MATHESIS Società Italiana di Scienze Matematiche e Fisiche Sezione di Lanciano-Ortona

1. MATHESIS Società Italiana di Scienze Matematiche e Fisiche Sezione di Lanciano-Ortona 24 febbraio 2010 Ferdinando Casolaro - Università del Sannio fcasolar@unisannio.it “I risultati di Eulero per le applicazioni della didattica di oggi”

2. Strutture differenziali Un insieme D in cui siano definite due operazioni binarie (+ e ) costituisce una struttura D(+, ), che è detta struttura differenziale, se in D è definita un’operazione unaria tale che: 1) 2) 3) ;

3. Strutture differenziali L’insieme costituito da tutti gli elementi tali che viene chiamato Campo delle costanti di D. L’insieme D delle funzioni razionali è una struttura differenziale. ,

4. Strutture differenziali L’insieme: con R(x) funzione razionale, è una struttura differenziale, in quanto risulta: L’insieme con S(x) funzione razionale è un campo differenziale in quanto risulta:

5. Teorema di LiouvilleF. Casolaro “Decisione per integrali indefiniti” – Atti del Convegno nazionale Mathesis – Cattolica 1991 (pag. 68-86)F. Casolaro – “Il problema dell’integrazione indefinita” – Ratio Mathematica n. 4 – 1992 (pag. 29-38) Sia una funzione razionale degli elementi ; se esiste una funzione tale che: , allora esistono degli elementi: , ,…, ,… e delle costanti complesse tali che: con funzione razionale di , funzioni irriducibili sul campo complesso.

6. Applicazioni del Teorema di Liouville alle funzioni razionali La derivata di una funzione razionale è ancora una funzione razionale: Non vale il viceversa.

7. 2° TEOREMA DI LIOUVILLE Sia una funzione razionale e sia p il grado di q(x). Se si conoscono le p radici (reali o complesse) di q(x), l’integrale: è esprimibile mediante funzioni elementari e si ha: con funzione razionale; polinomio irriducibile su C;

8. Esempi di funzioni non integrabili per via elementare con n>2

9. L’integrale non è esprimibile mediante funzioni elementari. Dim. Se l’integrale si potesse esprimere mediante funzioni elementari, dovrebbe esistere una funzione g(x), tale che: Per il 2° Teorema di Liouville, g(x) dovrebbe essere del tipo: (1) in cui compare un solo addendo logaritmico in quanto il denominatore presenta l’unico fattore irriducibile x.

10. Algoritmo parallelo di Risch: Derivando ambo i membri della (1), si ha: cioè: La funzione , di cui ipotizziamo l’esistenza, deve essere una combinazione lineare finita di x ed per cui si può esprimere nel seguente modo:

11. (2) da cui, derivando: Si sostituisce tale sviluppo nell’equazione differenziale (2): Tale identità non può mai essere verificata perché il termine della sola compare al primo membro con coefficiente 1, ma non nel secondo. Contraddizione che dimostra la non esistenza della funzione verificante la (1).

12. L’integrale non è esprimibile mediante funzioni elementari. Dim. Se l’integrale si potesse esprimere mediante funzioni elementari dovrebbe esistere una funzione g(x) tale che: Per il teorema di Liouville, g(x) dovrebbe essere tale che: (1)

13. Algoritmo parallelo di Risch: Derivando la (1): si ha: (2) nella (2): • Si sostituisce

14. Le funzioni goniometriche attraverso Eulero

15. Le funzioni goniometriche attraverso Eulero

16. L’integrale non è esprimibile mediante funzioni elementari Dim. Dalle relazione di Eulero: si ha: Ponendo: 2ix=t, , risulta: dove non è esprimibile mediante funzioni elementari.

17. L’integrale non è esprimibile mediante funzioni elementari Dim. Dalle relazione di Eulero: si ha:

18. Omologia Proiezione della finestra sul pavimento alcune ore dopo Proiezione della finestra sul pavimento la mattina Sovrapposizione delle proiezioni: la trasformazione sul piano del pavimento, che muta ABCD in ABPQ, èl’omologia

19. Analogie tra funzioni definite su figure omologicheConsideriamo la circonferenza , e l’iperboleequilatera di equazione [F. Casolaro – F. Eugeni – Ratio Mathematica II (1996) pag. 23-33]; [F. Casolaro – L- Cirillo – Atti congresso naz. Mathesis – Verona 1996: pag. 309-318] P

20. Indicato con φ la misura dell’arco AP, il punto P ha coordinate: x = cos φ y = sen φ L’area del settore circolare OAP è data da: σ = ½ φ∙r = ½ φ, cioè: φ = 2 σ∙ 1a) Le coordinate di un punto P della circonferenza sono definite come funzioni del doppio dell’area del settore circolare OAP individuato dal punto O origine degli assi, dal punto P considerato sulla circonferenza, e dal punto A origine degli archi.

21. Indicato con φ la misura del settore iperbolico OAQ, il punto Q ha coordinate: x = cosh φy = senh φ L’area del settore iperbolico OAQè data da: σ = ½α, cioè: α= 2 σ∙ 1b) Le coordinate di un punto Q dell’iperbole equilatera sono definite come funzioni del doppio dell’area del settore iperbolico OAQ individuato dal punto O origine degli assi, dal punto Q considerato sull’iperbole e dal punto A intersezione dell’iperbole con l’asse delle ascisse.

22. Trasformazioni che conservano la norma Il modulo | z | di un vettore , ovvero la norma, è: Chiamiamo prodotto circolare (o interno) di due numeri complessi z1 e z2 di componenti rispettivamente (a1, b1) e (a2, b2) il numero: z1×z2 = a1b1 + a2, b2 In tale modo l’angolo di due vettori ovvero di due numeri complessi z1 e z2 ha un coseno dato da:

23. Trasformazioni che conservano la norma I numeri complessi di norma unitaria sono costituiti dal cosiddetto “esponenziale complesso” o “circolare” definito ponendo Le due Trasformazioni: rappresentano, rispettivamente, imovimenti direttie i movimenti inversidel piano. Infatti: cioè: cioè:

24. Pertanto, le due trasformazioni conservano la norma, in quanto, da:risulta: Immediatamente si vede che, in tali trasformazioni, si conserva l’angolo tra i due vettori. Infatti, indicati rispettivamente con gli angoli formati dai due vettori e dai loro complessi coniugati, da: risulta:

25. L’esponenziale iperbolico Posto , tutte le relazioni ottenute sulle funzioni circolari, le ritroviamo sulle funzioni iperboliche. Infatti, la norma del numero iperbolico w = a+ib (con ) è data da: che, con , rappresenta la norma del vettore unitario, in quanto verifica la relazione fondamentale delle funzioni iperboliche: I numeri iperbolici (o bireali) di norma unitaria sono costituiti dal cosiddetto “esponenziale bireale” o “iperbolico” definito ponendo

26. Trasformazioni (iperboliche) che conservano la norma Come per il caso circolare, le due trasformazioni conservano la norma e conservano i settori iperbolici. Infatti, con passaggi analoghi a quelli fatti sulle funzioni circolari, si ha: da cui, si evince che:

27. Prodotto interno e coseno iperbolico In analogia al caso circolare, definiamo prodotto interno (iperbolico) di due numeri iperbolici W e W’,la grandezza: Da: risulta: cioè: da cui si evince che W e W’ individuano due semirette caratterizzanti il settore iperbolico ϑ di coseno iperbolico: Allora, la trasformazione conserva la norma iperbolica e il prodotto iperbolico.