BAB. 10 Dinamika Sistem Partikel

1. BAB. 10 Dinamika Sistem Partikel

2. Benda, disebut sebagai sistem (kesatuan, kelom-pok) partikel. Wujud benda, dapat berupa zat padat dan zat alir (fluida). Fluida dapat berupa zat cair atau gas. Wujud benda berupa padat maupun fluida, diten-tukan oleh perilaku interaksi partikel antar zat di dalam sistem zat tersebut. Pembicaraan dinamika sistem partikel diasumsi-kan dengan massa partikel tetap.

3. Gerak Pusat Massa Misal terdapat partikel massa m1 ; m2 ; ……. mn dan berposisi pada ; r1; r2 ; ………rn dan seluruh partikel merupakan kesatuan. Posisi sistem pusat massa didefinisikan sebagai;

5. Contoh. Sistem terdiri dari tiga partikel sama dan memi-liki massa satu satuan massa dengan posisi dan kecepatan sebagai berikut. r1 = i + j , v1 = 2 j r2 = j + k , v2 = j r3 = k , v3 = i + j + k Carilah posisi kecepatan dan plinier sistem massa tersebut ! Penyelesaian. m1 = m2 = m3 = 1 satuan

6. Posisi pusat massa, vpusat massa, p pusat massa,

7. Partikel Bebas. Partikel bebas, partikel yang tidak memiliki inter-aksi dengan partikel lain. Sistem partikel bebas (sistem partikel tertutup), memiliki ptetap (hukum Newton I). Pusat massa sistem tertutup bergerak dengan v tetap dalam sistem inersial. Pusat massa partikel sistem tertutup relatif diam pada kerangka acuan inersial pusat massa (vc = 0). Pernyataan vc = 0, disebut kerangka acuan C atau kerangka acuan pusat massa.

8. Momentum sistem partikel dalam kerangka acu-an C momentumnya selalu nol (P = pi = 0). Kerangka acuan C, disebut kerangka acuan mo-mentum nol (karena vc relatif diam pada pusat massa). Kerangka acuan C penting pada beberapa perco-baan yang dilakukan di dalam laboratorium [ke-rangka acuan L (laboratorium) dapat dipermudah analisisnya dalam kerangka acuan C].

9. S! S Sistem S terbuka (artinya parti-kel penghuni S dapat berinter-aksi dengan partikel lain di se-keliling S). Sistem lain S!, secara bersama-sama S membentuk sistem tertutup (sistem S + S!, sistem tertutup). Partikel anggota S, tidak hanya berinteraksi dengan partikel sesama anggota, tetapi juga dengan partikel di luar S (yaitu S!). Momentum partikel S (disebut pi) dan S! (disebut pj) sehingga partikel sistem S + S! momentum total. P = Σpi + Σpj = tetap atau P = Ps + Ps! = tetap

10. Perubahan pyang dialami oleh partikel S akan diikuti oleh partikel dari S! dengan nilai sama besar tetapi berlawanan tanda sehingga jika di-jumlahkan besarnya nol. Ps = - Ps! atau pi = - pj Interaksi partikel isi S dan S! menggambarkan per tukaran p. Bila pertukaran ptersebut berjalan dalam waktu dt yang mendekati nilai nol sehingga berlaku:

11. Perubahan ptiap satuan waktu sistem S! disebut F luar yang didesakkan pada sistem S, Fℓ (gaya luar) merupakan perubahan ptiap satuan waktu sistem S sebagai hasil interaksi dengan S!. F dalam yang ada pada S (merupakan interaksi partikel penyusun S) tidak menghasilkan per ubah-an ptotal (sebagai akibat prinsip kekekalan p).

12. Gaya luar (Fℓ) dari sistem S!, maka Fℓ = - Fℓ! (me-rupakan hukum aksi-reaksi, antara sistem S de-ngan S!). Kecepatan pusat massa sistem S menjadi, Gerak pusat massa sistem partikel sama dengan tingkah laku benda jika dikenai gaya luar yang ber-titik tangkap pada pusat massanya.

