CONFERENCIA 9

1. CONFERENCIA 9 EL SIGLO DE LAS LUCES Revolución industrial en el siglo XVIII Avances y dificultades en las matemáticas

2. A mediados del siglo XVIII, más concretamente en 1740, la situación política del continente es la siguiente: En el Occidente aparece definitivamente constituida la monarquía del Reino Unido de Gran Bretaña e Irlanda, regida por la dinastía de los Hánover, con régimen parlamentario y gran expansión comercial y colonial. Francia, bajo Luis XV, adquiere casi sus fronteras actuales, a excepción de Niza y Saboya; todavía le falta el ducado de Lorena, cuya anexión se ha preparado por el tratado de Viena de 1738 . Las monarquías de la Península Hispánica, España y Portugal, tienen sus límites modernos, salvo Menorca, en posesión de los ingleses y Olivenza, de Portugal. En el centro de Europa, el Imperio alemán sólo existe de nombre. La hegemonía en el Reich la detenta Austria, cuyas posesiones comprenden, además de Silesia, Bohemia y Hungría, los Países Bajos, antes españoles, y Milán. Además, el gran ducado de Toscana (Florencia), está bajo su influjo. No obstante, en el Imperio aparece el Estado de Prusia, cada día con mayor vigor. En Italia existen, fuera de la influencia austríaca, el reino de Cerdeña, con Saboya y el Piamonte; el de las Dos Sicilias, bajo los Borbones, y, en plena decadencia, la república de Venecia, con Dalmacia. En Oriente, el Imperio turco se presenta todavía como una gran masa territorial, aunque en las luchas con Austria haya perdido gran parte de Hungría y el Banato de Temesvar. En cambio, el Imperio ruso acrecienta sus ambiciones territoriales, dirigidas contra Suecia y Polonia. Estos dos Estados se hallan en trance de disgregación, a causa de las rencillas políticas internas entre la realeza y los nobles

3. Límite entre las colonias españolas y portuguesas a comienzo del siglo XVIII; 2) Íd. del Tratado de Madrid de 1750, rectificado en 1777; 3) Límites administrativos coloniales; 4) Expansión de los "bandeirantes"; 5) Rutas del comercio marítimo; 6) Puertos habilitados para el comercio con la metrópoli; 7) Territorio de las misiones jesuistas. 4) Límites entre las posesiones inglesas y españolas en 1763 (Pas de París).

4. Posesiones y líneas de comunicación de España; 2) Portugal y sus colonias; 3) Gran Bretaña y sus posesiones; 4) Francia y sus posesiones; 5) Holanda y sus posesiones Durante el siglo XVIII, el mundo asistió al desarrollo del Imperio Británico. Los antiguos imperios coloniales, que habían surgido en la época de los grandes descubrimientos, continuaron más o menos con su prístina extensión. Así, España (signo 1) dominaba la mayor parte del continente americano, desde California y Nuevo México a Patagonia, con los virreinatos de Nueva España, Nueva Granada, Perú y El Plata; en Oceanía, poseía aún las Filipinas. En cuanto a Portugal (signo 2) había ampliado sus posesiones en el Brasil a expensas de España; en África conservaba las posesiones de Angola y Mozambique. A partir de 1714, el Imperio Británico (territorios, bases y líneas de influencia política según el signo 3) se extiende en América del Norte, India y Australia. En todas partes choca con las tentativas de colonización francesa (territorios, bases y líneas de influencia políticas según el signo 4). Así en América del Norte, mientras los ingleses poseen la costa atlántica, Terranova y los territorios de la bahía de Hudson, los franceses detentan el Canadá y la Luisiana. En la India asistimos a la misma rivalidad, encarnada en las ciudades rivales de Madrás y Pondichery. En ambos campos de lucha triunfó Inglaterra durante la Guerra de los Siete Años que la hizo señora del mar sobre Francia y España.

5. Guerra de la Independencia estadounidense, conflicto bélico inmerso en un proceso revolucionario que desde 1775 hasta 1783 enfrentó a las trece colonias británicas de la costa atlántica de Norteamérica —que recibirían el apoyo de Francia y España— con Gran Bretaña; su desenlace supuso la independencia de esos territorios y la consiguiente creación de un nuevo país que se denominó Estados Unidos de América

