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파생금융상품 실무 - Option Market -

파생금융상품 실무 - Option Market -. 제일은행 자금부 대리 신 종 찬 (johnshin@kfb.co.kr). P/L. Fwd, 9M. KRW Receivable. Option, 9M. 1 ,200 1 ,250 1 ,300. USD/KRW. Introductions to Option. Option 이란 …

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파생금융상품 실무 - Option Market -

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  1. 파생금융상품 실무- Option Market - 제일은행 자금부 대리 신 종 찬 (johnshin@kfb.co.kr)

  2. P/L Fwd, 9M KRW Receivable Option, 9M 1,200 1,250 1,300 USD/KRW Introductions to Option • Option 이란… • Definition : 금융자산을 사전에 약정한 가격(행사가격, Strike Price)으로 미래에 매입(Call) 또는 매도(Put)할 수 있는 권리(Option)의 매매(Buy or Sell). • 권리보유자(매입자)는 시장상황에 따라 권리를 행사하거나 포기할 수 있음. • 옵션매입자(Holder, Long)는 권리를 가지는 대신 대가(Premium)를 지급하며, 옵션매도자(Writer, Short)는 대가를 받는 대신 옵션 행사에 따른 의무를 가진다(리스크 부담).

  3. Introductions to Option (Cont’d) • Glossary • Call Options : Give the holder (buyer) the right, but not the obligation, to BUY the underlying asset from the writer (seller) by a given time at a given price • Put Options : Give the holder the right, but not the obligation, to SELL the underlying asset to the writer by a given time at a given price • Maturity : The “given time” is called the Expiration or Maturity date • Strike : The “given price” is called the Strike or Exercise price • European : An option that can be exercised only at the end of its life • American : An option that can be exercised at any time during its life. • Cash Option : Spot position or cash is delivered when option is exercised. • Future Option : When option is exercised, financial futures contracts is settled. • Premium : Option contract is a kind of financial assets, and its price movement depends on its undelying assets.Therefore, premium is the price of financial assets.That is, the price paid by the buyer of the options • Option Value = Intrinsic Value + Time Value 1)Intrinsic Value: Profit an Option Holder would make from exercising the option immediately, i.e., Difference Between Exercise Price and Price of the Underlying 2)Time Value: Value of Being able to Postpone Decision to Exercise. This is, the expected increase in the option’s intrinsic value in the remaining life of the option.

  4. Long a Call Long a Put -PREMIUM -PREMIUM +PREMIUM +PREMIUM Short a Put Short a Call Introductions to Option (Cont’d) • Plain Vanilla Option의 Risk Profile at Maturity

  5. Introductions to Option (Cont’d) • 옵션거래의 동기 • 일반적인 목적 : 환율위험을 헤지 • 환율방향에 대한 레버리지거래 • 환율 변동성에 대한 거래 • 포트폴리오의 위험형태를 변형시킴 • 옵션 vs. 선물환 : Flexibility • 현물환 혹은 선물환 거래에서는 매입자, 매도자 모두 계약 만기에 상호 결제하여야 하는 의무가 있지만, 옵션거래에서는 매입자는 결제이행을 청구할 권리를 갖는 반면 의무는 지지않으며, 매도자는 결제이행의 의무가 있음. • The forward contract exactly matches the existing FX position : There is neither risk of loss nor potential for gain. The option locks in the worst case at the premium paid and leaves the option holder with a potential unlimited gain in case of favorable spot moves.

  6. U$/Won Introductions to Option (Cont’d) • CASE 1: 환리스크의 선택적 Hedge • S석유의 자금담당자는 3개월후 지급할 U$표시 수입대금에 대한 환리스크를 Hedge하고자 하나, 현재의 U$/Won환율이 상당히 높은 상태이고 달러가 하락세로 접어드는 경우 큰폭의 하락이 가능하다고 생각하고 있다. 지속적인 달러 상승(Won하락)의 리스크를 피하면서도 대세 전환에 따른 이익을 기대할 수 있는 Hedge 방법은 무엇인가? • 또 그와 같은 Hedge를 실시한 후의 Risk Profile은?

