BAB 6 . Dinamika Pa rtike l

1. BAB 6. Dinamika Partikel

2. Pendahuluan. Dinamika (cabang mekanika), mempelajari menga-pa benda menjadi bergerak (diam) dan jika ber-gerak bagaimana lintasan gerak benda tersebut. Dinamika, membicarakan mengapa benda di sekitar permukaan bumi selalu jatuh menuju bumi, benda bergerak lurus, melingkar dan lain sebagainya. Di alam benda selalu berinteraksi dengan benda la-in. Hasil interaksi, menyebabkan benda bergerak dan pada umumnya lintasannya lengkung.

3. Lanjutan. Konsep interaksi antar benda memunculkan kon-sep gaya (notasi F). F inilah yang menjadi dasar pembicaraan dalam di-namika. Gerakan benda-benda langit, akibat interaksi antar benda langit yang satu dengan yang lain, hasil ge-rakannya berupa garis lengkung. Bumi mengelilingi matahari dengan lintasan elips (lengkung tertutup). Bumi mengelilingi matahari merupakan hasil inter- aksi antara bumi-matahari.

4. Lanjutan. Sir Isaac Newton (1642 - 1727) ilmuwan ber-kebangsaanInggris, banyak jasanya dalam mengembangkan mekanika.

6. Hukum Pertama Newton. Partikel bebas (partikel yang berdiri sendiri, kon-sep ideal) dianggap partikel yang tidak melaku-kan (tidak memiliki) interaksi dengan partikel lain. Benda bebas dibuat dengan cara benda/partikel dilindungi agar tidak melakukan interaksi dengan benda lain (kita mengabaikan interaksinya). Hal tersebut sebenarnya sulit diperoleh, karena bagaimanapun partikel di alam pasti melakukan interaksi dengan partikel-partikel lain.

7. Lanjutan. Sir Isaac Newton mendefinisikan hukum pertama dengan pernyataan partikel (zarah) bebas selalu mempertahankan keberadaannya. Sehingga, jika diam (v = 0) akan tetap diam dan jika bergerak (v ≠ 0) akan bergerak lurus dengan kecepatan tetap (atau a = 0). Hukum pertama Newton disebut juga hukum kelem-baman (hukum inersial).

8. Momentum p. Momentum (= p) besaran vektor. Benda yang bergerak selalu memiliki p. Benda massa m bergerak dengan kecepatan (v) memiliki pyang didefinisikan, sebagai, p = mv

9. Lanjutan. pmenyatakan kualitas gerak benda dalam sis-tem. p, sebuah partikel dapat dipandang sebagai ukur-an kesulitan untuk mendiamkan benda. Besaran mv disebut plinier partikel untuk (mem-bedakan dengan panguler). Satuan p, kg m s-1 dan dimensinya [MLT-1]. p dihubungkan dengan hukum inersial, parti-kel bebas selalu bergerak dengan ptetap.

10. Contoh. Benda m = 4 kg, memiliki v = 50 i m s-1. Berapa-kah p-nya juga besar p benda tersebut ? Penyelesaian. p = mv = (4 kg)( 50 i m s-1) = 200 i kg m s-1 Besar momentumnya, p = 200 kg m s-1

11. Hukum Kedua Newton. Seandainya benda, memiliki pberubah, benda akan memiliki a(percepatan penyebab perubah-an v). Perubahan momentum (p)tiap satuan waktu (t) disebut F. Pernyataan F (besaran vektor) dimunculkan oleh Newton sebagai hukum kedua. Satuan (F), kg m s-2 atau newton (N) dimensi [M L T-2].

12. Lanjutan. Sistem klasik (m tetap), dm/dt = 0 dandv/dt = a, sehingga F = ma Persm (F = ma), dikenal sebagai hukum Newton kedua. Jika pada benda bekerja banyak F, (Flebih dari satu tetapi setitik tangkap) sehingga formulasi hu-kum Newton kedua menjadi, F = ma.

13. Lanjutan. Massa memperlihatkan karakteristik sifat benda pada suatu F. Bila F, bekerja pada benda m1 memperoleh per-cepatan a1,maka F tersebut dikerjakan pada benda m2 memperoleh percepatan a2. Sehingga diperoleh persm F = m1a1 = m2a2 atau, Massa benda dapat didefinisikan dengan menerap-kan F (sama) yang bekerja pada masing-masing benda dan membandingkan a-nya. Perbandingan tersebut tidak tergantung pada jenis

14. F yang digunakan (misal gaya pegas, atraksi gravitasi, atraksi listrik atau magnet dan lain sebagainya)

15. Contoh. Benda m = 2 kg dikenai F = 5 N. Hitunglah besar ayang dihasilkan oleh Ftersebut ? Jika pada mulanya benda diam pada sistem kerangka acuan tertentu. Hitunglah perpindahan dan vyang di-peroleh saat t = 5 detik ! Penyelesaian.