13. 60 m s-1 2000 m Contoh. Benda massa M dijatuhkan, pada saat ketinggian 2000 m pada saat memiliki v = 60 m s-1 dan pecah menjadi dua bagian sama besar. Sesaat setelah ledakan salah satu bagian ber-v 80 m s-1 ke bawah. Carilah posisi pusat massa sistem 10 detik setelah ledakan ! Penyelesaian. 80 m s-1 Asumsi setelah terjadi ledakan gaya luar tidak berubah (pusat massa benda terus bergerak setelah ledakan).

14. Setelah ledakan pusat massa benda setinggi, h = ho + vot + ½ gt2 Diisikan besaran yang (diketahui), h = (2000 m) - 60 m s-1 (10 s) - ½ (9,8 m s-2)(10 s)2 = 910 m Cara lain, Dihitung langsung posisi pusat tiap massa bagian, setelah 10 detik ledakan. Mvo = m1v1 + m2v2 , (m1 = m2 =½ M). 2 vo = v1 + v2 , 2 (- 60 m s-1) = (- 80 m s-1) + v2 v2 = - 40 m s-1.

15. Kedua bagian benda, bergerak secara bersm. Bagian pertama, setelah 10 detik h1 = ho + v1t + ½ gt2 h1 = (2000 m) - 80 m s-1 (10 s) - ½ (9,8 m s-2)(10 s)2 = 710 m Bagian kedua, setelah 10 detik h2 = ho + v2t + ½ gt2 h2 = (2000 m) - 40 m s-1 (10 s) - ½ (9,8 m s-2)(10 s)2 = 1110 m Pusat massa dihitung lewat formula,

16. Hasil kedua perhitungan sama.

17. Contoh. Dua buah massa m dan M, (m < M) dihubungkan dengan tali dilewatkan piringan. Piringan dapat berputar pada sumbunya. Hitunglah apusat massa sistem tersebut ? Segala sesuatu yang berhubungan dengan piringan dan tali diabaikan. Penyelesaian Misal M bergerak turun (m naik) akan mengguna-kan percepatan yang sama yaitu,

18. (karena percepatan M turun dan m naik dengan ni- lai sama). Cara lain. Karena a1 = - a2 = a (arah berlawanan)

19. m2 F21 F1 F2 F12 m1 Hubungan (Fℓ) dengan Gaya Penyusun Sistem Sistem tertutup, terdiri dari dua partikel m1 dan m2. F12 merupakan gaya yang dimi-liki partikel m1 karena berinter-aksi dengan partikel m2. F21 merupakan gaya yang dimi-liki partikel m2 karena berinter-aksi dengan partikel m1. F12 = - F21 F1 dan F2 ,resultan gaya luar yang bekerja pada par tikel m1 serta m2. Dalam sistem dua massa, berlaku hukum ke dua Newton dengan formulasi persm,

20. Resultan F sistem, Perubahan ptotal sistem tiap satu satuan waktu = jumlah F luar yang bekerja pada partikel m1 dan m2. F luar memberi warna gerakan sistem partikel (dapat diartikan benda). Bab 6-20

21. m2 F21 m1 F12 r12 r2 r1 x 0 Massa Reduksi Dua partikel massa m1 dan m2 saling berinteraksi (tanpa ada aksi gaya luar). Gaya F12 dan F21, merupakan gaya dalam (internal, gaya in-teraksi). F12 & F21 // r12 r12 merupakan garis hubung kedua partikel. Persm gerak relatif sistem partikel terhadap 0,

22. v12 kecepatan partikel m1 relatif terhadap partikel m2 a12 percepatan partikel m1 relatif terhadap partikel m2 Jika nilai massa m1m2 maka massa reduksi,  pendekatan. Bila, m1 = m2 nilai massa reduksi  = ½ m1.

23. Contoh. Diamati dua partikel massa m1 dan m2 ber-v,v1 dan v2. Hitung vpusat massa relatif terhadap pengamat dan p tiap partikel relatif terhadap pusat massanya ! Penyelesaian. Kecepatan relatif pusat massa (dua partikel) terha dap pengamat, Kecepatan relatif tiap partikel terhadap pusat massa adalah,

25. Kedua kecepatan, nampak berlawanan sebagai aki bat pengamatan pada kerangka acuan C, (pc = 0) (jumlah momentum sistem tidak berubah).