  7. + = Initial Exposure Call Option 매입 Covered Exposure = Insured Receipt = Long Put Option Introductions to Option (Cont’d) • Buy U$-Call (Won-Put) Option

  8. Introductions to Option (Cont’d) • CASE 2: 우발적 환리스크의 Hedge • D 건설의 미국지사는 알제리 정부가 주관하는 발전소 공사에 응찰하고자 한다. 공사대금은 공사개시후 1년후에 전액 FFR로 지급되며 D 건설이 본공사를 수주할 확율은 50% 정도이다. 공사의 Margin이 크지않아 관련된 환리스크를 Hedge하여야 하는데 알제리 정부의 bidding process는 통상 3개월이 걸린다. • D 건설 자금부의 입장에서는 Hedge를 하지 않고 수주하였을 때의 환리스크와 Hedge를 하였으나 수주하지 못했을 때의 리스크를 모두 고려하여야 하는 것이 문제이다. • D 건설이 산정한 수주의 확율이 정확하다면 선물환으로 Hedge가 가능한가? • 수주 여부와 관계없이 환리스크를 Hedge할 수 있는 방법은?

  9. 수주 시 U$/Ffr 수주하지 못할 경우 Introductions to Option (Cont’d) • 선물환 Hedge의 문제점 • 50%의 수주확율에 따라 입찰금액의 50% 선물환 Hedge가 합리적이기는 하지만, 만기가 가까와 짐에 따라 수주의 확률은 점차 0 또는 100%에 접근할 것임 (지속적인 Hedge금액의 변경 필요) • 통화옵션에 의한 Hedge • U$-Call(Ffr-Put) Option

  10. Forward Risk Reversal 1180 1210 1242 Introductions to Option (Cont’d) • CASE 3: Zero-cost Options • Buy 1242 U$ Call with Paying 3% premium, and Sell 1180 U$ Put with Receiving 3% premium. • 옵션의 장점은 불리한 방향만을 Hedge • 옵션의 단점은 Premium의 지급 • 수개의 옵션을 매입/매도함으로써 Zero-premium 옵션을 창출 가능 옵션매입에 따른 지급 Premium = 옵션매도에 따른 수입 Premium • 옵션의 최대장점은 어떠한 형태의 Risk Profile도 구성할 수 있는 Flexibility에 있음 --> 가장 효과적인 Financial Engineering Tool

  11. OTM ATM ITM Introductions to Option (Cont’d) • Option의 가치 • Option Value = 시간가치 (Time Value) + 내재가치 ( Intrinsic Value) • Value of (Call) Option at Maturity : C = max ( S - X, 0 ) Option Value(a+b) Time Value(a) Intrinsic Value(b) (S-X) 0 K(Strike) S(Spot)

  12. Introductions to Option (Cont’d) • Intrinsic Value(내재가치) • 내재가치(S-X)란 행사가격과 선물환율과의 차이이다. • 개념적으로 내재가치는 “0”과 같거나 크다.

  13. Introductions to Option (Cont’d) • Time Value(시간가치) • 시간가치는 옵션가치에서 내재가치를 뺀 가치이다. • 즉, Time value= Option Value-Intrinsic Value. 시간가치는 미래의 불확실한 잠재적인 이익에 대한 Premium을 지불하는 것이다. 시간가치는 ATM에서 최대가 된다. • 일년 후에 1불에 800원 혹은 2,000원이 될 가능성?

  14. Introductions to Option (Cont’d) • Option가격 결정요소 • Spot price (S) • Strike price (X) • Time to expiration ( Maturity, say 182days...) • Volatility of underlying () • Risk-free interest rate (r, rf) For USD/KRW, r= KRW, rf= USD • Option가격 결정요인별 가격분석 CALL PUT • 현물환율 (S) + - • 행사가격 (X) - + • Volatility () + + • Interest Rate (r) + +/- • Time to Mature (T) + +

  15. Financial Variables’ Movement • Process of Stock Price • 충분히 짧은 시간(t)의 주가의 변화분(S)은 기대수익률()과 시간(t)의 곱 만큼이고, • 시간(t)이 0의 극한값으로 작아질 때, 다음 식이 성립한다. • 그리고, 주가(S)가 의 변동성을 갖고 움직일 때, 아래와 같은 식이 성립한다.

