Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis

1. Cálculo II Limites e Continuidade de Funções de Várias Variáveis

2. Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis O limite da função f(x,y), quando (x,y) tende para um valor (x0,y0), é o número L (se existir) e é representado por Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0, y0), dizemos que a função é contínua neste ponto. Caso contrário a função será descontínua no ponto. O mesmo é válido para um intervalo, isto é, a função é contínua num intervalo quando o limite existe em todos seus pontos desse intervalo. Em geral é fácil verificar a continuidade das funções, por simples inspeção da mesma.

3. Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis Nas funções abaixo o limite existirá sempre, com exceção nas restrições.

4. Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

5. Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

6. Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

7. Limite e Continuidade de Funções de 2 Variáveis

8. Limite O conceito de limite de funções ordinárias pode ser estendido para funções de várias variáveis. Assim, diz-se que f(x,y) tende para um valor definido L (ou que lim f(x,y) = L), quando o par (x,y) se aproxima de (xo,yo), se quanto mais perto (x,y) estiver de (xo,yo), mais perto f(x,y) estará de L.

9. Limite de f(x,y)

10. Propriedades dos Limites Considerando f(x,y) e g(x,y) funções de duas variáveis, com lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = L e lim (x,y)(xo,yo) g(x,y) = M  0. 1º) lim (x,y)(xo,yo) L = L 2º) lim (x,y)(xo,yo) K.f(x,y) = k.lim (x,y)(xo,yo) f(x,y) = k.L 3º) lim (f + g) = lim f + lim g = L + M 4º) lim (f / g) = lim f / lim g = L / M 5º) 6º) De maneira geral, Lim {[OP[f(x,y)]} = OP[lim f(x,y)] = OP(L)

11. Calculando Limites

12. Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem: Calculando Limites

13. Determinar o valor dos seguintes limites, quando existirem: Calculando Limites

14. Calculando Limites Para o cálculo de limites de funções polinomiais e “funções lineares” é só substituir os valores para os quais de x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre indeterminação, ao fazer este procedimento, deve-se então usar a regra dos “dois caminhos”.

15. Exemplo da Regra dos Dois Caminhos Mostrar que não existe. Como f(xo,yo) = 0/0 = indeterminação

16. Regra dos Dois Caminhos z 1°caminho 2°caminho y x Os limites são diferentes, logo não há o limite. Então, façamos, (x,y) tender para (0,0), pelo eixo x e pela reta y = x (“dois caminhos”). (1º caminho) (2º caminho)

17. Continuidade de Funções de Várias Variáveis O conceito de continuidade de uma função f(x,y) é o mesmo já descrito para funções ordinárias. Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se lim(x,y)⃗(xo,yo)f(x,y) existe e é igual à f(xo,yo). EXEMPLO: Mostrar que não é contínua em (x,y) = (0,0)

18. Propriedades da Continuidade Se f(x,y) e g(x,y) são contínuas em (xo,yo), então: • f(x,y) + g(x,y) também é contínua. • f(x,y) . g(x,y) também é contínua. • f(x,y) / g(x,y) também é contínua. • u(x,y) = w[g(x,y)] também é contínua.