6. Durante los últimos decenios del siglo XVII y los primeros del XVIII se produce en Europa un cambio importante en todos los órdenes. Los valores y conceptos que presidían la sociedad del Barroco entran en crisis poco a poco, pero perecen simplemente. El cambio, parte de Inglaterra y de un conjunto importante de intelectuales que juzgan los viejos valores de la sociedad y del saber tradicionales. El crecimiento socio-económico de la burguesía es, socialmente, el punto de partida de una serie continuada de cambios, que se extienden e influyen en todos los órdenes de la vida y que conocemos con el nombre de La Ilustración. Los precursores de la Ilustración pueden remontarse al siglo XVII e incluso antes. Abarcan las aportaciones de grandes racionalistas como René Descartes y Baruch Spinoza, los filósofos políticos Thomas Hobbes y John Locke , quizás lo más importante fue una fe constante en el poder de la razón humana. La época sufrió el impacto intelectual causado por la exposición de la teoría de la gravitación universal de Isaac Newton. Si la humanidad podía resolver las leyes del Universo, las propias leyes de Dios, el camino estaba abierto para descubrir también las leyes que subyacen al conjunto de la naturaleza y la sociedad.. Más que un conjunto de ideas fijas, la Ilustración implicaba una actitud, un método de pensamiento. De acuerdo con el filósofo Immanuel Kant, el lema de la época debía ser "atreverse a conocer". Suele decirse que el Siglo de las Luces concluyó con la Revolución Francesa de 1789, pero no son pocos los que contemplan e interpretan la inquietud política y social de este periodo como causa desencadenante de la Revolución. Al incorporar muchas de las ideas de los ilustrados, la Revolución. De lo que no cabe duda es de que la Ilustración dejó una herencia perdurable en los siglos XIX y XX. Marcó un paso clave en el declinar de la Iglesia y en el crecimiento del secularismo actual. Sirvió como modelo para el liberalismo político y económico y para la reforma humanitaria a través del mundo occidental del siglo XIX. Fue el momento decisivo para la creencia en la posibilidad y la necesidad de progreso que pervivió en el siglo XX.

7. BARUCH SPINOZA La más completa expresión de su pensamiento y de su sistema filosófico quedó expresada en su gran obra Ethica ordine geometrico demonstrata (Ética demostrada según el orden geométrico, 1677, más conocida por el título abreviado de Ética). De acuerdo con este tratado, el Universo es idéntico a Dios, que es la “sustancia” incausada de todas las cosas. El concepto de sustancia, que Spinoza recuperó de los filósofos escolásticos, no es el de una realidad material, sino más bien el de una entidad metafísica, una base amplia y autosuficiente de toda realidad. Spinoza admitió la posible existencia de atributos infinitos de la sustancia, pero mantuvo que tan sólo dos son accesibles a la mente humana, a saber, la extensión, o el mundo de las cosas materiales, y la racionalidad René Descarte (1596-1650) Escribió: El discurso del método, donde explicaba lo importante que es la razón para llegar a conclusiones reales durante la experimentación. Explicó métodos para conducir la razón y llegar a la verdad en la ciencia. Fue el creador del racionalismo, "pienso luego existo".

8. La filosofía de Hobbessupuso la ruptura de la filosofía inglesa con el escolasticismo, y estableció las bases de la sociología científica moderna al tratar de aplicar a los seres humanos, como autores y materia de la sociedad, los principios de la ciencia física que gobiernan el mundo material. Hobbes elaboró su política y su ética desde una base naturalista: mantenía que las personas se temen unas a otras y por esta razón deben someterse a la supremacía absoluta del Estado tanto en cuestiones seculares como religiosas. El empirismo de Locke hizo hincapié en la importancia de la experiencia de los sentidos en la búsqueda del conocimiento en vez de la especulación intuitiva o la deducción. La doctrina empirista fue expuesta por primera vez por el filósofo y estadista inglés Francis Bacon a principios del siglo XVII, pero Locke la dotó de una expresión sistemática en su Ensayo sobre el entendimiento humano (1690). Afirmaba que la mente de una persona en el momento del nacimiento es como una tabla rasa, una hoja en blanco sobre la que la experiencia imprime el conocimiento, y no creía en la intuición o teorías de las concepciones innatas. También mantenía que todos los individuos nacen buenos, independientes e iguales

9. Las causas de la Revoluciónincluyen: El auge de la burguesía, con un poder económico cada vez mayor, desempeñando un papel fundamental en la economía de la época. El odio contra el absolutismo monárquico. El resentimiento contra el sistema feudal por parte de la emergente clase burguesa y de las clases populares. La aparición de nuevas ideas en este «Periodo de Ilustración» tales como las expuestas por Voltaire, Rousseau o Montesquieu, como lo eran: La libertad, La fraternidad y La igualdad Toma de la Bastilla, 14 de julio de 1789 Revolución Francesa, proceso social y político acaecido en Francia entre 1789 y 1799, cuyas principales consecuencias fueron el derrocamiento de Luis XVI, la abolición de la monarquía en Francia y la proclamación de la I República, con lo que se pudo poner fin al Antiguo Régimen en este país. Aunque las causas que generaron la Revolución fueron diversas y complejas, éstas son algunas de las más influyentes: la incapacidad de las clases gobernantes —nobleza, clero y burguesía— para hacer frente a los problemas de Estado, la indecisión de la monarquía, los excesivos impuestos que recaían sobre el campesinado, el empobrecimiento de los trabajadores, la agitación intelectual alentada por el Siglo de las Luces y el ejemplo de la guerra de la Independencia estadounidense..