  16. Financial Variables’ Movement (Cont’d) • 환율 Simulations (Cont’d)

  17. Financial Variables’ Movement (Cont’d) • 환율 Simulations (Cont’d)

  18. Financial Variables’ Movement (Cont’d) • Lognormal Property of Stock price • 일반적으로 주가는 Lognormal분포를 따르기 때문에 다음과 같은 식이 성립한다. • 여기서,lnS는 평균이 (-2/2)이고, 표준편차가 T 인 정규분표를 보임을 알 수 있다.

  19. Spot USD Call Lower Volatility Higher Volatility 900 1100 1200 1300 1500 Volatility • Volatility의 의미 • High volatility means you have higher change(probability) to win the option at the maturity, so, other things being equal, the premium also much expensive.

  20. 과거 현재 미래 Historical Vol. Implied Vol. Futures Vol. Volatility (Cont’d) • High volatility equals high premium but nobody can calculate the future volatility • Types of volatilities • Futures volatility • Historical volatility • Implied volatility • Volatility smile • Risk Reversal • Volatility smile is not always uniform in both directions. • To reflect the preference for upside or downside protection

  21. Volatility (Cont’d) • Volatility & Time value • An increase in volatility does not affect the intrinsic value of an option, but does have an interesting effect on the time value of an option. • The time value of a one-year European call with a strike of Y100 calculated for a range of spot prices at different volatility levels result in the above curve. • For any ATM option, an increase in volatility will proportionately increase its time value

  22. Volatility (Cont’d) • Historical Volatility 구하기 • 과거의 특정기간 동안의 시장가격을 자연로그 (Natural Log, Ln)의 변화율(일중 로그수익률)로 구한 후 그 값에 대한 표준편차를 구하는 것. • Monthly Volatility: (Daily Data 사용 시) 1Month Volatility : Ln(St/St-1)*(과거 21일간의 표준편차)* 252 2Month Volatility : Ln(St/St-1)*(과거 42일간의 표준편차)* 252 3Month Volatility : Ln(St/St-1)*(과거 63일간의 표준편차)* 252 • 1year :252 영업일 • 재무계산에서의 로그수익률사용 • 단순수익률(Simple yield : {V2-V1} / V1)의 단점 : 예를 들어, 매년 말 자산가치가 100, 120, 100으로 변한다면, 매년의 단순 수익률은 20%, -16.7%일 것이다. 이 경우 단순 수익률의 합은 +3.3%가 된다. 그렇지만, 우리는 직관적으로 수익이 없음을 알 수 있다. • 로그수익률(Logarithm yield : Ln(V2/V1) )의 경우 수익률은 18.23%, -18.23%로 수익률의 합은 0임을 알 수 있다. • 재무계산에서는 이러한 오류와 계산의 편의를 위해 로그수익률을 사용한다. Ln(V2/V1) + Ln(V3/V2) + ….. + Ln(Vn/Vn-1) = Ln(V2/V1 * V3/V2 * ….. * Vn/Vn-1) = Ln(Vn/V1)

  23. =LN(B4/B3) =STDEV(C4:C8)*SQRT(252) =STDEV(C4:C24)*SQRT(252) Volatility (Cont’d) • Historical Volatility 구하기(Cont’d)

  24. Volatility (Cont’d) • Volatility Quotation

  25. Volatility (Cont’d)

  26. 104 (1)0.5*4=Y2 (+Y4) Expected Value for USD Call: = Y2+ 0= Y2 Y100 (-Y4) 96 (2)0.5*0=0 Option Valuation by Binomial Trees • Theoretical Option Value • Sum of Expected Values = Sum of probability * expected price change • Binomial P/L

  27. 104 (1/16) 105 (1/32) 103 (1/8) 102 (1/4) 103 (5/32) 102 101 (1/2) 101 (3/8) 100 (1/2) 101 (5/16) 100 99 (3/8) 100 99 (5/16) 99 (1/2) 98 98 (1/4) 97 (5/32) 97 (1/8) 96 (1/16) 95 (1/32) Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) • Binomial Tree • The binomial tree displays an asset’s potential price outcomes and the probability of occurrence associated with each specific time intervals. • Assumption: There is 50:50 chance price will be moved by $1 • Binomial Tree

  28. 105 104 103 103 102 102 101 101 100 101 100 100 (Spot) 99 99 99 98 Strike Y98 98 97 97 96 95 t1 t2 t3 t4 t5 T Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) • Binomial Tree & Option • The binomial tree is useful for visualizing how different variables affect options pricing • All values above(Below) the strike price line represent outcomes that would produce a payoff for a Call (Put)option • Buy U$ Call