26. m2 F1 F21 m1 F12 r12 r2 r1 x 0 Momentum Sudut Sistem (L) Momentum sudut (L) partikel re-latif terhadap suatu titik tertentu, dinyatakan sebagai L = r ×mvatau L = r × pdan momen gaya  = dL/dt. F2 Momen sistem dua partikel ber-laku, 1 = dL1/dt dan2 = dL2/dt. 1 = r1 x (F1 + F12) dan 2 = r2 x (F2 + F21)

27. Hukum kedua Newton untuk masing-masing partikel, Partikel pertama, m1 a1 = F1 + F12 Partikel kedua, m2 a2 = F2 + F21 Karena bergerak, tiap partikel suatu saat ber-v, v1 dan v2. Dalam waktu dt kedua partikel berpindah sejauh dr1 dan dr2 sehingga diperoleh,

28. Partikel pertama, m1a1 . dr1 = F1 . dr1 + F12 . dr1 Partikel kedua, m2a2 . dr2 = F2 . dr2 + F21 . dr2 m1a1 . dr1 + m2a2 . dr2 = F1 . dr1 + F2 . dr2 + F12 . (dr1 - dr2) m1v1dv1 + m2v2dv2 = F1 . dr1 + F2 . dr2 + F12 . dr12 Dalam waktu to t, partikel berpindah dari A  B.

29. Disusun Persamaan, ΔEk = Ek – Eko = Wℓ + Wd Ek = kerja yang dilakukan oleh sistem karena adanya gaya yang bekerja padanya (baik gaya luar maupun dalam).

30. Contoh.

31. Hukum Kekekalan Energi Sistem Jika hukuminteraksi dua partikel memiliki gaya bersifat konservatif, sehingga memunculkan kon sep energi potensial (Ep) yang tergantung pada posisi koordinat massa partikel m1 dan m2 ber-laku, Ep12 nilai Ep saat t dan (Ep12)o nilai saat to dise-but Ep dalam suatu sistem nilainya tergantung pada jarak r12 . Ek – Eko = Wℓ + (Ep12)o - (Ep12)

32. (Ek + Ep) = Wℓ + (Ek + Ep12)o Persm tersebut merupakan pernyataan hukum kekekalan energi, sebagai akibat adanya prinsip kekekalan momentum serta asumsi konserva-tisasi gaya. Besaran Ek + Ep12 = U, disebut "proper energi" sehingga diperoleh, U – Uo = Wℓ. Perubahan proper energi (U) = kerja yang dilaku kan oleh sistem karena adanya gaya luar. Bila di dalam sistem tidak ada gaya luar (partikel bebas atau sistem disekap), Wℓ = 0 U - Uo = 0 atau U = Uo.

33. Jika dalam sistem yang terlindungi, Ek bertambah maka Ep berkurang atau sebaliknya (karena jum-lahnya harus tetap). Bila sistem terdiri lebih dari dua partikel, Ep diper-oleh dari tiap pasangan partikel, U = Ek + Epd = ½ mv2 + Epij Epd = Epij = Ep12 + Ep13 + ……+ Ep1n + Ep2n + Epnm Bila dalam sistem bekerja gaya luar bersifat konser vatif berarti Wℓ = (Epℓ)o - (Epℓ).

34. Besaran (Epℓ)o - (Epℓ ), Ep yang berhubungan de-ngan gaya luar dari keadaan awal dan akhir sistem. (U + Epℓ) = (U + Epℓ )o Energi total sistem, E = U + (Epℓ) = Ek + Epd + Epℓ

36. Tumbukan Gaya-gaya yang bekerja pada proses tumbukan adalah pasangan gaya aksi-reaksi Dua partikel bergerak saling mendekati satu de-ngan yang lain (melakukan interaksi sehingga ge-rak mereka berubah, artinya mereka telah melaku-kan pertukaran momentum dan energi). Dengan melakukan pertukaran energi dan mo-mentum artinya kedua partikel tersebut telah melakukan tumbukan. Pengertian tumbukan tidak perlu bersinggungan secara fisik (bila telah berinteraksi, artinya telah melakukan tumbukan).

