm. U središtu kružnice, pomoću kutomjera, nacrtamo kut veličine 72°. Njegovi kraci sijeku kružnicu u dvjema točkama A1 i A2 kojima je određena stranica peterokuta. Uzmemo u šestar duljinu te stranice i iz npr. točke A2 prenosimo po kružnici. Spojimo dužinama točke A2 i A3, A3 i A4, A4 i A5 te A5 i A1. Tako smo dobili pravilni peterokut.

8. Konstruirajmo pravilan šesterokut stranice duljine a = 2 cm. Pravilni mnogokuti Središnji mu je kut veličine 60°, pa su mu i svi kutovi karakterističnog trokuta veličine 60°. Dakle, to je jednakostranični trokut. To znači i da mu je radijus opisane kružnice 2 cm. Zato je konstrukcija jednostavna. Nacrtamo kružnicu radijusa 2 cm i taj isti otvor šestara prenesemo 6 puta po kružnici i tako odredimo vrhove šesterokuta.