10. Erigido en el jefe de los filósofos por su prodigiosa actividad, la brillantez de su ingenio, su don de explicar y vulgarizar las cuestiones sobre las cuales sus contemporáneos se preocupan, su generosidad y su sincero amor al género humano, Voltaire es el adversario por excelencia de todas las religiones que, para él, detienen el poder gracias a la hipocresí­a y falsedad de sus sacerdotes, y a la imbecilidad de los pueblos del mundo. Sin embargo, se define como un deísta que profesa la religión "natural".En polí­tica prevé numerosas reformas: el impuesto proporcional y sin privilegios, la reducción de los ejércitos, la supresión de los derechos señoriales, la libertad individual, la educación del pueblo llano, la abolición de la servidumbre y de la venalidad de los cargos de los magistrados. A su modo de ver, para un gran territorio, una monarquía moderada le parece la mejor opción de gobierno. FRANÇOIS-MARIE AROUET DE VOLTAIRE 1694 - 1778

11. Jean-Jacques Rousseau En teoría política, Rousseau ha sido interpretado o como un pilar de la democracia liberal o como restaurador de una nueva forma de estatalismo basado en la voluntad general. Charles-Louis de Secondat, barón de de Montesquieu Su obrea mas importante es El espíritu de las leyes (L’esprit des lois, 1748), con la que obtendría un reconocimiento público importante, amén de numerosas críticas desde ambientes religiosos: La Sorbona condenó el libro y la Iglesia lo incluyó en su famoso Índice. En esta obra, el autor trata de dar rigor científico al estudio de las leyes y los sistemas de gobierno, a los que considera determinados por circunstancias tales como el clima o la raza, y no por la providencia divina. Desde un punto de vista moderno, sin embargo, lo más importante de estas obras es la defensa que en ellas realiza del liberalismo y la tolerancia, la crítica al racismo y al despotismo y, muy especialmente, su propuesta de establecer una división de poderes en el Estado, para impedir que ninguno de ellos se exceda en sus funciones. La influencia de Montesquieu sobre la teoría política del liberalismo sobre las ideas que habrían de llevar a la Revolución Francesa fue muy importante, y a su muerte sus obras se habían convertido en la lectura preferida de los intelectuales y gobernantes de toda Europa.

12. Napoleón Bonaparte y sus compañeros tomaron el poder durante el golpe de Estado del 9-10 de noviembre de 1799 (18-19 de brumario según el calendario revolucionario) y establecieron un nuevo régimen, el Consulado. Según la constitución del año VIII, Napoleón, que había sido nombrado primer cónsul, disponía de poderes casi dictatoriales. La Constitución del año X, por él dictada en 1802, otorgó carácter vitalicio a su consulado y, finalmente, se proclamó emperador en 1804. El electorado mostró su respaldo absoluto a cada una de estas reformas. Bonaparte cruzó los Alpes con un ejército en 1800 y derrotó a los austriacos en la batalla de Marengo, con lo que su poder quedó afianzado. Entabló negociaciones para restablecer la paz en Europa y conseguir que el Rin fuera reconocido como la frontera oriental de Francia. Asimismo, firmó el Concordato de 1801 con el papa Pío VII, que apaciguó los ánimos en el interior del país al poner fin al enfrentamiento con la Iglesia católica, originado desde el inicio de la Revolución

13. La Revolución Industrial nació en Inglaterra en el último tercio del siglo XVIII y a lo largo del siglo XIX se extendió al resto de Europa, Estados Unidos y Japón. • Los factores que desencadenaron el cambio económico fueron: • La revolución agrícola que se había iniciado en el siglo XVIII. • La disponibilidad de capitales provenientes del comercio y del campo, que se aplicaron al desarrollo del maquinismo, o producción fabril mediante máquinas. • La revolución demográfica iniciada en la segunda mitad del siglo XVIII, como consecuencia de la mejor alimentación y los avances de la medicina. Originó importantes movimientos migratorios, del campo a la ciudad y de Europa hacia América y las distintas colonias ultramarinas. • consecuencias mas importantes: • -El aumento del número de consumidores para los productos industriales (crecimiento de la demanda), lo que estimuló la producción. • -La aparición de una mano de obra abundante y barata para la industria: el proletariado