  29. P/L Y7 Y5 Y3 Y1 0 0 105 (1/32) 104 103 103 (5/32) 102 102 101 101 100 101 (5/16) 100 100 (Spot) 99 99 (5/16) 99 98 Strike Y98 98 97 (5/32) 97 96 95 (1/32) t1 t2 t3 t4 t5 T Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) • Theoretical Value = Sum of MAX(0,Si-K) * Probability = (Y7*1/32)+(Y5*5/32)+(Y3*5/16)+(Y1*5/16)+(0*5/32)+(0*132)= Y2.25 • Given a time t1~T European call option with a strike price of Y98, the theoretical value of this call is Y2.25 • Option Value

  30. ΔSu -fu ΔS - f ΔSd -fd Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) • Concept of Binomial Option Valuation Method (No-arbitrage approach) • 주식이 양 만큼과 옵션포지션(Short Call)으로 구성된 포트폴리오(위험-중립 포지션: 기초자산의 가격변동에 따른 포트폴리오의 가치변화가 없음)의 가격변화는 다음 그림과 같을 것임. • 주가가 변할 경우 위험-중립 포트폴리오 이므로, 아래와 같은 식이 성립할 것이다. • 무위험 수익률을 r이라 한다면, 포트폴리오의 현재가치는 혹은 S0 - f 이다.

  31. Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) • 변동성을 감안한 이항모델의 일반화 (Risk neutral approach) • 위험중립적인 투자가가 향후 주가가 p(위험중립확률: Risk neutral probability)의 확률로 상승하거나 (1-p)의 확률로 하락할 것으로 가정한다면, 이항모델의 1구간 후의 주식가격은 다음과 같다. • 한편, 충분히 적은 기간 동안의 주가의 분산을 살펴보면(분산 = E(x2)- E(x)2), • 아래와 같이 요약될 수 있다. • 만약 여기에 가정을 하면, 위의 식을 만족하면서 다음과 같을 결과가 도출될 것(Cox, Ross, Rubinstein 1979년)이고, 옵션 가격도 계산될 것임.

  32. Su2d1 f3,2 Su2d0 f2,2 Su1d1 f2,1 Su1d2 f3,1 SuNd0 fN,N SuN-1d0 fN-1,N-1 Su0d3 f3,0 Su0d2 f2,0 SuN-1d1 fN, N-1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ SuN-1d1 fN-1,N-2 SuN-2d2 fN,N-2 ~ ~ Su1d0 f1,1 Su3d0 f3,3 SujdN-j fN,j S f Suj-1dN-j-1 fN-1,j-1 Su0d1 f1,0 Suj-1dN-j+1 fN,j-1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Su0dN-1 fN,1 Su0dN fN,0 Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) • 변동성을 감안한 이항모델의 일반화(Risk neutral approach) (Cont’d) • 이항을 일반화 시켰을 때, 향후 주가의 움직임은 다음과 같고, 그때의 옵션가치는 그림과 같이 표현될 것임. • 이때 각 이항에서의 옵션가격은 다음과 같이 표현될 수 있음.

  33. Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) • 이항모델의 통화옵션 적용 • 배당이 없는 주식에서와 마찬가지로, 무위험 수익률 r대신 r-rf의 수익을 보이므로, 다음과 같은 관계가 성립한다. • 따라서 통화옵션의 경우도, 주식과 마찬가지로 이항모델을 이용하여 옵션가격을 산출할 수 있다. 단, 통화옵션의 할인계수가 Exp(-rt)임을 유의해야 한다.

