Konsep Pokok Automata

1. Konsep Pokok Automata Himpunan Relasi & Fungsi Definisi Rekursif String dan Language Pembuktian Version 1.0.0

2. Alphabet • Alphabet merupakansuatuhimpunanberhingga yang terdiridarisimbol-simbol. • Contoh: ASCII, Unicode, {0,1} (alphabet biner), {a,b,c}.

3. String • String merupakanrangkaiansimbol. • Himpunan string atasalfabetΣmerupakandaftarhimpunan yang setiapelemennyamerupakananggotaΣ. • String dituliskantanpamenggunakankoma, misal: abc. • Σ* melambangkanhimpunan string. • ε diartikansebagaistring kosong(string denganpanjang0).

4. Contoh: Strings • {0,1}* = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, 001, . . . } • Waspada: 0 sebagaisimbol dan0 sebagaistring memilikipenampakansama. • Konteksperludiperhatikan.

5. Languages • LanguagemerupakanhimpunanbagiandariΣ* untuksejumlah alphabet Σ. • Contoh: Himpunanatas string 0 dan 1, tanpakemunculan string 1 yang berurutan. • L = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 000, 001, 010, 100, 101, 0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001, 1010, . . . }

6. Himpunan kumpulan benda-benda atau obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas.Dapat berupa sembarang obyek: angka, simbol, dll. • Anggota himpunan: • Bukan anggota:  • Himpunan bagian:  • Proper subset • Himpunan kosong:  • Himpunan tak-terbatas mengandung banyak elemen tak-terbatas. • Misal, sekumpulan integer {…-2, -1, 0, 1, 2,…}

7. Himpunan Memiliki operasi gabungan (), irisan (), selisih (-), komplemen, dan power set P(X) = 2X dari sembarang himpunan yang diberikan.

8. Himpunan Terhitung dan Tak-terhitung • Himpunan dapat dibagi dalam sejumlah kelas: • Tak-terhingga tak-terbilang: memiliki banyak elemen yang sama dengan N (banyaknya bilangan integer). • Terbilang: terhingga atau tak-terhingga tak-terbilang. • Tak-terbilang: memiliki elemen yang lebih banyak dibanding N.

9. Perkalian Kartesian dan Relasi Perkalian Kartesian menghasilkan suatu himpunan yang terdiri atas pasangan elemen tertentu dari dua atau lebih himpunan yang ada. X  Y = {[x, y] | x  X and y  Y} Suatu relasi binary dari himpunan X dan Y adalah himpunan bagian dari X  Y. Suatu relasi n-ary dari himpunan X1, X2, ..., Xnmerupakan himpunan bagian dari X1  X2 ...  Xn

10. Fungsi Suatu fungsi himpunan X ke himpunan Y adalah pemetaan elemen X ke elemen Y, sedemikian rupa sehingga setiap elemen dari X memetakan tepat satu elemen di Y. f : X  Y X adalah domain (daerah asal) dari f. Range (daerah hasil) dari f : X  Y adalah himpunan {y  Y | y = f (x) untuk sejumlah x  X}.

11. Fungsi Suatu fungsi totalfdari X ke Y merupakan relasi binary dari X  Y sedemikian rupa sehingga,untuk setiap x  X terdapat suatu y  Y sehingga [x, y] f. Jika [x, y] f and [x, z] f, maka y = z.

12. Fungsi Total • f : X  Y adalah satu-ke-satu (injektif) jika setiap elemen X memetakan menuju satu elemen tertentu dalam range. • f : X  Y adalah surjektif (onto) jika range merupakan seluruh himpunan Y.

13. Definisi Rekursif mendefinisikan obyek tersebut dengan menggunakan dirinya sendiri.

14. Contoh fungsi yang didefinisikan secara rekursif f(0) = 3 f(n + 1) = 2f(n) + 3 Maka f(0) = 3 f(1) = 2f(0) + 3 = 23 + 3 = 9 f(2) = 2f(1) + 3 = 29 + 3 = 21 f(3) = 2f(2) + 3 = 221 + 3 = 45 f(4) = 2f(3) + 3 = 245 + 3 = 93

15. Langkah Rekursif Langkah-langkah untuk mendefinisikan fungsi dengan domain bilangan cacah: • Langkah basis: Definisikan nilai fungsi pada saat nol. • Langkah rekursif: Berikan aturan untuk mencari nilai fungsi untuk setiap bilangan bulat berdasarkan nilai fungsi pada bilangan bulat yang lebih kecil. Definisi seperti itu disebut rekursif atau definisi induktif.

16. Pendefinisian Rekursif Contoh: Pendefinisian rekursif dari N menggunakan fungsi suksesor s(n) = n+1: Basis: 0 N. Langkah rekursif: Jika nN, maka s(n) N nNhanya jika dapat diperoleh dari 0 dengan sejumlah terbatas dari aplikasi dari langkah rekursif. Elemen-elemennya adalah 0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), ... 0, 1, 2, 3, ...

17. Pembuktian • Satu-satunya cara untuk membuktikan kebenaran atau ketidak-benaran atas pernyataan matematis adalah dengan Pembuktian. • Menemukan bukti tidak selalu mudah!

18. Jenis Pembuktian • Pembuktian dengan konstruksi • Teorema menyebutkan suatu tipe tertentu dari obyek eksis. • Dibuktikan dengan mendemonstrasikan cara mengkonstruksi obyek. • Pembuktian dengan kontradiksi • Mengasumsikan teorema salah dan menunjukkan hal tersebut menjadikan konsekuensi yang salah. • Sering dilakukan dalam kehidupan sehari-hari. • Ketika melihat seseorang datang kerumah kita dengan keadaan kering, kita dapat mengetahui bahwa hujan tidak terjadi. Buktinya adalah jika hujan (mengasumsikan pernyataan salah), orang tersebut pasti dalam keadaan basah. Kesimpulannya, diluar tidak hujan. • Pembuktian dengan Induksi • Kebenaran akan suatu pernyataan dipengaruhi dari kebenaran sedikit instance yang spesifik.

19. Pembuktian dengan Induksi Bukti dengan Induksi Matematika • Ada 3 langkah: • buktikan benar untuk n=1 • asumsikan benar untuk n=k • buktikan benar untuk n=k+1 • Bukti dengan induksi matematika analog dengan cara orang menyebarkan gosip atau dengan sekumpulan kartu domino berdiri yang didorong. • Contoh: • Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2 • Buktikan 12 + 22 + 32 +… + n2 = 1/6.n(n+1)(2n+1)

20. Contoh lainnya: • 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) • 1 + 4 + 7 + … + (3n-2) = ½ n (3n-1)