37. Dua partikel bergerak dengan kecepatan tetap sebelum dan sesudah bertumbukan. Selama tumbukan mereka di bawah pengaruh gaya aksi-reaksi satu dengan lainnya. Dalam tumbukan berlaku hukum ketiga Newton. Momentum total partikel sebelum dan sesudah tumbukan tetap (dapat terjadi besar momentum sudut tetap). v1, kecepatan partikel satu, sebelum tumbukandan v1! sesudah tumbukan.

38. v2, kecepatan partikel dua, sebelum tumbukan dan v2! sesudah tumbukan. Bila gaya-gayanya konservatif Ek tetap (Ep sebe- lum dan sesudah tumbukan sama). Gaya-gaya yang berperan selama dalam tumbuk- an adalah gaya dalam (momentum dan energi-nya kekal). Energi total,

39. Bila p dan E dibagikan dihasilkan bentuk, Perbandingan antara kecepatan relatif sesudah tum bukan dengan sebelum tumbukan disebut koefisien restitusi atau koefisien tumbukan (e).

40. Klasifikasi tumbukan

41. m2 F21 F12 m1 tumbukan kontak langsung F12 p F F He4 F12 F21 hamburan t F21 Macam-macam tumbukan

42. v1 v2 - v1 - v2 sebelum tumbukan sesudah tumbukan Tumbukan lenting sempurna (e = 1). Tumbukan yang dipenuhi oleh hukum kekekalan momentum dan energi disebut tumbukan elastik sempurna. Tumbukan dengan energi sesudah dan sebelum tumbukan tetap (Ek = Ek! – Ek = 0), tumbukan tersebut terpenuhi oleh nilai (e = 1).

43. Sebelum tumbukan Setelah tumbukan v1 v v2 m1 + m2 m2 m1 Tumbukan tidak lenting sama sekali, (e = 0) Tumbukan tidak lenting sama sekali (jika kedua partikel bergabung lalu bergerak bersama-sama, dipenuhi v1! = v2! = v). Kecepatan gabungan dua benda (v) setelah tum-bukan nilainya (hukum kekekalan momentum),

44. Tumbukan lenting sebagian, (0< e < 1) Antara dua tumbukan (lenting dan tidak lenting sama sekali), dinamakan tumbukan lenting seba gian (tumbukan non elastik) dipenuhi oleh nilai e, (0 e 1).

45. Contoh. Benda massa 1 kg bergerak dengan kecepatan, v1 = 3 i – 2 j. Benda kedua massa 2 kg bergerak dengan kecepatan, v2 = 4 j – 6 k. Kedua benda bertumbukan dengan tidak lenting sama sekali. Tentukan kecepatan benda setelah tumbukan ! Penyelesaian. ,besar kecepatan setelah tumbukan √21 m s-1.

46. Contoh. Benda massa 4 kg bergerak dengan kecepatan 4 m s-1 ditumbuk oleh benda lain massa 2 kg dari belakang dengan kecepatan 9 m s-1 sehingga kecepatannya menjadi 6 m s-1. Pertanyaan a. berapa besar koefisien tumbukannya ? b. berapa besar perubahan Ek sistem? Penyelesaian. p1 + p2 = p1! + p2! (4 kg)(4 m s-1) + (2 kg)(9 m s-1) = (4 kg)(6 m s-1) + (2 kg)(v2!) v2! = 5 m s-1

47. Tanda negatif, artinya kehilangan (berkurang, ada yang hilang) energi setelah tumbukan.

48. y m x v  θ Contoh. Bola baja massa m dilemparkan pada pelat baja bermassa M dengan sudut. Bola baja mental (bergerak membalik) dengan sudut θ. Buktikan tan θ = ½ (e – 1) tan  ! Penyelesaian. Bola baja sumbu x berlaku mv cos  = mv!bx atau v cos  = v!bx. Pelat baja sumbu x berlaku Mvpx = Mv!px = 0. Bola dan pelat sumbu y berlaku mv sin  + Mvpy = mv!by + Mv!py sehingga v sin  = v!by + v!py.

49. Koefisien restitusi,

50. Dalam peristiwa tumbukan alur penyajian kon-sep (penyelesaian) dapat dilihat dalam bagan di bawah ini. Bagan. Tumbukan Memberlakukan hukum kekekalan momentum Tidak memasukkan hukum kekekalan Ek. Memasukkan hukum kekekalan Ek.