  34. $110.25 fuu=$10.25 $105 fu $99.75 fud=$0 $100 f $95 fd $90.25 fdd=$0 Binomial Option Pricing Example I (Call Option) • Option pricing of Non-dividend stock • 현재 주가가 $100이고, 1개월간 5.00%상승하거나 5.00%하락이 예상된다면, 2개월 행사가격 $100인 콜옵션 가격은 얼마인가? 단, 무위험 수익률은 연속복리로 년 6%로 가정하고, 2기간으로 Pricing하면… • 무위험 차익거래에 의한 가격산정 (No-arbitrage or Riskless hedge approach) • 1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950 • fu의 경우, • Δ= • Δ*$105 – fu = 0.9950 * (Δ*$110.25-$10.25) • fu = $ 5.6118 • fd의 경우, • Δ= , Δ*$95 – fd = 0.9950 * (Δ*$99.75-$0) • fd = $0 • f의 경우, • Δ= , Δ*$100 – f = 0.9950 * (Δ*$105-$5.6118) • f = $3.0725 =5.6118 =3.0725 =0

  35. $110.25 fuu=$10.25 $105 fu $99.75 fud=$0 $100 f $95 fd $90.25 fdd=$0 Binomial Option Pricing Example I (Call Option) • Risk-neural probability에 의한 가격산정 • 1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950 • fu의 경우, • fu = 0.9950*(0.550125*$10.25+(1-0.550125)*$0)=$5.6106 • fd의 경우, • fd = 0.9950*(0.550125*$0+(1-0.550125)*$0)=$0 • f의 경우, • f = 0.9950*(0.550125*$5.6106+(1-0.550125)*$0) = $3.0711 • 가격차이는 P값의 계산과정에서 발행 =5.6106 =3.0711 =0

  36. $110.25 fuu=$0 $105 fu $98.7 fud=$1.3 $100 f $94 fd $88.36 fdd=$11.64 Binomial Option Pricing Example II (Put Option) • Option pricing of Non-dividend stock • 현재 주가가 $100이고, 1개월간 5.00%상승하거나 6.00%하락이 예상된다면, 2개월 행사가격 $100인 풋옵션 가격은 얼마인가? 단, 무위험 수익률은 연속복리로 년 6%로 가정하고, 2기간으로 Pricing한다면… • 무위험 차익거래에 의한 가격산정 (No-arbitrage or Riskless hedge approach) • 1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950 • fu의 경우, • Δ= • Δ*$105 – fu = 0.9950 * (Δ*$110.25-$0) • fu = $ 0.52884 • fd의 경우, • Δ= , Δ*$94 – fd = 0.9950 * (Δ*$98.7-$1.3) • fd = $5.5 • f의 경우, • Δ= , Δ*$100 – f = 0.9950 * (Δ*$105-$0.52884) • f = $2.5485 =0.52884 =2.5485 =5.5

  37. $110.25 fuu=$0 $105 fu $98.7 fud=$1.3 $100 f $94 fd $88.36 fdd=$11.64 Binomial Option Pricing Example II (Put Option) • Risk-neural probability에 의한 가격산정 • 1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950 • fu의 경우, • fu = 0.9950*(0.5910*$0+(1-0.5910)*$1.3)=$0.5290 • fd의 경우, • fd = 0.9950*(0.5910*$1.3+(1-0.5910)*$11.64)=$5.5014 • f의 경우, • f = 0.9950*(0.5910*$0.5290+(1-0.5910)*$5.5014) = $2.5498 • 가격차이는 P값의 계산과정에서 발행 =0.5290 =2.5498 =5.5014

  38. 1,350 fuuu=0 1,300 fuu 1,250 fuud=0 1,250 fu 1,200 f 1,200 fud 1,150 fudd=50 1,150 fd 1,100 fdd 1,050 fddd=150 Binomial Option Pricing Example III (Currency Option) • Pricing of Currency Option • 현재 달러/원 환율이 달러당 1,200원이고, 달러화 3개월 금리가 2.0%이고, 원화 3개월 금리가 5.0%일 때 행사가격이 1,200원인 3개월 미국식 달러 풋 옵션의 가격은 얼마인가? 단, 매월 달러/원 환율이 50원씩 상승하거나 하락한다고 할때 3기간에 대한 옵션 가격을 구하면… • 무위험 차익거래에 의한 가격산정 (No-arbitrage or Riskless hedge approach) • 1개월 간의 할인율 = exp(-5%*1/12)=0.99584 • fuu의 경우, • Δ= • Δ*1,300 – fuu = 0.99584 * (Δ*1,350- 0) • fuu = 0 • fud의 경우, • Δ= • Δ*1,200 – fud = 0.99584 * (Δ*1,250- 0) • fud = 22.4 • fdd의 경우, • Δ= • Δ* 1,100 – fdd = 0.99584 * (Δ* 1,150 - 50) • fdd = 95.008, => fdd = 100 =0 =22.4 =100

