Bewegungsplanung bei unvollständiger Information Ausweg aus einem Labyrinth

1. Bewegungsplanung • bei unvollständiger Information • Ausweg aus einem Labyrinth • Finden eines Punktes in unbekannter Umgebung • Kompetitive Strategien • Beispiel: Online-Bin-Packing • Beispiel: Suche nach einer Tür in einer Wand Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

2. Ausweg aus einem Labyrinth • Gegeben sei ein punktförmiger Roboter, der nur über einen Tastsensor und einen Winkelzähler verfügt. • Gesucht ist eine Strategie, mit der der Roboter aus jedem unbekannten Labyrinth herausfindet, wenn es überhaupt einen Ausweg gibt. • Herausfinden = den Rand der konvexen Hülle des Labyrinths erreichen • = (Entkommen = true) Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

3. 1. Versuch: An der Wand entlang • Wähle Richtung beliebig; • repeat • folge Richtung • untilWandkontakt; • repeat • folge der Wand • until Entkommen Willkürliche Festlegung: Sobald der Roboter auf ein Hindernis trifft, dreht er sich rechts herum und läuft so an der Wand entlang, dass sich die Wand stets links von ihm befindet. Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

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6. 2. Versuch: Möglichst in Anfangsrichtung • Wähle Richtung beliebig; • Winkelzähler = 0; • repeat • repeat • folge Richtung • untilWandkontakt; • repeat • folge der Wand • until Winkelzähler mod 2π = 0 • untilEntkommen • Roboter läuft in • Anfangsrichtung, • wann immer seine Nase • in diese Richtung zeigt! • Winkelwerte: • Linksdrehung: positiv • Rechtsdrehung: negativ Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

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9. 3. Versuch: Pledge Algorithmus • Wähle Richtung beliebig; • Winkelzähler = 0; • repeat • repeat • folge Richtung • untilWandkontakt; • repeat • folge der Wand • until Winkelzähler= 0 • untilEntkommen Vermeidet Endlosschleifen! Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

10. Korrektheit des Pledge Algorithmus • Satz: Der Pledge Algorithmus findet in jedem Labyrinth von jeder Startposition aus einen Weg ins Freie, von der überhaupt ein Ausweg existiert. • Lemma 1: Der Winkelzähler W nimmt niemals einen positiven Wert an. • Bew. 1: Anfangs ist W = 0, sobald ein Hindernis angetroffen wird, wird W negativ, sobald W = 0 wird, löst sich der Roboter vom Hindernis und wandert in Ausgangsrichtung bis zum nächsten Hindernis! Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

11. Zu zeigen: Falls der Roboter nach dem Pledge Algorithmus keinen Weg ins Freie findet, gibt es keinen solchen Weg. • Lemma 2: Angenommen, der Roboter findet nicht aus dem Labyrinth heraus. Dann besteht sein Weg bis auf ein endliches Anfangsstück aus einem geschlossenen Weg, der immer wieder durchlaufen wird. • Sei P der geschlossene Weg, den der Roboter bei seinem vergeblichen Versuch, aus dem Labyrinth zu entkommen, immer wieder durchläuft. • Lemma 3: Der Weg P kann sich nicht selbst kreuzen. Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

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13. Bew. des Satzes: • Fall 1: Roboter durchläuft P gegen Uhrzeigersinn. • Fall 2: Roboter durchläuft P im Uhrzeigersinn. Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

14. Finden eines Punktes in unbekannter Umgebung • Aufgabe: Roboter soll Zielpunkt in einer unbekannten Umgebung finden • Erweiterung der Fähigkeiten des Roboters: • Er kennt zu jedem Zeitpunkt seine eigenen (globalen) Koordinaten • Er kennt die (globalen Koordinaten des Zielpunktes. • Strategie Bug: • Roboter läuft solange auf Zielpunkt zu, bis er auf ein Hindernis trifft. Dies wird einmal umrundet. Dabei merkt sich der Roboter denjenigen Punkt auf dem Rand des Hindernisses, der dem Zielpunkt am nächsten ist, und kehrt nach der vollständigen Umrundung dorthin zurück. Von diesem Punkt aus wird der Weg in gleicher Weise fortgesetzt. Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

15. repeat • repeat • laufe auf Zielpunkt zu • untilWandkontakt; • A =AktuellePosition; (*auf Hinderniswand*) • D = AktuellePosition; (*zum Zielpunkt nächster bisher besuchter Punkt auf Hinderniswand*) • repeat • rücke AktuellePosition entlang der Wand vor; • ifAktuellePosition näher an Zielpunkt als D • then D = AktuellePosition • until AktuellePosition= A; • gehe auf kürzestem Weg längs Hinderniswand zu D • untilZielpunktErreicht Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

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17. Eigenschaften der Strategie Bug • Die Strategie Bug findet stets einen Weg vom Startpunkt s zum Zielpunkt t, wenn ein solcher Weg überhaupt existiert. (Beweis: vgl. R. Klein) • Der von der Strategie Bug zurückgelegte Weg kann beliebig viel länger sein als der kürzeste Weg von s nach t. Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

18. Kompetitive Strategien: Beispiel Bin-Packing • Aufgabe: Gegeben eine Folge o1, o2, … von Objekten mit Größe ≤ 1. Verpacke die Objekte so in Kisten mit Größe 1, dass möglichst wenige Kisten gebraucht werden. • Next-fit-Strategie: Packe das jeweils nächste Objekt in dieselbe Kiste wie das vorangehende, wenn es da noch hineinpasst, sonst mache eine neue Kiste auf. • Die Next-fit-Strategie verbraucht höchstens doppelt so viele Kisten, wie bei optimaler Packung erforderlich wären. Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

19. Kompetitivität einer Strategie • Sei P ein Problem und S eine Strategie, die jedes Problem P aus P korrekt löst und dabei Kosten KS(P) verursacht. • Strategie S heißt kompetitiv mit Faktor C, wenn es eine Konstante A gibt, sodass für jedes Beispiel P P gilt: • KS(P) ≤ C Kopt(P) + A, mit • Kopt(P) = Kosten einer optimalen Lösung • Next-fit ist kompetitiv mit Faktor 2. Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

20. Suche nach einer Tür in einer Wand • Roboter mit Tastsensor soll eine Tür in einer (beliebig langen) Wand finden, die sich in unbekanntem Abstand d und unbekannter Richtung vom Startpunkt befindet. • 1. Versuch: Wechsele Suchrichtung und erhöhe Suchtiefe inkrementell um je 1. Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

21. Verdopplungsstrategie • 2. Versuch: Verdopple die Suchtiefe nach jedem Richtungswechsel. Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann

22. Eigenschaften der Verdopplungsstrategie • Satz 1: Die Strategie der abwechselnden Verdopplung der Suchtiefe ist kompetitiv mit dem Faktor 9. • Satz 2: Jede kompetitive Strategie zum Auffinden eines Punkts auf einer Geraden hat einen Faktor ≥ 9. • Das Prinzip der exponentiellen Vergrößerung der Suchtiefe ist erweiterbar auf andere und mehr als zwei Suchräume. • Satz 3: Diese Suchstrategie für m Halbgeraden ist kompetitiv mit dem Faktor • (2mm / (m -1)m-1) + 1 ≤ 2em +1 • Dabei ist e = 2.718… die Eulersche Zahl. Computational Geometry Prof. Dr. Th. Ottmann