16. Johannes Kepler 1571 - 1630

17. Contoh. Sebuah partikel m = 0,4 kg dikenai dua F yaituF1 = (2 i - 4 j) N dan F2 = (- 2,6 i + 5 j) N. Jika partikel mulai dari keadaan diam (t = 0) berada di titik asal, tentukan posisi dan v-nya pada t = 1,6 detik. Penyelesaian. Gaya total (jumlahan dua F) akan menjadi, F = F1 + F2 = (2 i - 4 j) N + (- 2,6 i + 5 j) N = (- 0,6 i + j) N. apartikel,

18. Komponen percepatan, ax = - 1,5 m s-2 dan ay = 2,5 m s-2. Partikel saat t = 0, mula-mula diam, di titik asal koordinat (x, y) setelah t = 1,6 detik menjadi, x = ½ axt2 = ½ (- 1,5 m s-2)(1,6 s)2 = - 1,92 m, y = ½ ayt2 = ½ (2,5 m s-2)(1,6 s)2 = 3,20 m Posisi partikel setelah 1,6 detik (- 1,92 ; 3,20) m. Kecepatan (v = a t) partikel setelah 1,6 detik,

19. Lanjutan. Komponen vx = axt = (-1,5 m s-2)(1,6 s) = - 2,40 m s-1 dan vy = ayt = (2,5 m s-2)(1,6 s) = 4,0 ms-1. Dengan notasi vektor rdan v ber-persm: Posisi, r = (- 1,92 i + 3,20 j) m Kecepatan, v = (- 2,40 i + 4,00 j) m s-1.

20. Nama Gaya Jenis nama a memberikan bermacam jenis nama F. Contoh. Benda melakukan gerak melingkar padanya akan bekerja dua gaya yaitu, Gaya sentripetal (FN = maN karena percepatan sentripetal) Gaya tangensial (FT = m aT karena percepatan tangensial).

21. Gaya Sistem Koordinat. Kartesian, F = m (ax + ay + az) Ada tiga jenis percepatan yaitu: ax , ay , az. Kutub, F = m (ar + aθ) Ada dua jenis percepatan yaitu : ar dan aθ.

22. Contoh. Partikel ditarik menuju pusat sistem koordinat oleh F radial. Tunjukkan ω berbanding terbalik dengan jarak kuadrat ! Penyelesaian. Dalam koordinat kutub terdapat dua a(dua jenis F yaitu radial (Fr) dan tangensial (FT) dinyatakan seba-gai,

23. Lanjutan. Jika hanya Fradial yang bekerja (diketahui) pada benda berarti Fθ = 0,maka artinya memberlakukan

24. Contoh. 0rang berada dalam lift berdiri di atas neraca pe-gas terbaca 120 N. Lift yang dinaiki tersebut ber-gerak (dapat naik maupun turun) dengan perce-patan ¼ g. Berapakah w orang tersebut (yang ter-baca oleh skala neraca saat lift naik maupun tu-run) ? Penyelesaian. Saat lift naik. mg + mAo = m a! atau g + Ao = a! Diketahui percepatan Ao = ¼ g, atau a! = 1,25 g. Berat orang saat naik, (120 N)(1,25) = 150 N

25. Lanjutan. Saat lift turun. mg – mAo = ma! atau g - Ao = a! Sehingga, a! = 0,75 g. Berat orang saat turun, (120 N)(0,75) = 90 N

26. Contoh. Dua buah benda massa m dan M, (m < M) di-hubungkan dengan tali dilewatkan pada piringan. Piringan dapat berputar pada sumbunya segala se-suatu yang berhubungan dengan piringan diabai-kan. Hitunglah a kedua benda tersebut, dan berapa besar tegangan talinya ! Penyelesaian. Benda M bergerak turun (m naik), dengan perce-patan sama (a). Hukum Newton yang digunakan Fi = m!a .Fi dalam hal ini diwakili oleh M g – m g dan m! dalam hal ini diwakili oleh M + m sehingga berlaku, (M - m) g = (M + m) a