  39. 1,350 fuuu=0 1,300 fuu=0 1,250 fuud=0 1,250 fu 1,200 fud=22.4 1,200 f 1,150 fudd=50 1,150 fd 1,100 fdd=100 1,050 fddd=150 Binomial Option Pricing Example III (Currency Option) • 무위험 차익거래에 의한 가격산정 (Cont’d) • fu의 경우, • Δ= • Δ*1,250 – fu = 0.99584 * (Δ*1,300- 0) • fuu = 9.989 • fd의 경우, • Δ= • Δ*1,150 – fd = 0.99584 * (Δ*1,200- 22.4) • fud = 57.233 • f의 경우, • Δ= • Δ* 1,200 – f = 0.99584 * (Δ* 1,250 -9.989) • f = 31.113 =9.989 =31.113 =57.233

  40. 1,356.32 0.00 1,302.07 0.00 1,249.99 1,249.99 10.95 0.00 1,200.00 1,200.00 32.80 22.92 1,152.00 1,152.00 56.80 48.00 1,105.93 94.07 1,061.69 138.31 Binomial Option Pricing Example IV (Currency Option) • 이항모델을 이용한 풋 옵션 가격계산(Excel에 의한 계산) • 환율(So)=1,200 • 행사가격(X)=1,200 • 원화금리(r)=5% • 달러금리(rf)=2% • 변동성=14.14% • 기간=3개월(0.25) • 이항갯수(N)=3 (t=0.08333) • 할인계수=0.99584 • 성장계수(a)=1.0025 • 상승확률(p)=0.52045 • u=1.04166 • d=0.96000 • 22.92 = Max[(1200-1200) , 0.99584 * (0.52045*0 + (1-052045) * 48)] • 94.07 = Max[(1200-1105.93) , 0.99584 * (0.52045* 48 + (1-052045) * 138.31) ] • 10.95 = Max[(1200-1249.99) , 0.99584 * (0.52045*0 + (1-0.52045) *22.92) ] • 56.80 = Max[(1200-1152.00) , 0.99584 * (0.52045 * 22.92 + (1-0.52045) * 94.07) ] • 32.80 = Max[(1200-1200) , 0.99584 * (0.52045 * 10.95 + (1-0.52045)*56.80) ]

  41. Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) • Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code • 엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Binomial Tree를 이용한 통화옵션 가격산정 Function Binomial_European(S, X, Sday, Mday, Vol, r, rf, Call_Put, N) Dim St(0 To 200, 0 To 200) As Double Dim optlet_price(0 To 200, 0 To 200) As Double tau = (Mday - Sday) / 365 dt = tau / N u = Exp(Vol * Sqr(dt)) d = 1 / u a = Exp((r - rf) * dt) b = Exp(-r * dt) P = (a - d) / (u - d) For i = 0 To N For j = 0 To i St(i, j) = S * u ^ j * d ^ (i - j) Next j Next i For j = 0 To N If (Call_Put = "Call") Then optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(St(N, j) - X, 0) Else optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(X - St(N, j), 0) End If Next j For i = N - 1 To 0 Step -1 For j = 0 To i optlet_price(i, j) = (P * optlet_price(i + 1, j + 1) + (1 - P) * optlet_price(i + 1, j)) * b Next j Next i Binomial_European = optlet_price(0, 0) End Function

  42. Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d) • Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code (Cont’d) • 엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Binomial Tree를 이용한 통화옵션 가격산정 Function Binomial_American(S, X, Sday, Mday, Vol, r, rf, Call_Put, N) Dim St(0 To 200, 0 To 200) As Double Dim optlet_price(0 To 200, 0 To 200) As Double tau = (Mday - Sday) / 365: dt = tau / N u = Exp(Vol * Sqr(dt)): d = 1 / u a = Exp((r - rf) * dt): b = Exp(-r * dt) P = (a - d) / (u - d) For i = 0 To N For j = 0 To i St(i, j) = S * u ^ j * d ^ (i - j) Next j Next i For j = 0 To N If (Call_Put = "Call") Then optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(St(N, j) - X, 0) Else: optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(X - St(N, j), 0) End If Next j For i = N - 1 To 0 Step -1 For j = 0 To i optlet_price(i, j) = (P * optlet_price(i + 1, j + 1) + (1 - P) * optlet_price(i + 1, j)) * b If (Call_Put = "Call") Then optlet_price(i, j) = Application.WorksheetFunction.Max(St(i, j) - X, optlet_price(i, j)) Else: optlet_price(i, j) = Application.WorksheetFunction.Max(X - St(i, j), optlet_price(i, j)) End If Next j Next i Binomial_American = optlet_price(0, 0) End Function

