Università degli studi di Genova Facoltà di scienze matematiche, fisiche e naturali

1. Università degli studi di Genova Facoltà di scienze matematiche, fisiche e naturali METODI DI INTERPOLAZIONE ED ESTRAPOLAZIONE PER IMAGING A RAGGI X NELL’AMBITO DELLA MISSIONE NASA RHESSI Candidato: Silvia Allavena Relatori: Prof. Michele Piana Prof. Anna Maria Massone

2. Flares solari • I flares o brillamenti sono delle forti ed improvvise esplosioni che avvengono sulla superficie del Sole e coinvolgono enormi quantità di energie: ( erg). • Alla base dei flares c’è un’accelerazione di particelle, la cui causa è al momento sconosciuta.

3. RHESSI(ReuvenRamaty High Energy SolarSpectroscopicImager) Obiettivoscientificodellamissione: studio dell’accelerazionedielettroninei flares solariattraverso le radiazionidiraggi X e raggi gamma emessedurante lo sviluppodeibrillamenti. RHESSI forniscespettrinellabandadeiraggi X e deiraggi gamma ad altarisoluzionedienergia .

4. Struttura di RHESSI • 9 coppie di Collimatori rotanti, ognuno è fornito di un set di griglie: • le grigliesonoformatedabarredimetallo , gli slats, separate da • aperture, gli slits; • la sommadellelarghezzediuno slat eduno slit è diversa in ogni set • digriglie. • 9 rivelatori al germanio

5. Modulazione del flusso luminoso • Rotazione completa del • satellite intorno al proprio • asse: durata 4 s. • Mentre lo spacecraft • ruota vengono ricevute • le informazioni necessarie • per l’imaging come rapide • variazioni del flusso • luminoso recepito.

6. Visibilities Effetto combinato di: • 9 diversi set di griglie • 9 collimatori • Rotazione del satellite intorno al proprio asse. Le misure fornite da RHESSI, attraverso un complicato processo di “data stacking”, sono numeri complessi corrispondenti alla trasformata di Fourier spaziale del flusso di radiazione, dette visibilities. Le misure fornite da RHESSI, attraverso un complicato processo di “data stacking”, sono numeri complessi corrispondenti alla trasformata di Fourier spaziale del flusso di radiazione, dette visibilities.

7. Scopo della mia tesi Lo scopo della mia tesi è quello di formulare ed implementare metodi per la ricostruzione di immaginirelative a flares solari a partire da dati nello spazio delle frequenze, le visibilities. Gli strumenti computazionali utilizzati sono: • interpolazione; • trasformata di Fourier inversa; • estrapolazione.

8. Campionamento dei dati • Ad ogni punto corrisponde una visibility. • Ad ogni collimatore corrisponde un • campionamento su una circonferenza. • Pochi dati e sparsi dello spazio delle frequenze. INTERPOLAZIONE

9. Tecniche di interpolazione Interpolazione polinomiale lineare. Interpolazione polinomiale con polinomi di quinto grado, conosciuti come polinomi di Akima. Interpolazione con funzioni spline: ThinPlateSpline, generalizzazione in due variabili delle spline cubiche.

10. Interpolazione e IFT Metodo rapido di imaging: • Interpolazione cartesiana sul piano delle frequenze delle visibilities . • Trasformata di Fourier inversa applicata ai dati interpolati, calcolata utilizzando un algoritmo basato sulla FFT.

11. Interpolazioni Dati Interpolazione spline

12. Interpolazioni Polinomiale lineare Polinomi di quinto grado

13. Ricostruzione della mappa utilizzando la FFT Mappa originale Mappa ricostruita

14. Effetti indesiderati Il metodo di imaging interpolazione + IFT ha mostrato due svantaggi: • Effetti di ringing: le ricostruzioni presentano oscillazioni indesiderate. Banda limitata: abbiamo dati relativi alla trasformata di Fourier del flusso luminoso soltanto all’interno di un disco.

15. Inversione della trasformata di Fourier da dati limitati Determinare la funzione a supporto limitato D data l’equazione che applicando il teorema di convoluzione diventa • trasformata di Fourier inversa della funzione caratteristica sul disco B; operatore integrale di Hilbert-Schmidt compatto mal posto

16. Metodo di Landweber Utilizziamo questo metodo poiché: • è un metodo regolarizzante che permette di risolvere problemi mal posti; • esiste una sua variante che permette di risolvere il problema di estrapolazione fuori banda. E’ un metodo iterativo il cui passo è il seguente dove : - è l’operatore aggiunto di A -  è detto parametro di rilassamento

17. Metodo di Landweber proiettato Permette di esprimere informazioni a priori sulla soluzione cercata tramite dei vincoli che si traducono in una proiezione della soluzione su un sottospazio chiuso e convesso C: Il passo iterativo in questo caso è

18. Proiezioni utilizzate • Proiezione sui positivi: la soluzione che stiamo cercando rappresenta un flusso luminoso, perciò sappiamo che deve essere positiva. Tale proiezione si applica nel modo seguente: • Proiezione sul sottospazio delle funzioni a supporto limitato: tale metodo, conosciuto come metodo di Gerchberg-Papoulis, ha la proprietà di estrapolazione fuori banda. Essa si esprime come proiezione su uno spazio limitato D: • Entrambe le proiezioni.

19. Dati simulati Mappa originale Landweber senza vincoli

20. Dati simulati Mappa originale Landweber con vincolo di positività

21. Costruzione del supporto a partire dalla mappa originale

22. Dati simulati Mappa originale Landweber con vincolo sul supporto

23. Dati simulati Mappa originale Landweber con entrambi i vincoli

24. Taglio lungo la congiungente dei centri dei foots della mappa simulata

25. Taglio Landweber Taglio Landweber con positività Taglio Landweber con supporto Taglio Landweber con pos. e supp.

26. Taglio della trasformata di Fourier originale sovrapposto alla trasformate delle ricostruzioni Landweber Landweber con supporto

27. Caso reale: flare 23 Agosto 2005 Dati Interpolazione

28. Caso reale: flare 23 Agosto 2005 Trasformata di Fourier inversa Landweber con positività

29. CONCLUSIONI • Interpolazione/estrapolazione: metodo rapido ed affidabile. • Il vincolo di positività permette l’eliminazione degli effetti di ringing. • I vincoli di positività e di supporto permettono un (moderato) effetto di estrapolazione fuori-banda.

30. PROBLEMI APERTI • Validazione sistematica su dati sintetici e misure reali fornite da RHESSI. • Confronto con altri metodi di ricostruzione di immagini (MEM, CLEAN...). • Utilizzo di altre tecniche di interpolazione. • Applicazione di tecniche che utilizzino conoscenze a priori sulle proprietà statistiche del rumore sul dato.

31. In ogni secolo gli esseri umani hanno pensato di aver capito definitivamente l'Universo e, in ogni secolo, si è capito che avevano sbagliato. Da ciò segue che l'unica cosa certa che possiamo dire oggi sulle nostre attuali conoscenze è che sono sbagliate. Isaac Asimov (da Grande come l'universo, Saggi sulla scienza) GRAZIE PER L’ATTENZIONE