27. T2 T1 m M m g M g Percepatan, Cara lain. Benda M turun berlaku M g - T1 = M a dan m naik berlaku T2 - m g = m a (dalam hal ini T1 = T2) Kedua persm dijumlahkan dihasilkan, Benda m naik dengan percepatan a berlaku T2 – m g = m a sehingga

28. Leonardo da Vinci 1452 - 1519 Benda M turun dengan percepatan a berlaku, M g – T1 = M a sehingga menghasilkan,

29. T M L m Contoh. Perhatikan gambar di samping. Batang bermassa M dan bola m, (M > m). Pada awalnya bola berada pada ujung bawah batang. Setelah t detik, bola sejajar ujung atas batang. Bila panjang batang L tentukan tegangan tali (ideal). Penyelesaian. Percepatan relatif m,terhadap M, A = a1 + a2 = 2 a,(a1 = a2 = a).

30. Lanjutan. Panjang batang ditempuh oleh m, dengan waktu t sehingga, L = ½ At2 = at2.

31. Contoh. Sebuah batu berat w dilemparkan vertikal ke atas di udara dari lantai dengan kecepatan awal v0. Jika, ada gaya konstan f akibat gesekan/hambatan udara selama melayang dan asumsikan percepatan gra-vitasi bumi (g)konstan, maka tentukan : a). tinggi maksimum yang dicapai (nyatakan dalam: vo, g, f dan w ) b). laju batu saat menyentuh lantai kembali (nyata- kan dalam: vo, f dan w) Penyelesaian: a). Batu ke atas, a (berupa perlambatan): ΣF = m a 

32. v= 0 f hmax f w w v0 Lanjutan. Tinggi maksm dicapai batu: h = vot – ½ at2 , dengan, sehingga, v b. Gerak batu ke bawah, percepatan: Kecepatan saat menyentuh lantai :

33. Lanjutan.

34. Contoh.

36. Contoh. Sebuah sistem terdiri atas dua buah balok masing- masing bermassa m dan M (lihat gambar). Koefisien gesekan antara kedua balok µsdan balok Mtidak ada gesekan dengan lantai. Tentukan besar gaya F yang harus diberikan pada balok m agar tidak turun ke bawah (nyatakan dalam : m, M, g dan µs) Penyelesaian. Teori yang mendasari hukum Newton tentang gerak Tinjau benda massa m. Arah mendatar,ΣFx = max  F – N = max

37. f F m M N Licin Lanjutan. Arah vertikal, • ΣFy = 0 • m g = f = μsN Tinjau benda massa M. Arah mendatar,ΣFx = Max  N = Max Dari, F – N = max 

39. L m F μ2 M μ1 Contoh. Perhatikan sistem di bawah ini Ada dua balok, masing-masing bermassa m dan M. Koefisien ge-sekan antara balok M dengan lantai µ1, sedangkan koefisien gesekan antara balok m dengan balok M adalah μ2 . Balok m diberi gaya mendatar F yang cukup besar sehingga balok m akan bergerak dipunggung balok M.Balok M juga bergerak akibat gaya F ini (asumsi µ2 cukup besar). Jika balok m berpindah sejauh L relatif terhadap balok M, maka berapa usaha yang dilakukan gaya F ?Untuk memudahkan hitungan anggap :

40. Lanjutan. N2 F m a2 f2 mg M = 2 m, F = λ m g = 5,6 m g, μ2 = 0,5dan μ1 = 0,1 Teori yang mendasari:Hukum Newton tentang gerak, GLBB, Usaha N2 = gaya normal pada m karena M Σ Fy = 0 dan N2 = m g dan Σ Fx = ma2 F – f2 = m a2 ; f2 = μ2 N2 F - μ2m g = m a2 = μ2m g balok m, a2 percepatan m relatif terhadap lerangka lab.

41. Lanjutan. N1 a1 N2! f2 M f1 mg ΣFy = 0 N1 – N2! – M g = 0 N1 = (m + M) g N2! = reaksi dari N2 = m g ΣFx = M a1 f2 – f1 = M a1 , f2 = μ2 m g μ2m g – μ1 (m + M) g= Ma1 ,f1 = μ1 (m + M) g 

42. Lanjutan. Total pergeseran massa M setelah selang waktu t, Total pergeseran massa m terhadap kerangka lab se-telah selang waktu t, Selisih jarak, s1 dan s2 

43. Lanjutan. Setelah t = to, selisih jarak = L, L = s2 – s1 Untuk waktu toini, massa m telah berpindah sejauh :

44. Lanjutan. Usaha yang dilakukan oleh gaya F :