  43. Black-Scholes Model • Black-Scholes Option Pricing Model • Fisher Black, Myron Scholes, & Robert Merton, 1973 • Nobel Prize for economics, 1997 • 기본가정 • 주가는 일정한 평균과 변동성을 가지며 로그분포를 보인다. • 주가의 공매가 완전한 상태이고, 세금과 거래비용이 없다. • 만기까지 배당이 없으며, 무위험 차익거래의 기회가 없다. • 무위험 수익률은 만기까지 일정하며, 거래가 연속적이다. • 유럽식 Call 옵션가격 • 위의 가정이 성립할 때, 무배당 주식의 유럽식 옵션 가격은 다음과 같다.

  44. Black-Scholes Model (Cont’d) • 유럽식 Put 옵션 가격 • Key Result • Key Result의 증명 • 이때, 아래와 같이 가정하고, • H(Q)는 Q에 대한 확률밀도함수 일 때,

  45. m (lnF-m)/s Black-Scholes Model (Cont’d) • Key Result의 증명 (Cont’d)

  46. Black-Scholes Model (Cont’d) • Black-Scholes 통화옵션식의 도출 • 환율 또한 주가와 같이 GBM을 따르고, 위험-중립적이라면, 아래와 같은 식이 성립한다. • 환율은 연속복리 배당(q)을 하는 주가와 동일하므로, S0 대신 S0 Exp(-qT) 혹은 S0 Exp(-rf*T)를 대입한 것과 동일하다.(달러/원 환율의 경우 rf는 달러화 금리) • 앞서, Black-Scholes는 아래의 왼쪽 식과 같았으므로, 오른쪽의 유럽식 통화옵션 가격식이 도출된다.

  47. +Call +Forward - Put Black-Scholes Model (Cont’d) • Put-Call Parity • 유럽식 콜옵션과 풋 옵션간에는 아래와 같은 관계가 성립한다. • 즉 Call매입과 Put 매도는 선물환의 매입포지션과 동일.

  48. Black-Scholes Model (Cont’d) • Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code • 엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Black-Scholes 통화옵션 가격산정 Function EC(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) As Double Dim t As Double Dim d1 As Double Dim d2 As Double t = (Mday - Sday) / 365 d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5) d2 = d1 - vol * t ^ 0.5 EC = Exp(-rf * t) * S * Application.NormSDist(d1) - Exp(-r * t) * X * Application.NormSDist(d2) End Function Function EP(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) As Double Dim t As Double Dim d1 As Double Dim d2 As Double t = (Mday - Sday) / 365 d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5) d2 = d1 - vol * t ^ 0.5 EP = Exp(-r * t) * X * Application.NormSDist(-d2) - Exp(-rf * t) * S * Application.NormSDist(-d1) End Function

  49. Option price Call FWD(Delta=1) Slope = D B Stock price A Option Sensitivity (Delta) • 델타(Delta) • 앞서 옵션가격 산정에서 보았듯이, 의 함수이다. • 델타()는 기초자산 가격변화에 대한 옵션가격 변화이다. 로 옵션가격의 기울기이다. • 유럽식 옵션의 델타 • Black-Scholes 옵션 가격계산으로 부터, • 통화옵션의 델타 • 옵션가격계산에서와 마찬가지로 r대신 r-rf를 대입하면 다음과 같다.

  50. Delta of Put S X Delta Delta of Call 1.0 ITM ATM X S -1.0 Time Option Sensitivity (Delta; Cont’d) • 델타는? • 기초자산 가격변화에 따른 민감도 • 기초자산 보유 상당액(헤지비율) • 통상적인 콜옵션의 경우 0~1사이이고, 풋옵션은 -1~0사이. ATM옵션의 델타는 0.50 • 기초자산(S) 가격변화에 따른 델타의 변화 OTM X

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