Download
1 / 13
150 likes | 409 Views
Dôvodenie a dôkazy. Teória a príklady. Základné pojmy. Výrok – oznamovacia veta, pri ktorej vieme určiť či je pravdivá, alebo nepravdivá Hypotéza – oznamovacia veta, podobného tvaru ako výrok, ale nepoznáme jej pravdivostnú hodnotu Dôkaz – spôsob, akým z hypotézy spravíme výrok.
E N D
Dôvodenie a dôkazy Teória a príklady
Základné pojmy • Výrok – oznamovacia veta, pri ktorej vieme určiť či je pravdivá, alebo nepravdivá • Hypotéza – oznamovacia veta, podobného tvaru ako výrok, ale nepoznáme jej pravdivostnú hodnotu • Dôkaz – spôsob, akým z hypotézy spravíme výrok Dôkaz HYPOTÉZA VÝROK
Dôkazy matematických viet - hypotéz 1. Dôkazy jednoduchých výrokov a) Priamy (A & (A=>B))=>B b) SporomA v A’ 2. Dôkazy implikácií • Priamy (A & (A=>B))=>B • NepriamyB’ => A’ • Sporom(A & B‘) => spor 3. Dôkazy matematickou indukciou
1. Dôkazy jednoduchých výrokov • Priamy – vychádzame z ľubovoľného pravdivého výroku (vhodne zvoleného) a použitím úsudku „modus ponens“ dôjdeme k tvrdeniu vety. (A & (A => B)) => B • Sporom – použijeme pravidlo „vylúčenia tretieho“, negáciou pôvodnejvety prídeme k sporu s predpokladom. A v A’
2. Dôkazy implikácií • Priamy – z predpokladu vety prídeme reťazou pravdivých implikácií k záveru. A B • Nepriamy – využijeme fakt, že pôvodný výrok a obmenený výrok majú rovnakú pravdivostnú hodnotu (modus tollens). • B’A’ c) Sporom – ukážeme, že negáciapôvodného výroku vedie k sporu s predpokladom A& B’spor
Ukážky dôkazov: implikácia priamo 2. a) V: Pre každé prirodzené číslo n platí: Ak 2In, potom 2In2. D: 2I n n = 2*k n2 = 2*(k*2*k) 2I n2 (q.e.d.)
Ukážky dôkazov: implikácia nepriamo 2. b) V: Pre každé prirodzené číslo n platí: Ak 2In2, potom 2In. D: Obmena: Ak n nie je deliteľné 2, potom ani n2 nie je deliteľné 2. n = 2*l-1 n2 = 4l2-2l+1=2*(2l2-l)+1 (q.e.d.)
Ukážky dôkazov: implikácia sporom 2. c) V: Pre každé prirodzené n platí: Ak 2In, potom aj 2In2. D: Negácia: Existuje prirodzené číslo n, pre ktoré platí: 2In a n2 nie je deliteľné 2. n=2*l n2 = 2*(l*2*l) 2In2 je spor s predpokl. n2 nie je del. 2 Pravdivá je teda pôvodná veta. (q.e.d.)
3. Dôkazy matematickou indukciou Používame ak chceme ukázať, že dané tvrdenie platí pre všetky prirodzené čísla, prípadne inú, dopredu danú nekonečnú postupnosť. Má dve časti: • Báza: Ukážeme, že tvrdenie platí pre najmenšie číslo z postupnosti (n = 1). • Indukčný krok: Ukážeme, že ak tvrdenie platí pre n = m (indukčný predpoklad), tak platí aj pre n = m + 1.
Ukážky dôkazov: mat. indukciou 3. V: Pre súčet prvých n po sebe idúcich prirodzených čísel platí: D: • Platí pre n=0. • Ak platí pre n=m, tak platí aj pre n=m+1. Domino efekt: Platí pre 0. Ak platí pre 0, platí aj pre 1. Ak platí pre 1, platí aj pre 2. ...
Úlohy – obmena implikácie Napíš obmenu vety: 1. Ak chodím do školy, potom múdriem. 2. Ak som zdravý, potom športujem. 3. Ak športujem, potom som zdravý. 4. Ak je tma, potom svietim.
Úlohy – negácia implikácie Napíš negácie uvedených viet: 1. Ak prší, potom je mokro. 2. Ak je mokro, tak pršalo. 3. Ak je niekto prvý, potom je víťaz.
Úlohy – dôkazy • Súčet troch po sebe idúcich prirodzených čísel je deliteľný tromi. (priamo) • Pre každé prirodzené číslo platí, že číslo 6 je deliteľom čísla n3-n. (priamo) • Ak 5 delí n2+1, tak 5 nedelí n. (obmena) • Odmocnina z 2 nie je racionálne číslo.Prvočísel je nekonečne veľa.(sporom)