14. Innovaciones técnicas • Con la Revolución Industrial el taller artesanal desapareció para dar lugar a la fábrica, gran centro de trabajo en donde la producción en serie se llevaba a cabo mediante máquinas manejadas por obreros. • La máquina de vapor permitió utilizar una nueva fuente de energía para mover los engranajes de las máquinas en las fábricas. Su inventor fue James Watt (1736-1819), quien la patentó en 1769. • En el sector textil pionero de la Revolución Industrial, la capacidad productiva se multiplicó gracias a las nuevas máquinas, entre las que destacaron: • - La lanzadera volante de Kay, que multiplicó el rendimiento de las máquinas manuales en la industria del algodón. • - La hiladora Mule-jenny de Cropmton, que hilaba con energía hidráulica. • -El telar mecánico de Cartwright, movido por vapor. • En la agricultura, una de las principales innovaciones fue la segadora mecánica, con la que dos hombres podían realizar el trabajo de veinte segadores, incrementando la productividad del trabajo agrícola. • En la metalurgia, Darby introdujo el empleo del carbón de coque; Cort inventó el sistema de laminación del hierro y Bessemer el convertidor de hierro en acero.

15. EL VAPOR Una nueva conquista humana que hizo posible la Revolución Industrial

16. Desde fines del siglo anterior y principios del XVIII se viene gestando las invenciones de máquinas que aprovechan la energía del vapor para realizar el trabajo mecánico de extraer agua de las minas de carbón inglesas. El herrero Thomas Newcomen (1663 - 1729) se antecede a la Revolución Industrial cuando inventa su máquina de vapor atmosférica en 1705 En 1763 James Watt (1736 - 1819), notable fabricante de instrumentos, asistente en la Universidad de Oxford,  al reparar una de las máquinas de Newcomen  aprecia las posibilidades de perfeccionar su eficiencia. Después de seis años de investigación, en 1769  patenta una máquina que superaba a las de su antecesor por su mayor rapidez en lacarrera del pistón y por ser mucho más económica en cuanto al consumo de combustible.  El propio Watt en 1781 ideó la forma de usar la máquina para hacer girar un eje y por lo tanto, abrir sus aplicaciones a muchos otros usos además del bombeo.

17. En la década del 60 del siglo XVIII nuevas hiladoras automáticas desplazaron casi por completo la fuerza y habilidad del hombre en el procedimiento textil; pronto vendría el telar hidráulico (1779), y la utilización del vapor (1785), el telar mecánico (1811) y la fusión entre hilanderías y tejedurías en una sola gran industria Nuevos metales y aleaciones: En buena medida, el desarrollo de la industria ha estado estrechamente vinculado con los avances conseguidos en la tecnología de los metales. La primera revolución industrial del mundo, que tuvo lugar en Inglaterra, comenzó cuando Abraham Darby utilizó coque para producir hierro de primera calidad en grandes cantidades (a partir de 1709). Hacia 1850, la introducción del proceso Bessemer (bautizado en honor a su inventor, el británico sir Henry Bessemer) hizo posible la producción masiva de acero, una forma más dura y resistente que el hierro).

18. Fahrenheit diseñó una escala empleando como referencia una mezcla de agua y sal a partes iguales, cuya temperatura de congelación es más baja que la del agua y la de ebullición más alta. Los valores de congelación y ebullición del agua convencional (el 0 y el 100 de la escala Celsius) quedaron fijados en 32 °F y 212 °F, respectivamente. En consecuencia, al abarcar un intervalo más amplio, la escala Fahrenheit permite mayor precisión que la centígrada a la hora de delimitar una temperatura determinada. En concreto, 180 grados Fahrenheit (212-32) corresponden a 100 grados Celsius; es decir, ambas escalas están en una relación de 9 a 5 y el 0 °C se corresponde con 32 °F; por lo tanto, la conversión resulta: F=9C/5+32, C=(F-32)5/9 Publicó estos resultados en 1714, en Acta Editorum. Por entonces los termómetros usaban como líquido de referencia el alcohol y, a partir de los conocimientos que había adquirido Roemer de la expansión térmica de los metales, Fahrenheit pudo sustituirlo ventajosamente por mercurio a partir de 1716.

19. En 1783, luego de los progresos alcanzados en el estudio de los gases, aparecen las primeras aplicaciones prácticas que pretenden aprovechar las propiedades de estas sustancias en una conquista acariciada por la humanidad: el vuelo por los aires. Dos físicos franceses tienen un rol protagónico en esta empresa: Jacques Alexandre César Charles y Jean-François Pilâtre de Rozier. El primero archiva el mérito adicional de descubrir en 1787 la relación entre el volumen de un gas y su temperatura conocida como ley de Charles y Gay-Lussac. Pilâtre de Rozier representa un héroe de la técnica pues dos años después de su primer vuelo exitoso que atravesara el Sena, intentó el cruce del canal de la Mancha pero esta vez el accidente producido por el estallido del globo de hidrógeno le costó la vida.

