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Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos. Obtenção de raízes complexas Método de Newton-Bairstow. Obtenção de raízes complexas . O método de Newton também pode ser usado para obter raízes complexas, utilizando aritmética complexa.

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Cálculo Numérico / Métodos Numéricos

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Presentation Transcript

  1. Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Obtenção de raízes complexas Método de Newton-Bairstow

  2. Obtenção de raízes complexas • O método de Newton também pode ser usado para obter raízes complexas, utilizando aritmética complexa. • Neste caso, veremos um método que obtém raízes complexas usando aritmética real. • Se P(x) é um polinômio da forma: e os coeficientes são reais, então as raízes complexas aparecem em pares conjugados, como solução de uma equação:

  3. Quociente e resto: • Podemos expressar P(x) como: • Obviamente, se  e  são raízes, b0 e b1 são iguais a zero. • Vamos determinar quem são os coeficientes de Q(x). Multiplicamos Q(x) pelo termo quadrático e igualamos os coeficientes:

  4. Igualando termos Rearrumando: =

  5. Termo a termo: Como anteriormente, fazemos um “esquema prático” para cálculo: an an-1 an-2 ... a2 a1 a0 + + + + +  bn bn-1 ... b3 b2 b1 + + + +  b3 b2 bn ... b4 bn bn-1 bn-2 ... b2 b1 b0

  6. Sistema não linear • O que queremos são valores de  e  que façam com que b0 e b1 se anulem. Note que b0 e b1 são funções de  e . Podemos resolver este sistema através do método de Newton para sistemas não lineares.

  7. Lembrete: método de Newton para sistemas ñ-lineares No nosso caso:

  8. 1  Calculando as derivadas parciais ()

  9. 1  Calculando as derivadas parciais () cn cn-1 cn-2 cn c4 c3 c2 cn cn-1 c3 c1 c2

  10. 1  Calculando os ci‘s Procedimento prático aplicável cn cn-1 cn-2 cn c4 c3 c2 cn cn-1 c3 c1 c2

  11. Procedimento prático: an an-1 an-2 ... a2 a1 a0 + + + + +  bn bn-1 ... b3 b2 b1 + + + +  b3 b2 bn ... b4 bn bn-1 bn-2 ... b2 b1 b0  cn cn-1 ... c3 c2 + + +  c3 cn ... c4 cn cn-1 cn-2 ... c2 c1

  12. Por que estamos fazendo isso mesmo ? c2 c1 Ainda precisamos calcular as derivadas parciais em relação ao 

  13. Calculando as derivadas parciais () c3 c4 c5 cn c3 c2 c4 cn cn-1 cn-2 cn-1 cn

  14. Por que estamos fazendo isso mesmo ? c2 c3 c2 c1

  15. Exemplo • Calcular duas raízes conjugadas da equação polinomial P(x) = x4 -2x3 + 4x2 – 4x + 4 pelo método de Newton-Bairstow, iniciado em (0, 0) = (1,-1)

  16. Exemplo (solução) bk’s ck’s c4 c3 c2 c1

  17. Exemplo (solução) Repetindo o processo com os novos  e : e  acarretam raiz

  18. x = § i Exemplo (solução) x = 1 § i Q(x) = x2+2 1e 1 acarretam raiz

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