20. La revolución de los transportes El invento de la locomotora de vapor por el inglés George Stephenson (1815) vino a incrementar la importancia del proceso industrial en marcha. La revolución de los transportes fue consecuencia de la aplicación de la máquina de vapor al ferrocarril y a la navegación, junto con las nuevas posibilidades técnicas de la metalurgia en la fabricación de rieles para las líneas férreas y cascos de acero para los barcos. Benjamín Franklin: A partir de 1747 se dedicó principalmente al estudio de los fenómenos eléctricos. Enunció el Principio de conservación de la electricidad. De sus estudios nace su obra científica más destacada, Experimentos y observaciones sobre electricidad. En 1752 lleva a cabo su famoso experimento con la cometa. Ató una cometa con esqueleto de metal a un hilo de seda, en cuyo extremo llevaba una llave también metálica. Haciéndola volar un día de tormenta, confirmó que la llave se cargaba de electricidad, demostrando así que las nubes están cargadas de electricidad y los rayos son descargas eléctricas. Gracias a este experimento creó su más famoso invento, el pararrayos. A partir de ahí, se instalaron por todo el estado (había ya 400 en 1782), llegando a Europa en la decada de los '60. Presentó la teoría del fluido único para explicar los dos tipos de electricidad atmosférica, la positiva y la negativa, a partir de la observación del comportamiento de las varillas de ámbar, o del conductor eléctrico

21. El inventor estadounidense Eli Whitney (1765- 1825) es recordado por su invención  de la desmotadora de algodón y la revolución que produjo en su producción agrícola. Si bien esta máquina  es expresión de importantes avances mecánicos que se producen en la época, Whitney debe reconocerse como el padre del método de producción masiva. Fue en 1798 cuando al firmar el contrato para producir 10 000 mosquetes, ideó cómo fabricarlos con la ayuda de máquinas y con un sistema organizativo que en cada puesto realizara una operación específica. El ensamblaje de las piezas intercambiables así producidas, originaba el producto final de la cadena. Se afirma que en el escenario estadounidense, la desmotadora de algodón fortaleció el  poderío económico del Sur en tanto la tecnología de Whitney contribuyó a la victoria del Norte en la Guerra Civil.

22. Matematica en el siglo XVIII La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió en una rama independiente, sintetizada en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert entre otros, Mediante el nuevo cálculo los matemáticos de finales de siglo y comienzos del XVIII lograron resolver un número, que crecía rápidamente, de importantes problemas difíciles y prácticos. Estos éxitos prácticos y la elaboración del cálculo, alcanzaron tal nivel, que a finales de siglo apareció el primer manual de cálculo diferencial y sus aplicaciones a la geometría; "Análisis Infinitesimal" de G.F. L'Hopital. En el siglo XVIII la elaboración científica de los problemas matemáticos se concentró casi exclusivamente en los países de Europa. Junto a la formación de los fundamentos del análisis matemático -el cálculo diferencial e integral- hacia comienzos de siglo surgieron resultados también en sus ramas superiores: la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo de variaciones. La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias obtuvo un desarrollo sistemático, comenzando con los trabajos de Jo. Bernoulli y J. Ricatti. Durante el siglo XVIII el problema de la creación de la teoría de funciones se convirtió en el problema preliminar del análisis infinitesimal. La experiencia señaló a los matemáticos que todas las funciones conocidas, eran desarrollables mediante series de potencias. Igualmente se crearon las premisas para la teoría de funciones de variable compleja.

23. Uno de los rasgos más característicos del análisis infinitesimal durante este siglo XVIII era la poca claridad de sus conceptos primarios, la imposibilidad de explicar racionalmente la validez de las operaciones introducidas. Las ideas de los creadores del análisis en esta materia no se distinguían ni por su constancia ni por su determinación. Tanto Newton como Leibniz llevaron a cabo un conjunto de intentos de explicar sus cálculos, sin lograr éxito. Entre los numerosos esfuerzos por encontrar una fundamentación rigurosa al análisis infinitesimal, destacan los de Euler y D'Alembert. Según Euler,el concepto fundamental no es el de diferencial, sino el de derivada; en lo que se refiere a los infinitesimales o diferenciales, ellos son simplemente ceros exactos. Pero esta teoría de Euler no pudo ser reconocida como satisfactoria pues se limitaba a enmascarar los pasos reales al límite, los cuales prácticamente se llevaban a cabo en la diferenciación de funciones. D'Alembert por su parte, ponía objeciones a la teoría de los ceros de Euler y sostenía que la notación de los diferenciales no es más que una manera vaga de hablar, que depende para su justificación del lenguaje de los límites. Sin embargo, la teoría de los límites del siglo XVIII, no obtuvo el reconocimiento de la mayoría de sus contemporáneos. El trabajo más serio que reveló la posibilidad total del cálculo diferencial algebraico y que determinó su destino fue el gran trabajo de Lagrange, "Teoría de las funciones analíticas...". Demostró que toda función y=f(x+h) puede ser desarrollada en serie de potencias en la forma f(x+h)=f(x)+ph+qh2+rh3... excepto en determinados valores del argumento. Las series de potencias fueron pues, utilizadas para la aproximación de cualquier función por polinomios. Además dedujo la fórmula del resto y el teorema del valor medio. Los coeficientes del desarrollo polinómico fueron definidos por Lagrange como derivadas sucesivas. Pero siguió sin resolver el concepto de límite y las operaciones con series carecían de fundamento, al realizarse sin el estudio de la convergencia de la serie. Semejantes dificultades existieron durante mucho tiempo, hasta que a finales del siglo XIX fue creado el "aparato de la teoría de límites.

24. Analisis Matematico Cálculo Diferencial: el cálculo diferencial conservó una estrecha relación con el cálculo de diferencias finitas, originado en los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de las serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual. Por ejemplo Euler demostró que en df(x,y)=Pdx+Qdy

25. Cálculo Integral: los logros en este terreno pertenecieron inicialmente a J.Bernoulli, quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculo de integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de la teoría de las funciones especiales. Entre ellas citaremos las funciones gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elípticas. También se desarrolló el método de las sustituciones complejas. Ecuaciones Diferenciales: la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias se había desarrollado ya considerablemente antes de esta época, pero el problema más difícil de la resolución de ecuaciones en derivadas parciales era entonces un campo abierto para los pioneros. El problema de la integración de ecuaciones diferenciales, en su inicio, se presentaba como parte de un problema más general: el problema inverso del análisis infinitesimal. Además cada una de las ecuaciones estaba justificada por la existencia de un problema concreto, no existiendo a principios de siglo una teoría general, con lo que la vía utilizada, fue la de resolver clases de ecuaciones lo más amplias posibles. Los primeros intentos de resolución se centraron en las ecuaciones diferenciales lineales, advirtiéndose resultados notables ya en los años 20 con los trabajos de Ricatti, Golbach, Bernoulli y Leibniz. En el año 1743 Euler publicó el método de resolución de una ecuación diferencial lineal homogéneo de cualquier orden, mediante la sustitución y=ekx o similares. D'Alembert encontró en 1766 que la solución general de una ecuación no homogénea lineal, es igual a la suma de cierta solución particular y la solución general de la correspondiente ecuación homogénea. Junto a las ecuaciones diferenciales ordinarias, fueron encontradas las soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales, llevadas a cabo especialmente por Euler y D'Alembert. Así, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden surgieron preferentemente en el curso de resolución de problemas físicos, entre los que cabe señalar el problema de la cuerda, que conduce a la ecuación: resuelta por Euler. Fue a finales de los 70 cuando Lagrange estableció la forma de obtener soluciones singulares, así como la interpretación de las mismas como la familia de envolventes de las curvas integrales.El estudio de estas familias de curvas integrales y la solución de problemas sobre la búsqueda de trayectorias envolventes e isogonales dio lugar a la aparición de una nueva rama dentro de la geometría: la geometría diferencial.

26. Cálculo de Variaciones: el cálculo de variaciones surgido en este siglo, recibió en los trabajos de Euler y Lagrange la forma de una teoría matemática rigurosa, posibilitando la resolución de un gran número de problemas de carácter práctico, referidos a la determinación de los extremos de las funciones y que no admitían resolución con los medios del recientemente aparecido análisis infinitesimal. Entre estos problemas citaremos el problema isoperimétrico o el de las líneas geodésicas sobre las superficies. El primer método general de resolución de problemas de variaciones, fue elaborado en una serie de trabajos de Euler durante los años 1726 a 1744, presentando la primera formulación general de un problema de variaciones unidimensionales en 1735. Cuatro años después, este método fue generalizado, publicando ya en 1744, el que podríamos considerar como primer libro de la historia sobre cálculo de variaciones. En el libro de Euler se citan más de 60 ejemplos que ilustran las posibilidades del nuevo método. En ellos se demuestra el valor práctico del cálculo y se establece su estrecha relación con la mecánica y la física. El objetivo de este método general era la búsqueda de líneas curvas para las cuales cierta magnitud prefijable, alcanza su valor máximo o mínimo. Pese a la practicidad del método, éste adolecía de cierta falta de rigor sobre todo en cuestiones relacionadas con los pasos al límite. La situación cambió como consecuencia de la puesta en común de ideas por parte de Euler y Lagrange, al comunicar éste último, el método general analítico de cálculo de la variación de la integral, mediante la integración por partes.

27. GEOMETRÍA Ya en el siglo XVIII se completó el conjunto de las disciplinas geométricas y, excluyendo sólo las geometrías no euclideanas y la apenas iniciada geometría analítica, prácticamente todas las ramas clásicas de la geometría, se formaron en este siglo. Además surgieron la geometría diferencial, descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos sobre los fundamentos de la geometría. Entre los diferentes problemas y métodos de la geometría, tuvieron gran significado las aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal. De ellas surgió y se desarrolló la geometría diferencial, la ciencia que ocupó durante el siglo XVIII el lugar central en al sistema de las disciplinas geométricas.

28. Geometría Analítica: Bajo esta denominación se considera aquella parte de la geometría donde se estudian las figuras y transformaciones geométricas dadas por ecuaciones algebraicas. Las puertas a esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, pero sólo incluían problemas planos. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso importante al publicar la obra, "Enumeración de las curvas de tercer orden", clasificando las curvas según el número posible de puntos de intersección con una recta, obteniendo un total de 72 tipos de curvas, que se podían representar por ecuaciones de cuatro tipos. Si designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las soluciones indicadas serán: xy2+ey=A ; xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamente importante de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades del método de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes. Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling, Maclaurin, Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebsch y otros. Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría analítica de una manera formal. En primer lugar expuso el sistema de la geometría analítica en el plano, introduciendo además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedades generales. En otros apartados de sus obras trató las secciones cónicas, las formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de curvaturas, diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolución general de ecuaciones trigonométricas. Todo estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra "Introducción al análisis..." que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica. En la segunda mitad del siglo se introdujeron sólo mejoras parciales, pues en lo fundamental, la geometría analítica ya estaba formada. Destacaremos entre otros los nombres de G. Monge, Lacroix y Menier.

29. Geometría diferencial Esta disciplina matemática se encarga del estudio de los objetos geométricos, o sea, las curvas, superficies etc... Su singularidad consiste en que partiendo de la geometría analítica utiliza métodos del cálculo diferencial. A comienzos de siglo ya habían sido estudiados muchos fenómenos de las curvas planas por medio del análisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar las curvas espaciales y las superficies. Este traspaso de los métodos de la geometría bidimensional al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obra fue eclipsada, como casi todo en esta época, por los trabajos de Euler. El primer logro de Euler en este terreno, fue la obtención de la ecuación diferencial de las líneas geodésicas sobre una superficie, desarrollando a continuación una completa teoría de superficies, introduciendo entre otros el concepto de superficie desarrollable. A finales de siglo, el desarrollo de esta rama entró en un ligero declive, debido principalmente a la pesadez y complejidad del aparato matemático. Geometría descriptiva y proyectiva Los métodos de la geometría descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones técnicas de la matemática y su formación como ciencia matemática especial, se culminó en los trabjos de Monge, cuya obra en este terreno quedó plasmada en el texto "Géometrie descriptive". En la obra se aclara, en primer lugar, el método y objeto de la geometría descriptiva, prosiguiendo a continuación, con instrucciones sobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en capítulos posteriores la intersección de superficies curvas y la curvatura de líneas y superficies. El perfeccionamiento de carácter particular y la elaboración de diferentes métodos de proyección contituyeron el contenido fundamental de los trabjos sobre geometría proyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de los objetos geométricos, surgió como un nuevo enfoque que simplificara la teoría de las secciones cónicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven de base a la nueva geometría.

30. Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno de los más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), la mayor parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos comenzó en 1911 y no hay indicios de que se complete. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes, pero en la actualidad se supone que alcanzará los 200 con facilidad. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, solo equiparable a Gauss. Fue el primero en emplear la notación f(x) , introdujo el símbolo Σ para expresar sumatorios., el número "e" como límite de una sucesión y cuya propiedad más importante es la de su derivada equivalente, unió los símbolos matemáticos más trascendentes ( e, pi, i, -1) en forma de una Contribución a las notaciones, sentó las bases del análisis matemático avanzado al generalizar su fórmula para que conectase las funciones exponenciales y las trigonométricas. Con ello también desarrolló el cálculo complejo. Euler ya empleaba las series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional, las Ecuaciones de Euler-Lagrange. En su tratado de 1739 introdujo explícitamente el concepto de partícula y de masa puntual. Introdujo la notación vectorial para representar la velocidad y la aceleración, que definiría todo el estudio de la Mecánica hasta Lagrange. Definió los tres ángulos de Euler para describir la posición. Publicó el teorema principal del movimiento. Solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función del tiempo). Estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las Ecuaciones de Euler de la Hidrodinámica. Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la Presión de Radiación, fundamental en la teoría unificada del Electromagnetismo. Publicó trabajos sobre el movimiento de la luna. Problema de los puentes de Königsberg. Demostró que un esquema de dichos puentes no podía recorrerse. Este problema pudo haber sido la primera aplicación en teoría de grafos o en topología. Desarrolló el teorema de poliedros de Euler. Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un triángulo (baricentro, ortocentro y circuncentro) podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. Logró hallar en 1736 la suma de los recíprocos de los cuadrados, buscada por grandes matemáticos como Jacques Bernoulli (hijo de Jean Bernoulli), es decir:

31. Jean Le Rond D’Alembert Ayudó a resolver la controversia en física sobre la conservación de la energía cinética mejorando la definición de Newton de la fuerza en su "Tratado de Dinámica" (1742), que articula el principio de mecánica de D’Alembert. En el año 1744 aplicó los resultados obtenidos en el equilibrio y movimientos de fluidos.Fue pionero en el estudio de ecuaciones diferenciales y pionero en el uso de ellas en la física. Fue uno de los primeros en comprender la importancia de las funciones y definió la derivada de una función como el límite de los cuocientes de los incrementos.D’Alembert fue el que más se acercó a una definición precisa de límite y de derivada. Más en realidad toda duda se desvanecía ante el éxito de sus aplicaciones, de manera que el cálculo infinitesimal, más que una rama de la matemática, se convertía en una especie de doncella de la ciencia natural, en un auxiliar muy valioso, pero auxiliar al fin de las varias ramas de la física.D’Alembert también estudió hidrodinámica, mecánica de los cuerpos, problemas de Astronomía y circulación atmosférica.

32. A los diecinueve años de edad, obtuvo fama resolviendo el así llamado problema isoperimétrico, que había desconcertado al mundo matemático durante medio siglo. Comunicó su demostración en una carta a Euler, el cual se interesó enormemente por la solución, de modo especial en cuanto concordaba con un resultado que él mismo había hallado. Euler con admirable tacto y amabilidad respondió a Lagrange, ocultando deliberadamente su propia obra, de manera que todo el honor recayera sobre su joven amigo. En realidad Lagrange no sólo había resuelto un problema, también había inventado un nuevo método, un nuevo cálculo de variaciones, que sería el tema central de la obra de su vida. El principio ha conducido a los resultados aún más fructíferos de Hamilton y Maxwell, y , actualmente, continúa, en la obra de Einstein y en las últimas fases de la mecánica ondulatoria. Señaló defectos, incluso en la obra de Newton. Joseph-Louis Lagrange Otros matemáticos le reconocían, sin envidia, primero como su compañero y más tarde, como el mayor matemático viviente.Su obra mas importante Mécanique Analytique, Los años de actividad producieron su efecto, y Lagrange al final de su vida estaba desgastado matemáticamente. Durante dos años, no abrió ni una sola vez su Mécanique Analytique; por el contrario, dirigía sus pensamientos a cualquier otro punto, a la metafísica, la historia, la religión, la medicina,..etc

33. El primer trabajo científico de Laplace fue su aplicación de las matemáticas a la mecánica celeste. A Newton y otros astrónomos les fue imposible explicar las desviaciones de los planetas de sus órbitas, predichas matemáticamente. Así por ejemplo, se determinó que Júpiter y Saturno se adelantaban a veces, y otras se retrasaban con respecto a las posiciones que debían ocupar en sus órbitas. Laplace ideó una teoría, que confirmó con pruebas matemáticas, que las variaciones eran normales y se corregían solas en el transcurso de largas etapas de tiempo. Se consideró que está teoría tenía gran importancia para entender las relaciones de los cuerpos celestes en el Universo, y ha soportado la prueba del tiempo sin sufrir más que correcciones relativamente secundarias. Escribió artículos acerca de la fuerza de gravedad, el movimiento de los proyectiles y el flujo y reflujo de las mareas, la precesión de los equinoccios, la forma y rotación de los anillos de Saturno y otros fenómenos. Estudió el equilibrio de una masa líquida en rotación; también ideó una teoría de la tensión superficial que era semejante al moderno concepto de la atracción o cohesión molecular dentro de un líquido. Trabajando con Lavoisier, estudió el calor específico y la combustión de diversas sustancias, y puso los cimientos para la moderna ciencia de la termodinámica. Inventó un instrumento, conocido con el nombre de calorímetro de hielo, para medir el calor específico de una sustancia. El calorímetro media la cantidad de hielo fundido por el peso dado de una sustancia caliente cuya temperatura se conocía. Entonces, podía calcularse matemáticamente su calor específico. Al estudiar la atracción gravitacional de un esferoide sobre un objeto externo, ideó lo que se conoce hoy como ecuación de Laplace, que se usa para calcular el potencial de una magnitud física en un momento dado mientras está en movimiento continuo. Esta ecuación no sólo tiene aplicación en la gravitación, sino también en la electricidad, la hidrodinámica y otros aspectos de la física. Entre 1799 y 1825, Laplace reunió sus escritos en una obra de cinco volúmenes, titulada Mecánica Celeste, en la que se proponía dar una historia de la astronomía, sistematizando la obra de generaciones de astrónomos y matemáticos, y ofreciendo una solución completa a los problemas mecánicos del sistema solar. En 1812 publicó su Teoría analítica de las probabilidades, que es un estudio sobre las leyes de probabilidad.